[PDF] Importance du calcul littéral

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???? Montrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3 .

Exemple 1 :

Considérons les trois nombres consécutifs 4, 5 et 6.

La somme est 4 + 5 + 6 = 15.

15 est bien un multiple de 3 , car 15 = 3 x 5

Exemple 2 :

Considérons les trois nombres consécutifs 23, 24 et 25.

La somme est 23 + 24 + 25 = 72.

72 est bien un multiple de 3 , car 72 = 3 x 24

Exemple 3 :

Considérons les trois nombres consécutifs 3245, 3246 et 3247.

La somme est 3245 - 3246 + 3247 = 9738.

9738 est bien un multiple de 3 , car 9738 = 3 x 3246

Et nous pourrions continuer.

Mais des exemples, même nombreux, ne constituent pas une démonstration. Est-ce que la somme de trois

nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ?????

Il faut essayer de trouver un moyen de démonstration qui ne privilégie pas une valeur particulière.

Soit x le premier nombre.

Le deuxième nombre entier, consécutif au premier, est donc égal à x + 1 .

Et le troisième est égal à (

x + 1 ) + 1 , soit x + 2 Additionnons ces trois nombres quelconques, mais consécutifs. Nous avons : x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3

Factorisons cette expression. Nous obtenons :

x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 3x + 3 = 3( x + 1 )

Un multiple de 3 étant , par définition, le produit de 3 et d"un nombre, comme la somme des trois entiers

consécutifs est égale au produit de 3 par un nombre ( ici x + 1 ), nous pouvons affirmer que : la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3 . Remarque : Nous pouvions également appeler x le nombre intermédiaire, les deux autres nombres s"écrivaient alors x - 1 et x + 1 . La somme était alors (x - 1 ) + x + (x + 1 ) , soit 3 x.

THEME :

IMPORTANCE DU

CALCUL LITTERAL

???? On donne l"expression

A = ( 2

x - 1 )² - ( x + 2 )² - 3 ( x - 1 )( x - 3 )

Calculer A , pour

x = 0 ; pour x = 1 ; pour x = - 2 ; pour x = 0,5 et pour x = 3 4 ? Calcul pour x = 0 ( ici le symbole x est le symbole de multiplication )

A = ( 2

x 0 - 1 )² - ( 0 + 2 )² - 3 ( 0 - 1 )( 0 - 3 ) ( Calcul entre parenthèses prioritaire )

A = ( 0 - 1 )² - 2² - 3

x ( - 1 ) x ( - 3 )

A = ( - 1 )² - 2² - 3

x ( - 1 ) x ( - 3 ) ( Priorité à l"élévation à une puissance )

A = 1 - 4 - 3

x ( - 1 ) x ( - 3 ) ( Priorité à la multiplication )

A = 1 - 4 - 9 =

- 12 ( Priorité enfin à l"addition et la soustraction ) ? Calcul pour x = 1

A = ( 2

x 1 - 1 )² - ( 1 + 2 )² - 3 ( 1 - 1 )( 1 - 3 )

A = ( 2 - 1 )² - 3² - 3

x 0 x ( - 2 )

A = 1² - 3² - 3

x 0 x ( - 2 )

A = 1 - 9 - 3

x 0 x ( - 2 )

A = 1 - 9 - 0 =

- 8 ? Calcul pour x = - 2 A = ( 2 x ( - 2 ) - 1 )² - ( - 2 + 2 )² - 3 ( - 2 - 1 )( - 2 - 3 )

A = ( - 4 - 1 )² - 0² - 3 ( - 3 )( - 5 )

A = ( - 5 )² - 0² - 3 ( - 3 )( - 5 )

A = 25 - 0 - 3 ( - 3 )( - 5 )

A = 25 - 0 - 45 =

- 20 ? Calcul pour x = 0,5 A = ( 2 x 0,5 - 1 )² - ( 0,5 + 2 )² - 3 ( 0,5 - 1 )( 0,5 - 3 ) A = ( 1 - 1 )² - 2,5² - 3 ( - 0,5 )( - 2,5 )

