a² b² c² PDF L'aire du carré construit

calcule l'aire de ces figures en cm². Exercice 3 : Calcule les aires des trois rectangles. A. B. D. C. E. F. Exercice 4 : Calcule les aires des trois carrés

Sommaire 0- Objectifs LES AIRES

Formules de l'aire d'un carré d'un rectangle

leçon et exercices calculer laire dun rectangle dun carré (1

Calculer l'aire d'un rectangle d'un carré. Un rectangle de Longueur « L » et de largeur « l » a pour aire (surface) : A = L x l.

Les aires du carré et du rectangle Relis bien ta leçon sur laire du

Exercice 1 : Calcule les aires des trois rectangles et des trois carrés. Exercice 2 : Voici les dessins à main levée d'un carré et d'un rectangle. Calcule l'

Des carrés dans des triangles

mettait en cause les deux carrés qu'on inscrit classiquement dans un triangle rectangle. Il s'agissait connaissant les aires des deux carrés de calculer la

SEQUENCE SUR LES AIRES

Réinvestir la formule dans des calculs d'aires. Référence aux programmes : - Calculer l'aire d'un carré d'un rectangle

Th`eme 1 : Légalité de Pythagore fiche de résum és

Quand on construit des carrés autour d'un triangle rectangle l'aire du ”grand” carré est égale `a la somme des aires des autres carrés. Exercice du livret :.

Les maths « façon puzzle »

Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres l'aire du carré bleu est égale à la somme de l'aire du.

a² b² c²

L'aire du carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l'angle droit.

Aire et périmètre

Calculer l'aire et le périmètre du carré du rectangle et des figures complexes. 2/ Calculer les aires des carrés et des rectangles qui la composent.

Chapitre 4 - Théorème de Pythagore

1- Propriété directe

a) Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Autrement dit : si ABC est un triangle rectangle en C, alors : AB² = AC² + CB² . b) Interprétation géométrique L'aire du carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l'angle droit. Pour la figure ci-contre : c² = a² + b² c) Démonstration Soit le carré ABCD de côté ( a + b ) ci-contre. Les quatre triangles rectangles grisés sont superposables.

Chacun a une aire égale à : ½ a b .

Soit c la longueur de leurs hypoténuses.

Le quadrilatère blanc est donc un losange car tous ses côtés sont de même longueur. Avec la mesure des angles des triangles gris, on démontre qu'il a un angle droit : c'est donc un carré est son aire est alors c². L'aire de ABCD peut donc être calculée de deux différentes manières. * Aire (ABCD) = 4 ( ½ a b ) + c² = c² + 2 ab * Aire (ABCD) = a² + ab + ba + b² = a² + 2 ab + b² On en déduit que : a² + 2 ab + b² = c² + 2 ab Et en enlevant 2 ab à chacun des membres de l'égalité : a² +b² = c²

CQFD !

BCa bc

a²b²c² a aaa b bbbA BCD c cc c ab baA BCD d) Application : calcul d'une longueur

1 er exemple

Soit à calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle ABC rectangle en C tel que : AC = 4 cm ; BC = 6 cm .

Comme le triangle ABC est rectangle en C, on peut utiliser la propriété de Pythagore :

"dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés".

On a alors l'égalité : AB² = AC² + CB²

AB² = 4² + 6²

AB² = 16 + 36

AB² = 52

On cherche donc un nombre positif dont le carré est 52. Par définition, ce nombre est appelé racine carrée de 52 et on le note :52.

Par conséquent : AB =

52cm (c'est la valeur exacte !) En calculant une valeur approchée, on obtient : AB » 7,2 cm .

Définition Soit a un nombre positif.

On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a.

On note ce nombre

a Autrement dit : si a ≥ 0 alors a≥ 0 et a2 =a.

2 ème exemple

On veut calculer la longueur KL d'un triangle JKL rectangle en K tel que : JK = 5 cm ; JL = 13 cm .

