[PDF] Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs





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Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Démontrer la proposition 2.2 (ou au moins l'une des deux propriétés la démonstration étant la même que pour les limites dans R). La définition de la limite d' 



Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 1.2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables ... en (0 0)



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Par contre on peut intégrer une fonction de deux variables sur un du champ pr`es de l'axe de la bobine `a l'aide de développements limités).



Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

Concrètement on dessine sur une page en 2 dimensions. Tant qu'on considère des fonctions de R dans R tout va bien (un graphe est alors une courbe



TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite. La fonction f(x y) est continue sur R2 {0



Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs

Limites et continuité. Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire.



Fonctions de plusieurs variables

gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V Un développement limité `a l'ordre 1 de la fonction f au point x0 est une ...



Fonctions de deux variables

Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables



Fonctions à deux variables

5 juil. 2013 calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous ... Une fonction f : Df ? R2 admet en un point M(a b) une limite finie l ? R si.



Fonctions de 2 et 3 variables

Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.



Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay

1 2 Di?´erentiabilit´e d’une fonction de deux variables D´e?nition 1 2 Soit f une fonction de deux variables d´e?nie au voisinage de (00) On dit que f est di?´erentiable en (00) si elle admet un d´eveloppement limit´e a l’ordre 1 i e si on peut ´ecrire f(xy) = c+ax+by + p x2 +y2 (xy)



Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables

Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables PuisquelanotiondelimitenedépendpasduchoixdelanormesurRponpeutsupposer queRpestmunidelanormekk 1 pourdémontrercetteproposition L’intérêtdecettepropositionestqu’ilsu?tdes’intéresseràdesfonctionsàvaleursdans



Fonctions de deux variables - unicefr

Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est not´ee f 0 y ou parfois



Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel

1 2 Ensemble de dé nition d'une fonction de deux ariables v On considère une fonction fde R2 vers R : f: (x;y) 7! f(x;y) L'ensemble de dé nition de fest le sous-ensemble de R2 formé des couples de réels tels que f(x;y) existe Exemples : a) Soit f(x;y) = x+ 1 2 y+ 1 : D f = R2 b) Soit f(x;y) = (lnx)(lny) : D f est le quart de plan U= f(x;y



Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

3 1 Fonctions implicites dans le cas de deux variables Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x ? y = f(x) y est explicitement fonction de x c'est à dire que connaissant les différentes valeurs de x on peut calculer directement y



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Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites continuité dérivées partielles et extrema locaux Exercice 1 Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (00) et le cas échéant calculer cette limite 1 f(xy) = xy x +y 2 f(xy) = (x +y)2 x2+y2 3 f(xy ) = x3+y3 x2+y2

Quelle est la limite d'une fonction à plusieurs variables?

Chapitre 2 : les fonctions à plusieurs variables 5.Limite et continuité 5.1 limite Définition: soit f:?2??une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de et ?2et???. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b).

Quelle est la limite de la composée de deux fonctions?

Rappel : Limite de la composée de deux fonctions , et désignent des réels, ou . et sont deux fonctions. Si ( ) et si ( ) , alors on a : 1) D’une part, D’autre part, Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, 2) ) Or, A et A . Ainsi, par somme des limites, A .

Comment définir la limite d’une fonction?

1) Etudions les limites de la fonction , définie sur )par ( , en et en . Etudions en premier lieu la limite de la fonction en . D’une part, De plus, Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, Il vient alors que D’autre part,

Comment calculer les fonctions de deux variables?

Exercice Soit les fonctions de deux variables définies par : 1. Calculer les dérivées partielles premières et secondes de f 2. Former la hessienne et calculer la hessienne de chaque fonction f(x,y)x2  2y2 xyx 0 f(x,y)x2y ylnx 1 

Notes du cours MTH1101 - Calcul I

Partie II: fonctions de plusieurs variables

Guy Desaulniers

D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel

´Ecole Polytechnique de Montr´eal

Automne 2022

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs

variables :Alg´ebriquement

Graphiquement

Num´eriquement

Repr´esentation alg´ebrique

f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x

21+x22+x23.

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine une

surface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)

appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une forte

variation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est

relativement constante dans cette r´egion. 9/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´erique

A l'aide d'un tableau :

x3 4 5

0.022.5 21.0 19.8

y0.521.6 20.7 19.6

1.021.1 20.7 19.9

1.520.9 21.1 20.6

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisamment

proche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables

lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la

limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques lois

lim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim

f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesRemarques

Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46

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D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il

d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesProposition

Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46

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1Fonctions de plusieurs variables

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2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46

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D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variable

Soitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors

f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).

De mˆeme, la

d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46

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D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, f

x(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la

d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46

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D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante et

on d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors

f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46

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D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieur

Ordre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)

f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`eme

Sifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46

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Plan tangent et approximation lin´eaire

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D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesPlan tangent `a une surface Soitf(x,y) une fonction de deux variables. L'´equation du plan tangent `a la surfacez=f(x,y) au point (x0,y0,z0) (o`u zquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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