[PDF] I. Compétences à atteindre II. Autoévaluation et évaluations

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SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 1

SITUATION-PROBLEME 2 :

ET SI TU PRESERVAIS LE PATRIMOINE ?

II.. CCoommppéétteenncceess àà aatttteeiinnddrree

C1 Calculer, déterminer, estimer, approximer

C2 Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

C3 Représenter

C4 Repérer, comparer

C5 Démontrer

C6 Organiser les savoir, synthétiser, généraliser C7 Acquérir les notions propres aux mathématiques IIII.. AAuuttooéévvaalluuaattiioonn eett éévvaalluuaattiioonnss ffoorrmmaattiivveess PPrréérreeqquuiiss :: LLeess pprroojjeeccttiioonnss ppaarraallllèèlleess

Je dois être capable dans : Auto-

évaluation

1ère

évaluation

2ème

évaluation

C1

1.6.3. Diviser un segment dont on connaît la longueur en un nombre

déterminé de parties égales.

1.6.4. Déterminer le milieu d'un segment

C2

2.4.5. Résoudre des problèmes mettant en oeuvre les projections parallèles,

le partage d'un segment en parties égales ou la conservation des milieux. C3

3.3.2 Construire une représentation géométrique complexe pour

schématiser une situation existante.

Signature

des parents SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 2 DDééffiiss 11 eett 22 :: TThhaallèèss

Je dois être capable dans : Auto-

évaluation

1ère

évaluation

2ème

évaluation

C1

1.6.2. Déterminer la longueur d'un segment à partir du théorème de Thalès

1.7.2. Reconnaître une configuration de Thalès dans une figure

géométrique C2

2.1.5. Prouver le parallélisme de deux droites en utilisant la réciproque du

théorème de Thalès

2.3.2. Déterminer la 4ème proportionnelle de façon algébrique

2.3.3. Déterminer la moyenne proportionnelle de façon algébrique

2.4.6. Résoudre des problèmes mettant en oeuvre le théorème de Thalès

ou sa réciproque C3

3.2.1. Déterminer la 4ème proportionnelle de façon géométrique

3.3.2. Construire une représentation géométrique complexe pour

schématiser une situation existante C4

4.1.2. Ecrire des rapports de longueurs

4.3.2. Traduire mathématiquement un énoncé et réciproquement

C5

5. Démontrer

C6

6.2.5. Généraliser le théorème de Thalès en partant d'exemples pratiques.

C7

7.1.1. Mémoriser les définitions

7.1.3. Mémoriser les énoncés

7.2.4. Utiliser les notations

Signature

des parents SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 3 DDééffii 33 :: LLeess ffiigguurreess sseemmbbllaabblleess

Je dois être capable dans : Auto-

évaluation

1ère

évaluation

2ème

évaluation

C1

1.6.7. Déterminer le périmètre et l'aire d'une figure semblable à une

autre donnée

1.7.4. Repérer des triangles semblables dans une situation géométrique

C2

2.1.7. Déterminer si des triangles sont semblables et le justifier à l'aide des

3 cas de similitude des triangles

2.4.8. Résoudre des problèmes mettant en oeuvre les triangles semblables

C3

3.1.4. Placer des points dans un repère orthonormé à partir de leurs

coordonnées et déterminer si les figures obtenues sont semblables.

3.2.3. Utiliser les propriétés des figures semblables pour tracer une figure à

partir d'un segment donné, sans effectuer aucune mesure

3.2.5. Construire une figure semblable à une autre donnée à partir du

rapport de similitude

3.3.2. Construire une représentation géométrique complexe pour

schématiser une situation existante C4

4.1.3. Déterminer le rapport de similitude de figures semblables données

C5

5. Démontrer

Signature

des parents SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 4

IIIIII.. PPrréérreeqquuiiss àà llaa ssiittuuaattiioonn :: lleess pprroojjeeccttiioonnss ppaarraallllèèlleess

a) Définition Toute projection parallèle est caractérisée par : - Une droite ................................... à laquelle on ............................. (d) - Une droite .............. laquelle on ....................................... (a) La projection parallèle n'est pas une ............................. car elle ne conserve pas les mesures.

Cependant, une projection parallèle ne ............................... pas, on dit qu'elle conserve

les ...............................................

Ainsi, la projection parallèle d'une droite graduée régulièrement est une droite graduée

régulièrement avec un repère différent. d bb)) DDééccoouuppee dd''uunn sseeggmmeenntt eenn ppaarrttiieess ééggaalleess Tu peux te demander à quoi servent " les projections parallèles »...

L'application la plus utilisée consiste à diviser n'importe quel segment en autant de morceaux que

souhaité.