A = 0² - 2,5² - 3 ( - 0,5 )( - 2,5 )

A = 0 - 6,25 - 3 ( - 0,5 )( - 2,5 )

A = 0 - 6,25 - 3 ( - 0,5 )( - 2,5 )

A = 0 - 6,25 - 3,75 =

- 10 ? Calcul pour x = 3 4 ) 3 - 3

4 )( 1 - 3

4 ( 3 - )² 2 3

4 ( - )² 1 - 3

4 2 (A+´=

) 3 9 - 3

4 )( 3

3 - 3

4 ( 3 - )² 3

6 3

4 ( - )² 1 - 3

8 (A+=

)3

5- )( 3

1 ( 3 - )² 3

10 ( - )² 3

3 - 3 8 (A= )3

5- )( 3

1 ( 3 - )² 3

10 ( - )² 3

5 (A= )3

5- )( 3

1 ( 3 - 9

100 - 9

25A=
3 3

5 1 3 9

100 - 9

25A´´´+= = 9

15 9

100 - 9

25A+== 9

15 100 - 25+

A = 9

60 -= 3 3

3 20 -´´= 3

20 -

Un peu long !!!!!!!

Un autre moyen utilisant quelques connaissances sur le calcul littéral permet d"être beaucoup plus rapide.

Ne nous occupons pas pour l"instant des valeurs numériques à donner à la variable x. Et développons cette expression. Nous obtenons :

A = ( 4

x ² - 4 x + 1 ) - (x ² + 4 x + 4 ) - 3(x ² - 3 x - x + 3 ) A = 4 x ² - 4 x + 1 - x ² - 4 x - 4 - 3 x ² + 9 x + 3 x - 9 A = 4 x - 12 ? Calcul pour x = 0 ( ici le symbole x est le symbole de multiplication ) A = 4 x 0 - 12 = 0 - 12 = - 12 ? Calcul pour x = 1 A = 4 x 1 - 12 = 4 - 12 = - 8 ? Calcul pour x = - 2

A = 4 x ( - 2 ) - 12 = - 8 - 12 = - 20

? Calcul pour x = 0,5

A = 4 x 0,5 - 12 = 2 - 12 = - 10

? Calcul pour x = 3 4 3

20 - 3

36 3

16 12 3

16 12 3

4 4A=-=-=-´=

Un peu plus court !!!!!

???? Un problème de grille :

Un ferronnier décide de réaliser une

grille ( voir dessin ci-contre )

Calculer les longueurs des différents

barreaux verticaux. ( les barreaux étant espacés régulièrement )

Avec les points indiqués sur la figure ci-contre, nous pouvons calculer la longueur du premier barreau CD

Calcul de CD :

Dans les triangles OAB et OCD,

· Les points O , C et A sont alignés.

· Les points O, D et B sont alignés

· Les droites (CD) et (AB) sont parallèles

( droites verticales ) Donc , d"après le théorème de Thalès, nous avons : AB CD OB

OD OA

OC== Soit , en remplaçant , et en remarquant que OC = 5

1 = 0,20 m

0,80

CD OBOD 10,20==

0,80

CD 10,20=

0,20 x 0,80 = CD CD = 0,16 ( m ) soit 16 cm

Nous devons refaire

trois fois cette même recherche.

Autre méthode :

Considérons un barreau quelconque de cette grille et appelons x la distance OM.

Calculons, en fonction de

x, la longueur MN de ce barreau.

Comme précédemment , nous avons :

Dans les triangles OAB et OMN,

· Les points O , M et A sont alignés.

