[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay





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Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Démontrer la proposition 2.2 (ou au moins l'une des deux propriétés la démonstration étant la même que pour les limites dans R). La définition de la limite d' 



Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 1.2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables ... en (0 0)



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Par contre on peut intégrer une fonction de deux variables sur un du champ pr`es de l'axe de la bobine `a l'aide de développements limités).



Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

Concrètement on dessine sur une page en 2 dimensions. Tant qu'on considère des fonctions de R dans R tout va bien (un graphe est alors une courbe



TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite. La fonction f(x y) est continue sur R2 {0



Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs

Limites et continuité. Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire.



Fonctions de plusieurs variables

gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V Un développement limité `a l'ordre 1 de la fonction f au point x0 est une ...



Fonctions de deux variables

Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables



Fonctions à deux variables

5 juil. 2013 calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous ... Une fonction f : Df ? R2 admet en un point M(a b) une limite finie l ? R si.



Fonctions de 2 et 3 variables

Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.



Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay

1 2 Di?´erentiabilit´e d’une fonction de deux variables D´e?nition 1 2 Soit f une fonction de deux variables d´e?nie au voisinage de (00) On dit que f est di?´erentiable en (00) si elle admet un d´eveloppement limit´e a l’ordre 1 i e si on peut ´ecrire f(xy) = c+ax+by + p x2 +y2 (xy)



Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables

Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables PuisquelanotiondelimitenedépendpasduchoixdelanormesurRponpeutsupposer queRpestmunidelanormekk 1 pourdémontrercetteproposition L’intérêtdecettepropositionestqu’ilsu?tdes’intéresseràdesfonctionsàvaleursdans



Fonctions de deux variables - unicefr

Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est not´ee f 0 y ou parfois



Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel

1 2 Ensemble de dé nition d'une fonction de deux ariables v On considère une fonction fde R2 vers R : f: (x;y) 7! f(x;y) L'ensemble de dé nition de fest le sous-ensemble de R2 formé des couples de réels tels que f(x;y) existe Exemples : a) Soit f(x;y) = x+ 1 2 y+ 1 : D f = R2 b) Soit f(x;y) = (lnx)(lny) : D f est le quart de plan U= f(x;y



Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y



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Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites continuité dérivées partielles et extrema locaux Exercice 1 Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (00) et le cas échéant calculer cette limite 1 f(xy) = xy x +y 2 f(xy) = (x +y)2 x2+y2 3 f(xy ) = x3+y3 x2+y2

Quelle est la limite d'une fonction à plusieurs variables?

Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables 5.Limite et continuité 5.1 limite Définition: soit f:?2??une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de et ?2et???. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b).

Quelle est la limite de la composée de deux fonctions?

Rappel : Limite de la composée de deux fonctions , et désignent des réels, ou . et sont deux fonctions. Si ( ) et si ( ) , alors on a : 1) D’une part, D’autre part, Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, 2) ) Or, A et A . Ainsi, par somme des limites, A .

Comment définir la limite d’une fonction?

1) Etudions les limites de la fonction , définie sur )par ( , en et en . Etudions en premier lieu la limite de la fonction en . D’une part, De plus, Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, Il vient alors que D’autre part,

Comment calculer les fonctions de deux variables?

Exercice Soit les fonctions de deux variables définies par : 1. Calculer les dérivées partielles premières et secondes de f 2. Former la hessienne et calculer la hessienne de chaque fonction f(x,y)x2  2y2 xyx 0 f(x,y)x2y ylnx 1 

Fonctions de plusieurs variables

November 1, 2004

1 Diff´erentiabilit´e

1.1 Motivation

Pour une fonction d"une variablef, d´efinie au voisinage de 0, ˆetre d´erivable en 0, c"est admettre

un d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, f(x) =b+ax+x?(x).

Alorsb=f(0) eta=f?(0).

Interpr´etation g´eom´etrique. La courbe repr´esentative defposs`ede en (0,a) une tangente, la

droite d"´equationy=b+ax.

On veut faire pareil pour une fonction de deux variables. La courbe repr´esentative est remplac´ee

par une surface repr´esentative d"´equationz=f(x,y), la droite tangente par un plan tangent d"´equationz=c+ax+by. La tangence s"exprime en disant que la distance entre le point (x,y,f(x,y)) de la surface et le point (x,y,c+ax+by) du plan est petite devant la distance de (x,y) `a l"origine.

Exemple 1.1f(x,y) =x2+y2.

1.2 Diff´erentiabilit´e d"une fonction de deux variables

D´efinition 1.2Soitfune fonction de deux variables, d´efinie au voisinage de(0,0). On dit quef

estdiff´erentiableen(0,0)si elle admet und´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, i.e. si on peut ´ecrire

f(x,y) =c+ax+by+?x

2+y2?(x,y),

o`u?(x,y)tend vers 0 lorsquexetytendent vers 0. Dans ce cas,fadmet des d´eriv´ees partielles en (0,0), et c=f(0,0), a=∂f∂x (0,0),∂f∂y (0,0).