Exemple :

Diviser un segment de 5 cm en 7 morceaux exactement.

Utilise ta calculatrice pour connaître la longueur exacte de chaque segment obtenu : chaque segment

mesure ..................................cm Est-ce possible mesurer ou de tracer ce type de longueur ? ................. Pourquoi ? Des segments dont les longueurs sont non mesurables s'appellent des segments incommensurables (dont on ne connaît pas la mesure) a d A A'

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 5...d'où l'intérêt de les dessiner...

1. Construction par les projections parallèles

On veut donc diviser un segment [AB] en sept intervalles de même longueur : B A

Nous avons appris que la projection d'une droite graduée régulièrement est une droite graduée

régulièrement.

Utilisons ce principe ci-dessous :

2. Exercices de construction

1) Trace un segment [AB] de cinq centimètres et partage-le en trois parties égales.

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 6

2) Etant donné un segment [XY] composé de trois segments de même longueur et un

segment [UV] de 4cm, construit un segment [XM] tel que M appartient à la droite XY et |XM| = 4/3 |UV| Y X

VU4,00 cm

3) Etant donné un rectangle dont les dimensions sont 5cm x 7cm, divise celui-ci en rectangles

de même surface pour que l'aire de celle-ci soit égale à 11,66666 cm².

7,00 cm

5,00 cmaire = 35,00 cm²

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 74) Voici un segment unitaire [AB], construit :

- F tel que |AF| = 3/5 |AB| - U tel que |AU| = 7/3 |AB| - W tel que |BW| = 1/3 |AU| Les points F, U, W appartiennent à la droite AB B A cc)) CCoonnsseerrvvaattiioonn ddeess mmiilliieeuuxx Considérons un segment [AB] et le point M milieu de celui-ci : A B A' M M'sB' Qu'observes-tu sur ce schéma ? (Aides-toi de la théorie vue précédemment)

Que peux-tu conclure ?

Toute projection parallèle conserve le milieu d'un segment SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 8

IIVV.. AAccttiivviittéé

AVIS D'URBANISME*

Ce présent avis informe publiquement de la transformation du quartier du Vieux Trésor qui s'effectuera en 3 phases.

1ère phase : Construction de l'immeuble qui abritera l'Echevinat du Patrimoine au 26, rue des

Alouettes 4000 Liège ; conformément aux plans d'urbanisme établis (voir plan de situation ci-dessous). La rue des Alouettes se situant dans un rayon de 1 km autour de la place Horta, place classée à la commission des monuments et sites, la nouvelle construction respectera les normes liées au patrimoine wallon classé. Ainsi, le nouveau bâtiment ne pourra pas être visible de cette place. (À échelle humaine). Phase 2 : Connexion de ce nouveau bâtiment aux réseaux Belgacom par voie aérienne, vu l'impossibilité de creuser le sol du parc Le Corbusier, également classé à la commission des monuments et sites. Phase 3 : Construction d'un building d'habitation à la limite du quartier, rue des Architectes,

167 4000 Liège ; conformément aux plans d'urbanisme établis (voir plan de situation ci-

dessous). La rue des Architectes se situant toujours dans le rayon de 1 km autour de la place Horta, le nouveau building respectera les normes liées au patrimoine wallon classé. Ainsi, le nouveau bâtiment ne pourra pas être visible de cette place. (À échelle humaine). Si vous vous opposez à cette construction, vous disposez d'un délai de 1 mois, à compter de cette date, pour faire connaître vos arguments aux services de l'urbanisme de la Ville de

Liège.

(*avis d'urbanisme fictif réalisé pour le cours de maths 3ème de l'athénée Léonie de Waha)

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 9Plan de situation

Ce genre d'avis est fréquent et il n'est pas rare d'en apercevoir dans nos rues car ils sont affichés

de façon à être lu par le plus grand nombre...Normal puisqu'il s'agit de demander l'avis de la

population sur une façon de dépenser l'argent public.

Mais cet avis comporte une particularité supplémentaire : des normes liées au patrimoine doivent

être respectées !

TToonn ddééffii ddaannss llaa pphhaassee 11 :: Construis ce nouvel immeuble en 3D à l'échelle de la maquette.

Afin de vérifier que tes mesures sont bien correctes, le professeur placera ton bâtiment fini à la

place qui lui est réservée sur la maquette. N'hésite donc pas à le faire aussi avant, afin de rectifier

d'éventuelles erreurs. N'oublie pas que la maquette reste à ta disposition !

