[PDF] Chapter 2 La théorie de la relativité restreinte

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Chapter2

Lath"e oriedelarelativit"e

restreinte Da§dieE lekrodynam ikMaxwells[...]inihrerAnwendung aufbewe gteK¬orperzuAsymmetr ienf¬uhrt,welchede n Ph¬anomenennichtanzuhaftensche inen,istbekannt.

A.Ei nstein

2.1Introduct ion

Lath" eoriedelarelativit"erest reint efaitp artieint"egraledelaphysiquemodern e, sÕappliquant`atouteslesinteractionscon nuesdans laphysique,comme parex- emplelesforcesnucl" eaires,sauf` alagra vit"eauxplusgrandes"echelles o`uil faut prendreencomptelese0etsdela th"eori edelar elativit"eg"en"erale.Cepend antlar el- ativit"erestreinteest souventpr"esent"eecommeuneg"en "eralisationde lam"ecanique Newtonienne,cequiestuneapprocheto ut`afa itjustiÞ" ee.Or,his toriquem entet logiquementlarelativit"etrouv esesorig inesdanslÕ"electromagn"etismedeMaxwel l. sonart icleÒZurElektrodynami kbewegter K¬orperÓ. 34

Chapter235

2.1.1MaxwelletE instein

Lesr"es ultatsdelasection(1.6.3)su gg`erentquÕunedescriptiondelap hysique incorporantlam"ecaniqueclassiqueain siquelÕ "electrodynamiquea"et"eachev" ee. Parexem ple,lemembredegaucheduth "eor`e medePoyntingsouslafo rme(1 .79) faitr"ef" erence`ala(densit"edela)qu antit"e demouv ementcombin"eedeschampset unsyst`em em"ecanique p tot =p m"eca +p EM (2.1) Danslecaso` ulesys t`emem"ec aniqueco mprendu necollectiondeparticule snous avons p tot 1 40c
E0B+ N 0 n=1 ⇥(x⇥x n )m n v n (2.2) lapremi `erecontributionrepr"esenta ntlevecteurdePoyntingdeschampsetla deuxi`emelaquantit"edem ouvemen tdetouteslesparticules,chacuneavec son impulsionp n =m n v n .Le th"eor `emedePoyntingexprimelaconser vatio ndela quantit"edemouvementtotale ;nic elledesparticulesnicelledesc hampssont conserv"eeindividuellement.Or nousavonsd"ej`aremarqu"e,danslasection1.6.4 quelÕimpu lsiondeschamps"electromagn"etique sestreli" eealÕ"energiecomme P EM E c 2 v(2.3) SilÕon exigequelÕ"equ ationdelacon servationde laquantit"edemouvementdes champsetparticul essoit coh"erente,ilsuitque P m"eca E c 2 v m"eca (2.4) pourlÕimpulsi ondÕuneparticule.CenÕest"evidemmentp aslecasdanslam"eca nique Newtonienne,o`ulÕ"energiedÕunepart iculeanim "eedÕunevitessevestdon n"eepar E

Newton

1 2 mv 2 etdon cP

Newton

=mvk= E

Newton

c 2 v(2.5) Nousavons donclechoixentr emodiÞerlam "ecani queclassiquedÕa pr`esNewtonou dereno ncer`alÕinterpretationd esnosr "esultatsdanslecadredelÕ"electrodynamique. Commeexprim" edanslacitationaudebutdecec hapitre,Einst ein"etai tconscient

36Section2.2

decett esituationparad oxale,ainsiquedÕautres,quin ousnÕabordonspasici. Etantdonn"eq uelesmodiÞcationsd elam"ecaniqu esontn"ecessai resseulementsila vitessedesparticulesest prochedece lledelalumi`ere, undomainepeuexplor"e `a lÕ"epoque,et"etantdonn"equel esp r"edictionsdes"equa tionsdeMaxwellconcerna nt lerayo nnement"electromagn"etiqueavaient "et"ebienv"eriÞ"eesparlesexperiences 1 Einsteind"eveloppaunenou velleth"eoriedelam"ecaniquecl assiq ue,larelativit"e P m"eca =mv m"eca onentire laconclusionque E=mc 2 (2.6) cequie std"ej`au neindicat iondecequenousallo nsd"ecou vrirensuivantlalogique dÕEinstein.

2.2Lespos tulatsdelar elativit"erestreinte

Lath" eoriedelarelativit"erestre intere pose surdeuxpostulats(Einstein, 1905): r"ef"erentielsinertiels. valeurdanstousr" ef"erentiel sinertiels Leprem ierpostulatintroduit lanotiondÕunr"ef"erenti elinertiel.Celui-ciestd"eÞn i commesuit.Dan sunr"ef"erenti elinertiel, K,to utcorps,surlequ elnesÕexerce aucuneforce 2 ,esten mouv ement detranslationrectili gne,ou aurepos.Par cons"equentsavitesseestconstante etaucu neforcenÕagitsurleco rps.Ainsi, undeuxi `emer"ef"erentielinertiel,K 0 avecunev itessevconstante. 1 PrincipalementparHeinrichHertz(1857-1894)etGugielm oMarconi (1874-1937). 2 oula r"esul tantedetouteslesforcesestnulle.