La diff´erentiabilit´e defen un point quelconque(x0,y0)se traduit par le d´eveloppement limit´e

f(x0+u,y0+v) =f(x0,y0) +∂f∂x (x0,y0)u+∂f∂y (x0,y0)v+?u

2+v2?(u,v),

o`u?(u,v)tend vers 0 lorsqueuetvtendent vers 0. Exemple 1.3f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable `a l"origine.

En effet,

f(x,y) = 2x+y-x2-y2 = 2x+y+?x

2+y2?(x,y),

1 o`u ?(x,y) =-?x 2+y2 tend vers 0 quandxetytendent vers 0.

Th´eor`eme 1Soitfune fonction de deux variables d´efinie au voisinage de(0,0). Si les d´eriv´ees

partielles ∂f∂x et∂f∂y sont d´efinies au voisinage de(0,0)et continues en(0,0), alorsfest diff´erentiable en(0,0), et son d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 s"´ecrit f(x,y) =f(0,0) +∂f∂x (0,0)x+∂f∂y (0,0)y+?x

2+y2?(x,y).

Exemple 1.4f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable en tout point. En effet, on n"a qu"a utiliser le th´eor`eme 1. On peut aussi calculer directement f(x0+u,y0+v) = 2x0+ 2u+y0+v-x20-2x0u-u2-y20-2y0v-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v-u2-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v+?u

2+v2?(u,v).

1.3 Gradient

D´efinition 1.5Soitfune fonction de deux variables, diff´erentiable tout point d"un domaineD. Songradientest le champ de vecteurs d´efini surDpar ?f: (x,y)?→? ∂f∂x (x,y) ∂f∂y (x,y)? Exemple 1.6Le gradient de la fonction d´efinie surR2parf(x,y) =x2est le champ de vecteurs horizontal?(x,y)f=?2x 0?

1.4 Interpr´etation du d´eveloppement limit´e

Proposition 1.7Sifest diff´erentiable enP, alors pour toute droitet?→P+tvpassant parP, la fonctiont?→f(P+tv)est d´erivable, et ddt f(P+tv)|t=0=?Pf·v. On verra plus loin (th´eor`eme 2) que cette formule est vraie pour toute courbe, et non seulement les droites, sous la forme ddt f(c(t)) =?c(t)f·c?(t).

1.5 Lignes de niveau

D´efinition 1.8On appellelignes de niveaudefles ensembles de la formeLw={(x,y);f(x,y) = w}. Exemple 1.9Les lignes de niveau de la fonctionf(x,y) =x2+y2sont des cercles concentriques. Celles de la fonctionf(x,y) =xysont des hyperboles, `a l"exception de la ligne de niveau 0, qui est la r´eunion de deux droites. 2 Proposition 1.10Le gradient d"une fonction est un vecteur perpendiculaire aux lignes de niveau, pointant dans la direction dans laquelle la fonction augmente. Sa longueur est d"autant plus grande

que la fonction varie rapidement, i.e. que les lignes de niveau sont rapproch´ees. Le gradient indique

la direction de plus grande pente. Preuve.Soitt?→c(t) une ligne de niveau. Alorst?→f(c(t)) est constante, donc 0 = ddt f(c(t)) =?c(t)f·c?(t), ce qui montre que le gradient est orthogonal `a la tangente `a la ligne de niveau. Lorsque l"on se d´eplace dans la direction du gradient, par exemple, part?→c(t) =P+t?Pf, ddt f(c(t))|t=0=?Pf·c?(0) =? ?Pf?2>0, doncfaugmente, d"autant plus vite que? ?Pf?est grand.

Soitvun vecteur unitaire. Alors

ddt f(P+tv)|t=0=?Pf·v est maximum lorsquevest colin´eaire et de mˆeme sens que?Pf, donc?Pfindique la direction de plus grande pente.1.6 G´en´eralisation

De la mˆeme fa¸con, on peut parler de d´eveloppement limit´e et de diff´erentiabilit´e pour une fonction

denvariables (remplacer?x

2+y2par?x

21+···+x2n), puis pour une applicationRn→Rp.

Dans ce cas, les coefficients du d´eveloppement limit´e sont des vecteurs deRp. Exemple 1.11SoitIun intervalle deRetc:I→R2une courbe. Calculer un d´eveloppement

limit´e decen 0, c"est calculer des d´eveloppements limit´es des fonctions coordonn´eesx(t) =a0+

a

1t+t?(t),y(t) =b0+b1t+t?(t), et former le d´eveloppement limit´e vectoriel

c(t) =?a0 b 0? +t?a1 b 1? +t?(t). Proposition 1.12Une applicationF= (f1,...,fp) :Rn→Rpest diff´erentiable si et seulement si chacune de ses composantes l"est.

