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calcule l'aire de ces figures en cm². Exercice 3 : Calcule les aires des trois rectangles. A. B. D. C. E. F. Exercice 4 : Calcule les aires des trois carrés

Sommaire 0- Objectifs LES AIRES

Formules de l'aire d'un carré d'un rectangle

leçon et exercices calculer laire dun rectangle dun carré (1

Calculer l'aire d'un rectangle d'un carré. Un rectangle de Longueur « L » et de largeur « l » a pour aire (surface) : A = L x l.

Les aires du carré et du rectangle Relis bien ta leçon sur laire du

Exercice 1 : Calcule les aires des trois rectangles et des trois carrés. Exercice 2 : Voici les dessins à main levée d'un carré et d'un rectangle. Calcule l'

Des carrés dans des triangles

mettait en cause les deux carrés qu'on inscrit classiquement dans un triangle rectangle. Il s'agissait connaissant les aires des deux carrés de calculer la

SEQUENCE SUR LES AIRES

Réinvestir la formule dans des calculs d'aires. Référence aux programmes : - Calculer l'aire d'un carré d'un rectangle

Th`eme 1 : Légalité de Pythagore fiche de résum és

Quand on construit des carrés autour d'un triangle rectangle l'aire du ”grand” carré est égale `a la somme des aires des autres carrés. Exercice du livret :.

Les maths « façon puzzle »

Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres l'aire du carré bleu est égale à la somme de l'aire du.

a² b² c²

L'aire du carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l'angle droit.

Aire et périmètre

Calculer l'aire et le périmètre du carré du rectangle et des figures complexes. 2/ Calculer les aires des carrés et des rectangles qui la composent.

Des carrés dans des triangles

Daniel Reisz

I - Deux carrés dans un triangle rectangle

Un des exercices du rallye mathématique d'Alsace (L'Ouvert N o

103, 2001)

mettait en cause les deux carrés qu'on inscrit classiquement dans un triangle rectangle. Il s'agissait, connaissant les aires des deux carrés de calculer la somme des côtés de l'angle droit. Il est intuitivement assez facile de deviner qu'on ne peut pas donner à ces deux carrés n'importe quelle valeur. On se propose donc ici d'aller un peu plus loin et de comparer les côtés et donc les aires de ces deux carrés en fonction de la forme(on précisera dans la suite ce qu'il faut entendre par là) du triangle rectangle.

1. Étude de la disposition correspondant à la figure 1

Lorsque ARST est un carré on a :

soit, en posant AR x, AB c, AC b, d'où

L'aire est donc égale à

x bc bc cx c x b RB AB RS AC

433Dans nos classes

APMEP n o 441
(*) reiszd@aol.com AB C R T S AB C M N P Q

Figure 1Figure 2

2. Étude de la disposition correspondant à la figure 2

Une des plus jolies méthodes, très classique, est d'utiliser l'homothétie de centre A qui transforme le carré BMNC, construit sur l'hypoténuse BC, en le carré QMNP (figure 3) qui répond au problème. Cette méthode fournit une construction très simple du carré cherché : M et N sont les intersections des segments AMet ANavec

l'hypoténuse BC. Elle peut paraître parachutée, mais en réalité elle relève d'une idée

souvent efficace dans les questions de constructions : on se libère d'abord de telle ou telle contrainte et on " ajuste » ensuite grâce à une transformation judicieusement choisie. La détermination du rapport de cette homothétie est un peu plus laborieuse. Si on pose AB c, AC b, BC a, MN y, on déduit de la similitude des triangles ABC et MBB c'est-à-dire soit et donc BB a b 2 BB a a b BB BC BM AC .1 22
2 bc bc 434
APMEP n o 441

