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CAHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
CATÉGORIQUESG.JOUBERT
H.ROSENBERG
PlongementdutoreT2danslasphèreS3
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome11, n o3 (1969), p. 323-328 © Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1969, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 323PLONGEMENT DU TORE
T2DANS LA SPHERE
S3 par G.JOUBERT
et H. ROSENBERGCAHIERS DE TOPOLOGIE
ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
Vol. XI,3
Le but de cet article est de donner une démonstration géométrique du théorème suivant :T H E O R E M E . Tout tore
plongé dans S 3 borde un tore plein.Ce théorème a été énoncé
pour la première fois parAlexander
qui n'en donne qu'une démonstration succinte [ 1 ] .La démonstration
qui suit fait appel aux méthodes utilisées dans [ 2 ] et [ 3 ] et qui ont déjà permis de démontrer le théorème analogue pour les sphères plongées dans R 3 (Schônflies différentiable) et même plus généralement que toute 3 -variété feuilletée par des plans est irréductible.Elle a en outre
l'avantage de ne pas utiliser le "Loop-theorem » dont la démonstration est particulièrement difficile.DEMONSTRATION. Soi t T
plongé dans R 3 ; on peut toujours supposer que T est plongé dans S3 - 1 X0 R 3 . SiR 3 = { ( x, y, z ) } ,
soit F le feuilletage trivial de R 3 par les plans P ( z ) ( z cte) .Par le théorème de transversalité de
Thom, on peut supposer que T est en position générale par rapportà F.
Soit G le
feuilletage (avec singularités) induit sur T parF. Puis-
queF et G sont en
position générale, G n'a qu'un nombre fini de singu- larités qui sont des centres et des points de selle. On peut toujours supposer qu'il n'y a pas deux points singuliers dans le même plan P ( z ) . Il en résulte, puisque en outreP ( z )
est fermé dansR 3 , que
tout élément de G est une courbe fermée : soit une courbe fermée simple, soit un point (centre), soit une figure "huit». 324On a besoin du lemme
général suivant :L E M M E . Soit X un
champ de vecteurs sur le tore T dont les zéros sont des centres ou des points de selle.Supposons que
lès trajectoires de X soient, ou bien des centres, ou bien des courbes fermées simples (trajec- toires périodiques) ou bien des courbes homéomorphesà R , partant
et aboutissant à un même point de selle. Dans ces conditions, il existe au moins une trajectoire périodique non homotopeà zéro sur T .
DEMONSTRATION;
Si le champ n'a pas de singularités, alors nécessai- rement toutes les trajectoires (qui sont périodiques) sont non homotopesà zéro.
Supposons
donc qu'il y a des singularités, (il y a autant de centres que de points de selle d'après la formule de Hopf) et supposons que toutes les trajectoires périodiques soient homotopesà zéro sur T.
Soit p
un centre; dans un voisinage de p toutes les trajectoires de X sont des courbes fermées simples qui bordent un disquequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Le spleen de Paris
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