Ech. : 1 / 2000

Site classé

Site à construire

COUPE (pour élévations)

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 10Consignes de travail (identiques pour tous les défis) :

1. Formez des groupes de 4 personnes

2. Dans chaque groupe, déterminez les rôles suivants :

? Un géomètre (qui mesure) ? Un secrétaire (qui note) ? Un architecte (qui dessine) ? Un ingénieur (qui fait les calculs demandés) Attention, chacun à sa tâche et chaque tâche est importante !!

3. Lorsque votre équipe a terminé une étape, veillez à la faire corriger par le professeur avant

d'aller plus loin.

4. Pour toute cette étape, la maquette du quartier à l'échelle 1/1000 est à votre

disposition. Profitez-en pour mesurez, testez,...

5. Le bâtiment demandé aura un toit plat

...Au boulot ! Un observateur se situe au centre de la place Horta (sur la maquette). Observez bien la situation en

3D. Attention aux relations d'échelle...Cet observateur ne verra sans doute pas la même chose que

vous ! a) En vous servant de vos observations, dessinez d'abord le nouvel immeuble dans l'élévation commencée ci-dessous (à l'échelle 1/500 !!) et calculez sa hauteur maximum à l'aide du dessin ainsi tracé.

Rem. : On représentera l'observateur par un point. Vu sa hauteur proportionnellement beaucoup plus

petite que les autres mesures en présence, il est en effet inutile de chercher à le représenter

précisément. Hauteur du nouveau bâtiment : ............... cm à l'échelle 1/500 ................. m en réalité.

Observateur

(Considéré comme un point)

Emplacement

du nouveau bâtiment

Jardin de

la maison

22 m 18 m 20 m

10 m

PLACE HORTA

MAISON

CLASSEE

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 11 b) Voici un schéma représentant la situation précédente : Associez les intitulés ci-dessous avec leur symbolisation correcte : distance (mesurée au sol) depuis l'observateur jusqu'aux façades avant des maisons classées ...............

distance (mesurée au sol) depuis les façades avant des maisons classées jusqu'à la façade

arrière du futur immeuble ............... distance (mesurée à vol d'oiseau) depuis l'observateur jusqu'au sommet des façades avant des maisons classées ( !!! et pas du sommet du toit !!!) ............... distance (mesurée à vol d'oiseau) depuis le sommet des façades avant des maisons classées jusqu'au sommet de la façade arrière du futur immeuble ............... hauteur de la façade avant des maisons classées ............... hauteur de la façade arrière du futur immeuble ............... c) Remplissez maintenant le tableau ci-après en mesurant sur le plan de situation et/ou sur la maquette et/ou sur le dessin de la p. 10, en fonction de la mesure demandée :

Informations mesurables Maquette

(éch. : 1/1000) Réalité |AB| |AD| |BD| |BC| |DE| |CE| AB AD BC DE

Qu'observez-vous entre ces 2 rapports ? ..............................................................................

d) Construisez finalement l'immeuble en 3D à partir du matériel mis à votre disposition. (Attention au problème d'échelle : Pensez que ce bâtiment doit se placer sur la maquette !) B C D E A SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 12

DDééffii 11 :: CCee qquu''iill ffaauutt rreetteenniirr,, LLEESS ................................................................................................

a) Définitions Un rapport compare deux ........................................................................

Ex : ........................................................................................................................

Une proportion est une ....................................... de deux ................................................

Ex : ........................................................................................................................

b) Vocabulaire c) Propriétés

Ex : 1 3 2 6=

 Si tu fais le produit des moyens et le produit des extrêmes, que constates-tu ?

Propriété 1

Dans toute proportion, ...................................................................................................

..............................a c b d= ?

 Si tu permutes les moyens et/ou les extrêmes entre eux, cela change-t-il quelque chose à

l'égalité ? Et à la proportion ? Explique

Propriété 2

a) Dans toute proportion, si l'on permute ........................................................................

............................a csi alors b d=

b) Dans toute proportion, si l'on permute ........................................................................

............................a csi alors b d= a et d sont .............................. b et c sont .............................. a c b d= SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 13 TToonn ddééffii ddaannss llaa pphhaassee 22 :: Déterminer précisément la longueur des câbles qui seront tendus depuis le toit du nouvel immeuble jusqu'au toit du bâtiment Belgacom. (Voir plan de situation)

En effet, puisqu'il est impossible de les enterrer, les ouvriers doivent les hisser et les tendre à l'aide

de grues.

Pour ce faire, ils doivent connaître la longueur exacte pour être sûrs qu'il seront bien tendus d'un

point à l'autre ; car si les câbles sont trop ou pas assez tendus, ils se briseront. Hélas, il est impossible de mesurer directement cette longueur...Vous comprendrez bien pourquoi...Et utilisez la maquette ne donnera pas une mesure assez précise, puisqu'il faut encore la transformer avec l'échelle...