Comme le triangle JKL est rectangle en K, on peut utiliser la propriété de Pythagore.

"dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés".

On a alors l'égalité : JL² = JK² + KL²

13² = 5² + KL²

169 = 25 + KL²

Par conséquent : KL² = 169 - 25

KL² = 144

On cherche donc le nombre positif dont le carré est 144. Or, on sait que 12² = 144.

Donc : KL = 12 cm.

2- Propriété réciproque

a) Énoncé

Dans un triangle, si le carré d'un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres,

alors ce triangle est rectangle et il admet ce premier côté comme hypoténuse.

Autrement dit

Si A, B, C sont trois points tels que AB² + BC² = AC², alors ABC est un triangle rectangle en B.

b) Démonstration : admise.

3- Étude de la nature rectangulaire d'un triangle

La propriété de Pythagore et sa réciproque caractérisent le triangle rectangle.

Autrement dit, un triangle ne peut être rectangle qu'à condition qu'une certaine égalité sur les carrés soit vérifiée.

Elles permettent donc de démontrer qu'un triangle est rectangle ou ne l'est pas. * 1 er cas

Énoncé

On considère un triangle ABC tel que : AB = 12 cm ; BC = 13 cm ; CA = 5 cm . On veut démontrer que ce triangle ABC est un triangle rectangle.

Méthode et raisonnement

On veut démontrer que ce triangle est rectangle : son hypoténuse sera donc [ BC ] car c'est le plus grand côté.

On calcule alors séparément le carré de BC et la somme des carrés des deux autres côtés.

Rédaction des exercices

* BC² = 13² = 169 * AB² + CA² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

On en déduit que : BC² = AB² + CA² .

On peut donc utiliser la réciproque du théorème de Pythagore et conclure que : ABC est rectangle en A.

Remarque

Dans cet exercice, on a établi une égalité. On a donc pu utiliser directement la propriété réciproque de

Pythagore, car cette propriété s'énonce : dans un triangle, si le carré d'un des côtés est égal à....

* 2 ème cas

Énoncé

On considère un triangle DEF tel que : DE = 8 cm ; EF = 7 cm ; FD = 4 cm . On veut déterminer si ce triangle DEF est un triangle rectangle.

Méthode et raisonnement

On ne sait pas si ce triangle est rectangle mais son hypoténuse serait [ DE ] car c'est le plus grand côté.

On calcule alors séparément le carré de DE et la somme des carrés des deux autres côtés.

Rédaction des exercices

* DE² = 8² = 64 * EF² + FD² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65 .

Si le triangle était rectangle, alors son hypoténuse serait [DE] car c'est le plus grand côté.

D'après le théorème de Pythagore, on aurait alors : DE² = EF² + FD²

Comme cette égalité n'est pas vérifiée, on en déduit que : le triangle DEF n'est pas rectangle.

Remarque

Dans cet exercice, on a montré qu'il n'y avait pas l'égalité attendue. On n'a donc pas pu utiliser la propriété réciproque de Pythagore ! Et on a alors utilisé le théorème de Pythagore avec un raisonnement par l'absurde.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] a² b² c² L'aire du carré construit

Chapitre 4 - Théorème de Pythagore

1- Propriété directe

Chacun a une aire égale à : ½ a b .

Soit c la longueur de leurs hypoténuses.

CQFD !

BCa bc

1 er exemple

AB² = 4² + 6²

AB² = 16 + 36

AB² = 52

Par conséquent : AB =

Définition Soit a un nombre positif.

On note ce nombre

2 ème exemple

13² = 5² + KL²

169 = 25 + KL²

Par conséquent : KL² = 169 - 25

KL² = 144

Donc : KL = 12 cm.

2- Propriété réciproque

Autrement dit

3- Étude de la nature rectangulaire d'un triangle

Énoncé

Méthode et raisonnement

Rédaction des exercices

On en déduit que : BC² = AB² + CA² .

Remarque

Énoncé

Méthode et raisonnement

Rédaction des exercices

Remarque