· Les points O, N et B sont alignés

· Les droites (MN) et (AB) sont parallèles ( droites verticales ) Donc , d"après le théorème de Thalès, nous avons : AB MN OB

ON OA

OM==

0,8MN OBON 1==x

Calcul de MN :

0,8

MN 1=x

0,8 x = MN

MN = 0,8 x

Longueur du premier barreau : ( x = 0,20 m )

MN = 0,8

x 0,20 = 0,16 ( m ) soit 16 cm ici le symbole x est le symbole de multiplication

Longueur du deuxième barreau : (

x = 0,40 m )

MN = 0,8

x 0,40 = 0,32 ( m ) soit 32 cm ici le symbole x est le symbole de multiplication

Longueur du troisième barreau : (

x = 0,60 m )

MN = 0,8

x 0,60 = 0,48 ( m ) soit 48 cm ici le symbole x est le symbole de multiplication

Longueur du quatrième barreau : (

x = 0,80 m )

MN = 0,8

x 0,80 = 0,64 ( m ) soit 64 cm ici le symbole x est le symbole de multiplication

Longueur du dernier barreau : (

x = 1 m ) ( vérification ) MN = 0,8 x 1 = 0,80 ( m ) soit 80 cm ici le symbole x est le symbole de multiplication

Le tricercle de Mohr

Jørgen Mohr (plus connu sous le nom de Georg(ius) Mohr) (1er avril 1640 - 26 janvier 1697) est un mathématicien danois qui a exercé aux Pays-Bas, en France et Grande-Bretagne.

Il établit un siècle avant Lorenzo Mascheroni l"important résultat que l"usage de la règle suivante :

Tout ce qui peut être construit avec la règle et le compas peut l"être avec le seul compas.

Sa démonstration fut publiée dans son ouvrage Euclides Danicus, mais n"attira pas l"attention à l"époque.

Mascheroni la redécouvrit en 1797.

Lorenzo Mascheroni (13 mai 1750 à Bergame - 14 juillet 1800 à Paris) est un géomètre italien. Il étudie la

poésie et le grec à Castagna puis à Pavie en Italie. Il enseigne les lettres pour se tourner tardivement vers

les mathématiques. Il démontra en 1797 que toute figure constructible à la règle et au compas l"est

également au compas seul. Bonaparte, qui l"avait rencontré personnellement et possédait en tant qu"élève de

l"école de guerre de très bonnes connaissances mathématiques, s"était déclaré impressionné par ses

travaux.

On découvrit par la suite que Georg Mohr avait établi ce résultat précédemment, mais que celui-ci était

passé inaperçu. Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB].

Soit M un point du diamètre [AB]

On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB].

Cette figure porte le nom de tricercle de Mohr.

Partie I :

a)Faire une figure lorsque AB = 10 (cm) et AM = 3 (cm) . b)Calculer le périmètre P du demi-cercle de diamètre [AB] ( en fonction de p ) c)Calculer le périmètre P

1 du demi-cercle de diamètre [AM] ( en fonction de p )

d)Calculer le périmètre P

2 du demi-cercle de diamètre [MB] ( en fonction de p )

e)Montrer que P = P

1 + P2

Partie II :

Répondre aux mêmes questions pour AB = 10 (cm) et AM = 2 (cm)

Que remarquez vous ?

Partie III : ( cas général )

On considère que AB = 2r ( le rayon du " grand » cercle étant alors égal à r ) et AM = 2r1 ( le rayon du

cercle de diamètre [AM] étant alors égal à r 1 ) a)Calculer MB et en déduire le rayon du cercle de diamètre [MB]. b)Calculer le périmètre P du demi-cercle de diamètre [AB] ( en fonction de p et de r ) c)Calculer le périmètre P

1 du demi-cercle de diamètre [AM] ( en fonction de p et de r1)

d)Calculer le périmètre P

2 du demi-cercle de diamètre [MB] ( en fonction de p, de r et de r1 )

e)Montrer que P = P

1 + P2

Remarque : Si P = P1 + P2, alors le périmètre du tricercle de Mohr ( P + P1 + P2 = P + P = 2P ) est égal à la

circonférence ( périmètre ) du grand cercle entier, quelle que soit la position du point M sur le diamètre

[AB].