Chapter237

Tandisquelepremier postulat estpre squeidentiqueauprinci pedelarelativit"e dÕapr`esGalil"ee,ledeuxi `emepostulatestplusradical et,dep lus,nesemblepas coh"erentaveclÕintuitionha bituelle.E0ectivementilsuitquÕun"eclai rdelum i`ere "emi sp aru nes our cee nmo uve men ta vec vit ess evnesepro pag epas`alavitesse c+v,ceq uisera itlecaspou rtoutexp"er ienceim pliqua ntdesobjetsdeno trevie quotidienne.Cepostulata pourcons"e quencelesc"e l`e brese0etsdela relativ it"e restreinte,notammentlanotionqueletempsnÕes tpasabsolu,telquÕexprim" edans ladil atationdutemps,etlÕambigu¬õt"e delasi multan"eit"ededeu x"ev"e nements.La quotidienneestque lesvitesses`a lÕ"e chellehumaine sonttr`espetitesdevant celle delalu mi`ere,l Õ"echellenaturelledelar elativit"erestreinte.

2.3Lestr ansformati onsdeLorentz

Enrel ativit"erestreinteonasouventreco urs`alanotiondÕ"ev"enement.Ceciest caract"eris"eparlelieu,x=(x,y,z),et letemps,t,o` uilseprodu it.IlsÕa v"er era utiledenoterlescoo rdonn"ees spatio-temporel leso`usÕ estproduitun"ev"enement parlesquat resymb oles (ct,x,y,z):=(x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ).(2.7) maislapresencedÕ unevit essesuitimm"edia tementdÕuneanalyse dimensionnelle .

2.3.1LÕinterval ledÕespace-temps

Exprimonsleprincipedelacon stancede lavitessedelalumi`eredansu nlanguage pluspr"ecis.Soi entdeuxr"ef"erentiel sinertielsKetK 0 etvleurvitesserel ative,et soient(ct,x,y,z)et(ct 0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 )le scoordon n"eesdanslesdeuxsyst`emes.Faisons co¬õnciderlesdeuxaxesxetx 0 etsup posonsquelesaxesy,zsoientparall`el esaux axesy 0 ,z 0 Noussuppo sonsmaintenantquÕunpremier "ev"enementaitlieu:un"eclaird elumi`ere 1 `alapos it ion(x 1 ,y 1 ,z 1 ).LÕar riv"eedecet"eclaird"eÞniun

38Section2.3

deuxi`eme"ev"enement,aupoin t(x 2 ,y 2 ,z 2 )`alÕinstantt 2 .Ilest cla ire que (x 1 ⇥x 2 2 +(y 1 ⇥y 2 2 +(z 1 ⇥z 2 2 ⇥c 2 (t 1 ⇥t 2 2 =0.(2.8) Laprop agationdecesignal,dupointdevuedu deuxi` emer" ef"erentielconduit`a lÕexpression (x 0 1 ⇥x 0 2 2 +(y 0 1 ⇥y 0 2 2 +(z 0 1 ⇥z 0 2 2 ⇥c 2 (t 0 1 ⇥t 0 2 2 =0,(2.9) o`ules d"eÞnitio nsdesvaleursdescoordonn"eesdesdeu x"ev"enem entsdansK 0 sont analogues` acellesdansK.Seu lelaconstantec,la vitess edelalumi`ere,nÕest pasmodiÞ "ee,envertududeuxi`emepostul atd ÕEinstein.Laqu antit" eapparaissant danslesdeuxdern i`eres"eq uationsest appel"eelÕintervalle(ÔsÕ)dÕesp ace-tempsentre deux"ev"enemen ts, s 2 12 =⇥c 2 (t 1 ⇥t 2 2 +(x 1 ⇥x 2 2 +(y 1 ⇥y 2 2 +(z 1 ⇥z 2 2 .(2.10) Enver tududeuxi`emep ostulatde larelativit"erestreinteuni ntervalleentredeux "ev"enementsvautz"erodanstousr"ef" erentielsiner tielssÕilvautz "erodansunse ul r"ef"erentiel.LÕintervalleentredeux"ev"ene mentsquisontinÞnimentprocheslÕunde lÕautre,sÕ"ecrit ds 2 =⇥c 2 dt 2 +dx 2 +dy 2 +dz 2 .(2.11) Eng"e n"erallÕintervallenÕestpasfo rcementnulentredeux"ev"enements, parexemple sil Õonconsid`erel apropagationdÕunepartic uleanim "eedÕunevitesseinf"erieu re`a celledelalu mi`ere. Ondistin guetroiscas

1.Intervalledegenrelumi`ere:s

2 =0,commeil"etaitlecaspourlÕ"eclairde lumi`ereci-dessus.

2.Intervalledegenretemps:s

2 <0,comme il"etait lecasp our(2.10)si⇥x=0.