Heureusement, il existe une méthode mathématique qui permet de la calculer ...et évidemment,

c'est à vous de la trouver pour pouvoir l'utiliser ! ...Au boulot ! a) Complétez l'élévation ci-dessous (échelle 1/1000) : - en représentant le bâtiment manquant - en annotant avec les mesures réelles manquantes. N'hésitez pas à aller rechercher ces dernières dans le tableau du défi 1 ou à les calculer à l'aide de l'échelle !

Sommet de départ

des câbles à tracer

Sommet d"arrivée des câbles à tracer

Rue des Alouettes

........m ........m ......m

Observateur

(Considéré comme

1 point)

Rue des gra

nds travaux

Bâtiment

Belgacom

Place

Horta ........m

....m

Nouveau

bâtiment jardin

Maison

classée

66,5 m

Parc

Le Corbusier

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 14 b) Schématisez au maximum l'élévation de la page 13 : Quels sont les éléments géométriques qui apparaissent sur ton schéma simplifié?

Quelle est leur position relative ?

c) Utilisez les constatations et la synthèse de la phase 1, ainsi que les projections parallèles pour :

- analyser ton schéma ci-dessus - calculer la valeur recherchée :  Longueur des câbles = .............................. m d) La méthode que tu viens d'employer est-elle toujours vraie ?

Vérifie sur les schémas suivants en mesurant les segments formés par les droites et en écrivant

ensuite à côté de chacun le calcul utilisé : 1. 2. SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 15

Dans les 4 figures précédentes :

a) Quelles sont les configurations où la méthode fonctionne ? ....................................

b) Quelles sont les configurations où la méthode ne fonctionne pas ? ............................

c) Quels sont les éléments communs dans les configurations qui fonctionnent : d) Peux-tu expliquer pourquoi ? (Utilise les projections parallèles)

DDééffii 22 :: CCee qquu''iill ffaauutt rreetteenniirr,, LLEE ................................................................................................

Des .......................................... déterminent sur des ............................................ des

Configuration générale :

OE OF OG OH EF EG EH FG FH GH= = = = = = = = =

E F G H 3. 4. SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 16

VV.. EExxeerrcciicceess

1. ENTRAINES-TOI !

a) Dans les configurations suivantes, détermine la valeur de x.

x = |ED| x = |AD| .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................

x = |EC| x = |EC| b) Complète le tableau ci-dessous en utilisant l'illustration pour t'aider : c) Soit un trapèze ABCD dans lequel A, D et X sont alignés ainsi que B, C et Y. []XY // []AB // []DC si BY= 7, CY=2 et AD= 6. Calcule AX, DX et BC

Envisage le cas où

[]XY est intérieur au trapèze et le cas où il est extérieur. |AB| |BD| |AD| |AC| |CE| |AE|

8 6 6

5 9 2,5

5,4 3,6 2,7

3 2 2

3 5

3 1)

4) 3) 2)

SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 172. LA QUATRIEME PROPORTIONNELLE

Isole x dans les proportions suivantes et calcule sa valeur à 10

1- près.

1) 6 4

3x= 4) 17 102

25x= 1) x = ...............

4) x = ............... 2) 2 15 5 x= 5) x 91
16

13= 2) x = ...............

5) x = ............... 3) =5 4 x 2 6) 35
7

40=x 3) x = ...............

6) x = ...............

Le nombre que tu viens de rechercher s'appelle la ......................................proportionnelle

des 3 autres nombres.

Ex : dans le 1), ......... est la ................................. proportionnelle des nombres ............

La ............................................................proportionnelle à 3 nombres réels a, b et c est le

nombre réel x tel que ......................................................... Attention, l'ordre des nombres donnés a de l'importance !!!!

Exemple :

Géométriquement

On donne les segments de longueurs respectives a, b et c : On demande de construire le segment de longueur x tel que x c b a=. On utilisera alors le théorème de Thalès. SP 2 Et si tu préservais le patrimoine ? 18

3. LA MOYENNE PROPORTIONNELLE

Calcule x pour former une proportion

1) x x27 3= 3) 108
3x x= 1) ........................ 3) 2) x x16 4= 4) x x14 7

2= 2) ........................

4)

Le nombre que tu viens de rechercher s'appelle la ......................................... proportionnelle

des 2 autres nombres.

Ex : dans le 1) ..................est la ....................... proportionnelle des nombres ..................

La ..................................... proportionnelle des réels positifs a et b est le réel x

tel que ........................ a) Calcule la 4

ème proportionnelle entre a, b et c lorsque :

1) a = 2 b = 5 c = 6 ; 2) a = 5 b = 6 c = 2 ; 3) a = 1 b = 2 c = 3

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