1.7 La diff´erentielle

D´efinition 1.13SoitF:= (f1,...,fp) :Rn→Rpune application diff´erentiable enP. Sa diff´erentielleenPest l"application lin´eaire deRndansRpqui apparaˆıt comme le terme non

constant du d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 enP. Sa matrice, appel´eematrice jacobienne, a pour

coefficients les d´eriv´ees partielles, J f(P) =( ((∂f

1∂x

1...∂f1∂x

n...... ∂f p∂x

1...∂fp∂x

n) Exemple 1.14SiAest une matrice, alors l"application lin´eairefA:Rn→Rpqu"elle d´efinit est diff´erentiable, et sa matrice jacobienne estAen n"importe quel point. Exemple 1.15Soitf(x,y) = 2x+y-x2-y2. Sa matrice jacobienne est ?2-2x1-2y?. 3 Autrement dit, la matrice jacobienne d"une fonction, c"est son gradient vu comme un vecteur ligne.

Exemple 1.16SoitF(t) =?cos(t)

sin(t)? . Sa matrice jacobienne est?-sin(t) cos(t)?

Autrement dit, la matrice jacobienne d"une courbe, c"est sa d´eriv´ee vue comme un vecteur colonne.

Exemple 1.17SoitF(r,θ) = (rcos(θ),rsin(θ)). Sa matrice jacobienne est ?cos(θ)-rsin(θ) sin(θ)rcos(θ)?

1.8 Matrice jacobienne d"une fonction compos´ee

Il s"agit de g´en´eraliser la formule

(g◦f)?= (g?◦f)f?. Th´eor`eme 2Soientf:Rn→Rpetg:Rp→Rqdes applications. On supposefdiff´erentiable enPetgdiff´erentiable enf(P). Alorsg◦fest diff´erentiable enP, et J g◦f(P) =Jg(f(P))Jf(P).

Preuve.Siv?Rn,

f(P+v) =f(P) +Jf(P)v+?v??(v).

On posew=f(P+v)-f(v). Alors

g(f(P) +w) =g(f(P)) +Jg(f(P))w+?w??(w).

Autrement dit,

g◦f(P+v) =g◦f(P) +Jg(f(P))(Jf(P)v+?v??(v))+?w??(w) =g◦f(P) +Jg(f(P))Jf(P)v+?v??(v),

car?w?/?v?est born´e.Corollaire 1.18SoitIun intervalle deR, soitc:I→R2une courbe dans le plan. Soit

f:R2→Rune fonction sur le plan. Alors (f◦c)?(t) =Jgc?(t) =?c(t)f·c?(t) =∂f∂x (c(t))x?(t) +∂f∂y (c(t))y?(t). Corollaire 1.19Soitf:R2→Rune fonction sur le plan. Soitg:R→Rune fonction d"une variable. Alors J

Corollaire 1.20SoitF:R2→R2,F(r,θ) = (rcos(θ),rsin(θ)), le changement de coordonn´ees

polaires. Soitc:R→R2une courbe param´etr´ee, vue en coordonn´ees cart´esiennes(x(t),y(t))ou

polaires(r(t),θ(t)). Alors la vitesse en coordonn´ees cart´esiennes s"obtient en appliquant la matrice

jacobienne deF`a la d´eriv´ee des coordonn´ees polaires, ?x? y =?cos(θ)-rsin(θ) sin(θ)rcos(θ)?? r? =r?er+θ?reθ. 4

1.9 Condition d"extremum

Proposition 1.21Soitfune fonction `a valeurs r´eelles d´efinie au voisinage d"un pointPdeRn. SiPest un minimum local (resp. maximum local) def, alors le gradient defs"annule enP. Preuve.Casn= 2. SoitP= (x0,y0). A fortiori,x0est un minimum local (resp. maximum

local) de la fonctionx?→f(x,y0), donc sa d´eriv´ee enx0est nulle. Or celle-ci vaut∂f∂x

(P). De mˆeme, ∂f∂x (P) = 0, donc?Pf= 0.Remarque 1.22En g´en´eral, la r´eciproque est fausse.

On peut donner des conditions suivantes plus fortes, faisant intervenir les d´eriv´ees secondes. C"est

l"objet du paragraphe suivant.

2 D´eveloppement limit´e `a l"ordre 2

2.1 Motivation

On s"int´eresse au mouvement dans un champ de forces d´erivant d"un potentielV. Les positions

d"´equilibre correspondent aux points o`u les d´eriv´ees partielles deVs"annulent. Pour qu"une position

d"´equilibrePsoitstable, il vaut mieux queVposs`ede unminimum local strictenP, i.e., que pour v?= 0 assez petit,V(P+v)> V(P).quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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