Dans nos classes

AB C M N P Q M N B

Figure 3

Le rapport de l'homothétie évoquée est alors : et

L'aire du carré est donc égale à

3. Comparaison des deux aires

Soit donc à comparer les deux quantités

Une première idée et un premier résultat consiste à regarder la différence C'est une quantité strictement positive et on peut donc déjà conclure que la disposition de la figure 1 fournit toujours un carré plus grand que celui fourni par la disposition de la figure 2. Mais si on veut comparer les aires des deux carrés de manière plus fine en fonction de la formedu triangle rectangle, la différence ne fournit pas le moyen le plus pertinent à cause précisément de ce que l'on fait bouger et de ce que l'on garde invariantlorsque la forme change (aire, périmètre, hypoténuse, ...). Le quotient des deux aires, indépendant de la " taille » du triangle est alors un indicateur plus pertinent.

L'homogénéité algébrique de l'expression et le fait géométriquement évident que la

forme du triangle rectangle est gouvernée par l'un ou l'autre des angles aigus amènent assez naturellement à introduire le paramètre 1 2 222
22 2
bbcc bc b c .12 22
2 2222
222
44
22 22
bc bc bcbc bbcc bc bc b bcc .12 22
2 2222
222
bc bc bcbc bbcc .2 222
222
2222
222
abc bbcc bcbc bbcc y abc bcbc MN 22
AB AB c bc a b bc bc a bc bcbc 2222
AB c a b bc a b 22

435Des carrés dans des triangles

APMEP n o 441

On a alors

On peut déjà remarquer que les deux limites extrêmes (triangles aplatis) correspondant à t0 et tont pour valeur commune (0) () 1. Sans même pousser plus loin l'observation de , on sait d'avance que (t)

1 pour

tout t

0 (car est strictement positif).

On peut aussi affirmer qu'il y aura une symétrie de situations géométriques de part et d'autre du triangle rectangle isocèle, correspondant à t1. Donc on peut avoir un extremum en t1 et s'il y a d'autres extrema, à tout extremum correspondant à une valeur tde ]0 ; 1[ correspondra symétriquement un extremum d'abscisse de ]1 ;[. Regardons de plus près (t) et en particulier sa dérivée L'affaire est entendue ! Le seul extremum (un maximum) est obtenu pour t1. Il a pour ordonnée et donc, pour tout t 0,

1 (t) 1,125.

Les deux carrés ont donc toujours des aires assez proches, la plus grande "différence» correspondant au triangle rectangle isocèle. () ,1 9 8 1125
.t tt t t tt 21 1
11 2 32 2
1 t ,.t tt tt t 1 11 0 22
22
t c b tan C. 436
APMEP n o 441

Dans nos classes

OI J

Figure 4

Remarquons que l'énoncé de l'exercice du Rallye Mathématique d'Alsace donnait pour valeurs respectives des deux aires 441 et 440, dont le rapport se situe bien entre

1 et 1,125. Je n'en attendais pas moins de mes amis alsaciens.

II - Et dans un triangle quelconque ?

Envisageons maintenant de regarder les mêmes configurations dans des triangles

quelconques, c'est à dire des carrés dont un des côtés est porté par un côté du triangle

et dont les deux autres sommets sont chacun sur un des deux autres côtés du triangle. Restreignons-nous à ce qu'annonce le titre : Carré danstriangle, c'est à dire que nous supposerons pour le cas décrit par la figure que les deux angles et sont aigus (et plus généralement lorsque nous envisagerons les trois carrés posés chacun sur l'un des trois côtés, nous supposerons que le triangle est acutangle).