Correction de la partie III ( cas général )

a)Calcul de MB :

Le point M appartient au segment [AB] , donc

AB = AM + MB

2 r = 2 r

1 + MB

2r - 2 r

1 = MB

MB = 2 ( r - r

1 )

Le diamètre du cercle passant par M et B

est 2( r - r

1 ) , donc son rayon est r - r1 .

b)Calcul du périmètre P du demi-cercle de diamètre [AB] ( en fonction de p et de r )

La circonférence d"un cercle de rayon r

est 2 p r, donc le périmètre d"un demi- cercle est 2 r 2p soit p r Le périmètre du demi-cercle de diamètre [AB] est p r c)Calcul du périmètre P1 du demi-cercle de diamètre [AM] ( en fonction de p et de r1)

Le demi-cercle de diamètre [AM] a pour rayon r

1 . Donc son périmètre est égal à :

P 1 = 2 r 21p= 1r p d)Calcul du périmètre P

2 du demi-cercle de diamètre [MB] ( en fonction de p, de r et de r1 )

Le demi-cercle de diamètre [MB] a pour rayon r - r

1 . Donc son périmètre est égal à :

P 2 = 2 )r - r ( 21p = )r - r ( 1p e)Conclusion :

Nous avons,

quelle que soit la position de M sur le segment [AB] , P

1 + P2 = r r - r r )r - r ( r 1111pppppp=+=+= P

Le tricercle a donc pour périmètre :

P + P

1 + P2 = P + P = p r + p r = 2 p r ( c"est à dire la circonférence de grand cercle de diamètre [AB] )

Supplément sur le tricercle de Mohr :

? Soit P un point du cercle de diamètre [AB]. La droite (PA) coupe le demi-cercle de diamètre [AM] en

R et la droite (PB) coupe le demi-cercle de diamètre [MB] en S Montrer que le quadrilatère MRPS est un rectangle . ? Et l"aire du tricercle de Mohr ?

Nous supposerons le diamètre [AB] est égal à 20 cm. Le rayon du cercle de diamètre [AM] sera r

1. a)Donner un encadrement de r

1 ( c"est à dire entre quelles valeurs r1 peut varier ? )

b)Montrer que le rayon du cercle de diamètre [MB] est 10 - r 1 . c)Montrer que l"aire

A du tricercle de Mohr est :

A = 2 )²r - 10 ( π - 2

²r π -

2

100π11

d)Après avoir simplifier cette expression, montrer que :

A = ²r π - r π 1011

e)Reproduire et compléter le tableau suivant : Rayon ( en cm )

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

Aire du

tricercle (en cm²)

Remarque :

Pour éviter des calculs trop fastidieux, nous pouvons remarquer que : )r10 (r π ²r π - r π 101111-= Cette dernière formule fait intervenir moins d"opérations que la première écriture ! f)L"aire du tricercle de Mohr dépend du rayon r

1, c"est à dire de la position de M.

Cependant , il semble que l"aire atteigne une valeur maximale pour une position particulière de M. Quelle

est cette position ?

Considérons un demi-cercle de rayon 1.

La longueur du demi-cercle noir est donc égale à

π soit , 2

1 x π 2´.

Nous venons de démontrer ( tricercle

de Mohr ) que la longueur totale des deux demi-cercles rouges est égale à la longueur du demi-cercle noir , soit

Continuons et traçons dans chaque

demi-cercle rouge, deux demi-cercles de rayon deux fois plus petit.

Nous obtenons :

La longueur totale de deux demi-cercles verts est égale, comme précédemment, à la longueur du demi-cercle rouge qui les contient. Par conséquent, la longueurs des quatre demi-cercles verts est égale à la longueur des deux demi-cercles rouges , longueur égale à la longueur du demi-cercle noir, soit

Dans chaque demi-cercle vert, traçons

deux demi-cercles ( bleus )

Comme précédemment, la longueur des

huit demi-cercles bleus est égale à la longueur des quatre demi-cercles verts, donc à la longueur des deux demi-cercles rouges, donc à la longueur du demi-cercle noir, soit

Nous pouvons continuer ainsi .

Les cercles que nous dessinerons se " rapprocheront » du diamètre du grand cercle, donc la longueur de

tous ces petits cercles se rapprochera, tendra vers la longueur du diamètre soit 1 + 1 , c"est à dire 2.

Donc :

2 π= !!!!!!!

Remarque :

Ce " semblant » de démonstration comporte évidemment une erreur.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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