3.Intervalledegenreespace:s

2 >0,commeil "etait lecasp our(2.10)si⇥t=0. Nousvoyons quelanotiondÕinte rvallerel ativis tenousaconduit`au ned"eÞnition dÕuntypededi stance,donn" eeform ellementparlecarr"edÕunnom bre(2.10),qui peutdevenirn "egatif.Lesmath"em atiquesquisecachentderri`er esontcell esdela

Chapter239

g"eom"etriedelÕespacedeMinkows ki,o`u plusg"en"eralementcellesde lag"eom "etrie pseudo-Euclidienne,maisnousnÕallonspasabord ercesujetdanscecour s.

0,1,2,3),av ec

x 0 =ct,x 1 =x,x 2 =y,x 3 =z(2.12) etla matrice [g] µ0 k k k k ⇥1000 0100
0010 0001 .(2.13) AlÕ aidedecesdeuxoutils,l Õinterv all esÕ"ecrit s 2 12 3 0

µ,0=0

⇥x g µ0 ⇥x 0 =⇥x g µ0 ⇥x 0 ,(2.14) o`uleder nierme mbrededroitutilisela conventiondesommat iondÕ Einstein.Aussi nousav onsindroduit ⇥x

Lamat riceg

µ0 sÕappelleletenseurm"etri quedel ÕespaceMinkowski,et nousen parleronsplusdanslasuite.R emarquonsqu enousavonsfa itunch oixdecequÕon appellelasignaturedelÕ espac e-tempsdeMinkowski,notrec hoix" etant(⇥+++), cÕest-`a-direqueladiagonaledel am"etriqu eestdonn" eepar(⇥1,+1,+1,+1).Un choixalternat if,"egalementcoh"erentaurait"et"el asignature(+⇥⇥⇥).

2.3.2Laformedest ransfor mationsdeLorentz

Relativit"edÕapr`esGali"ee

Nouscherc honsmaintenantlestransform ationsquinousam`enentdur"ef"e rentielK aur" ef"erentielK 0 .IlsÕ agi tdetrouverlaformu lequi produitlescoordonn"ees (x 0 dÕun"ev"enementd ansler"ef"erentielK 0 "ev"e nem ent soi ent x dansler"ef"eren tielK.

40Section2.3

Danslam"ecan iquecl assiquedÕapr`esNewtonetGalil"e eonpostulequeletemps soitabsolu, autrementditque t=t 0 .Si lavit esserelati veentreKetK 0 estdon n"ee parlevecteur v,on constat eque t 0 =t x 0 =x⇥vt, laformu lehabituellepourune transformationGalil"eenne.Pourtan tcettetransfor- mationnelaissepasin varian tlÕintervall e(2.10)et doncvi oleledeuxi`e mepostulat dÕEinstein.Ilestdoncn"ecessairedetr ou verl aformedestransfo rmationsquisat- isfaitauxpostul atsdÕEinstei netqui,danslalimitedepetit esvitessesser"eduita celledeGalil"e e.Cede rnierpointd"ecouleenconsid "erant lÕinvariancedelÕinter valle danslalimite o`utou teslesvitessesduprobl`eme sontpetitesd evantlavitessede lalumi `erev?c.CÕ estdonclal imitec"delÕi nvariancedelÕintervalle,dans laquelleontirelaconclusio nquet=t 0 DÕapr`eslepremierpostulatdÕE instein latransformationkdescoordonn" ees k:(ct,x,y,z)⇥(ct 0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 )(2.16) entreKetK 0 nepeut pasd"ependred upointda nslÕespacetempso`ulÕons etrouv e, cequ iestsatisfaitsietseu lemen tsilesapplication sapp araissan tdans(2.16)sont lin"eaires.Consid"eronsenpremier lieulecaso`uler"ef"erentielK 0 sed "eplacepar rapport`aKlelong delÕaxesdesx.Les relatio ns(2.8)et(2.9)m`enent`alÕ"equation c 2 t 2 ⇥x 2 =c 2 (t 0 2 ⇥(x 0 2 .(2.17) Latra nsformationlin"eairesatisfaisantcetterelat ionestdonn"eepar ct=ct 0 coshk+x 0 sinhk x=ct 0 sinhk+x 0 coshk

Chapter241

o`ukestun egrandeurquan tiÞantlatransformat ionk.AÞn dÕobt enirunein- terpr"etationphysiqueduparam`etreknousconsid"eron slemouvementdelÕorigine descoord onn"eesdur"ef"erentielK 0 dansler"ef"er entielK.Da nscecas,x 0 =0,et nousd"eduisons x ct =tanhk.(2.18) Puisquenoussuivonsl Õoriginedesco ordonn"eesdusyst`emeK 0 dansler"ef"er entiel

K,lerapport

x t =Vestla vitesser elativedusyst`eme K 0 parrapport `aKetdon c tanhk= V c :=?.(2.19) Leparam` etrekestapp `el"elarapidit"e.Onpeut doncr" e"ecrire coshk= 1

1⇥?

2 sinhk=

1⇥?

2 Aveccette identiÞcationla transformationcompl`etereliantler"ef" erenti elKauquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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