1. Que peut-on dire de ce carré MNNM?

On pourrait pour le construire élégamment et en déterminer son aire, utiliser la méthode de l'homothétie appliquée plus haut au triangle rectangle. Géométrique- ment c'est joli, les calculs ne sont pas des plus aisés. Voici une autre méthode plus calculatoire qui repose sur l'idée d'étudier à quelle condition le rectangle inscrit (figure 6) est un carré. Posons BC a, BAk, AAh, BM xet considérons le rectangle MNNM. C B

437Des carrés dans des triangles

APMEP n o 441
A BCMN MN

Figure 5

A BCMN MN A

Figure 6

Par la propriété de Thalès on a immédiatement soit d'où

De la même façon

fournit

Par ailleurs

Ce rectangle sera un carré si et seulement si

MMMN c'est-à-dire

Et l'aire Ade ce carré sera égale à

Si on observe que ahest le double de l'aire Sdu triangle ABC, l'aire Adu carré peut s'écrire A S ah 4 2 2 A h k ak ah ah ah .MM 2 2 2 22
2 22
2 x ak ah h k xa x k 1 MN a x k 1.

MN BC BM CN

()ax ak k xa x k 1 CN ak k x. CN CA NN AA MM h k x. MM h x k MM AA BM BA 438
APMEP n o 441

Dans nos classes

2. Comparons les trois carrés inscrits dans un triangle acutangle

Si le triangle ABC est acutangle, on peut " poser » un carré inscrit sur chacun des trois côtés. Essayons de comparer leurs tailles et en l'occurrence, au vu de l'expression trouvée plus haut, leurs aires. Pour cela précisons nos notations : - soit h a , h b , h c les hauteurs respectivement issues des sommets A, B, C. - soit A, B, Cles aires des carrés respectivement " posés » sur les côtés BC, CA, AB.

Avec ces notations et en remarquant que

ah a bh b ch c 2S, l'étude faite plus haut nous permet d'écrire

Étudions le rapport de ces aires. Par exemple

Sachant que

2Sabsin

,C A B ab S ba S ab S ba S 22 2
22 2
2 2 2 2 2 2 2 C S ch cS cS c 44
2 2 2 22
22
B S bh bS bS b 44
2 2 2 22
22
A S ah aS aS a 44
2 2 2 22
22

439Des carrés dans des triangles

APMEP n o 441
A BCMN P Q R S P Q S R N M

Figure 7

On peut alors étudier le rapport

en posant , sur l'intervalle [0 ; [. Cette fonction est strictement croissante de pour t0 à pour t, en passant par la valeur 1 pour t1. La courbe représentative est une branche d'hyperbole

On en déduit que

et plus généralement

résultat peu visible sur une figure et qui généralise ce que nous avions déjà remarqué

pour le triangle rectangle : le carré posé sur l'hypoténuse (le plus grand des côtés) est

plus petit que celui " posé » sur les côtés de l'angle droit. abc ABC ab t A B

AB 11

1 sin C sin C rt t t sin sin C C1 t b a r ba ab sin sin C C A B ab S ba S ba ab sin sin 2 2 22
2 2 C C 440
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Des carrés dans des triangles

Daniel Reisz

I - Deux carrés dans un triangle rectangle

103, 2001)

1. Étude de la disposition correspondant à la figure 1

Lorsque ARST est un carré on a :

L'aire est donc égale à

433Dans nos classes

Figure 1Figure 2

2. Étude de la disposition correspondant à la figure 2

Dans nos classes

Figure 3

L'aire du carré est donc égale à

3. Comparaison des deux aires

Soit donc à comparer les deux quantités

435Des carrés dans des triangles

On a alors

1 pour

0 (car est strictement positif).

1 (t) 1,125.

Dans nos classes

Figure 4

1 et 1,125. Je n'en attendais pas moins de mes amis alsaciens.

II - Et dans un triangle quelconque ?

1. Que peut-on dire de ce carré MNNM?

437Des carrés dans des triangles

Figure 5

Figure 6

De la même façon

Par ailleurs

Ce rectangle sera un carré si et seulement si

Et l'aire Ade ce carré sera égale à

MN BC BM CN

Dans nos classes

2. Comparons les trois carrés inscrits dans un triangle acutangle

Avec ces notations et en remarquant que

Étudions le rapport de ces aires. Par exemple

Sachant que

2Sabsin

439Des carrés dans des triangles

Figure 7

On peut alors étudier le rapport

On en déduit que

AB 11