Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite). 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles. Cas des fonctions d'une variable.
5. Dérivées de fonctions de plusieurs variables
Développement de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables Fonction de deux variables : Dérivées secondes. ? Dérivées secondes :.
Fonctions de deux variables
une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
Exactement comme dans le cas des fonction d'une variable en plu- sieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La dérivée composée se
Fonctions de plusieurs variables
On obtient ainsi une fonction de deux variables g?f. Pour calculer les dérivée partielles de g?f il suffit d'appliquer la formule de dérivation des fonctions
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible et relativement facile : il suffit d'appli- quer un certain nombre de r`egles de calcul bien connues;
Fonctions de plusieurs variables
Nov 1 2004 Théor`eme 1 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées. Dérivée directionnelle et
Fonctions à deux variables
Jan 25 2012 Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de ses application partielles. On note. ?f. ?x la dérivée de fx et.
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres 3.1 Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables.
Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
Nous admettrons que si une fonction est continue et possède des dérivées partielles continues alors elle est différentiable Nous ne fournirons pas de plus amples explications théoriques c'est la généralisation de la notion de différentielle à une variable Et nous écrirons : df = ?f ?x dx + ?f ?y dy = f ' x dx + f ' y dy
4 Les derivees et les fonctions de plusieurs variables
Fonction de une variable Soit fune fonction de une variable d´efinie deR dans R Lad´eriv´ee de fau point x?R est f?(x) = df dx (x) = lim h?0 f(x+ h) ?f(x) h (si cette limite existe) f?(x) est aussi appel´e letaux de variation (instantann´e)ou la pente de la tangenteau graphe en x
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
d(G F)(x) = dG(F(x)) dF(x): Exercice DériverG Florsque F(x;y) = (x2 +y2;exy) G(u;v) = (xy;sinx;x2 y) 2 3 Surlarèglededérivationenchaîne Lerésultatthéorique Soient f : Rn!R et g : Rp!Rn deux fonctions di?érentiables Écrivons h= f g:D’après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctionsdeR dansR):
Fonctions de deux variables - unicefr
D´eriv´ees partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est
Tableaux des dérivées
%20primitives
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Ainsi f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en (0;0) et ¶ f ¶ x (0;0)=0 • Pour (x;y)6=( 0;0) ¶ f ¶x (x;y)=y (3x2 2y )(x2+y2) (x3 4y2x)(2x) (2 +y2)2 = y(x +4x2y2 y4) 2 2)2 Finalement f admet sur R2 une dérivée partielle par rapport à sa première variable dé?nie par 8(x;y)2R2 ¶ f ¶x (x;y)= 8
Quels sont les dérivées et les fonctions de plusieurs variables?
Les dérivées et les fonctions de plusieurs variables 11 2 2 2 2 2 2 xx xx yx yx xy xy yy yy f f f f x x x f f f f x y x y f f f f y x y x f f f f y y y Le théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz (aussi connu sous les noms de théorème de Clairaut et de théorème de Young) affirme que
Comment définir une fonction de 2 variables?
ou en?n par f: x y ! f(x;y): Une fonction de 2 variables n’est pas toujours dé?nie sur IR2tout entier, mais seulement sur un sous ensemble appelé domaine de dé?nition. Ce domaine de dé?nition est une surface, sous ensemble du plan xOy.
Comment calculer la différence entre une fonction et une variable ?
Diff´erentielle pour une fonction `a une variable Soit y= f(x). On cherche `a approximer un accroissement ?yde y lorsque xsubit un accroissement de ?x Diff´erentielle de x : dx peut prendre n’importe quelle valeur, dont ?x Diff´erentielle dey : Variation de l’ordonn´ee de la tangente : dy(x) = df(x) = f?(x)dx (avec x = a sur la figure)
Comment calculer la courbe de niveau d’une fonction de deux variables?
Mais pour que cela fonctionne, il faut que notre fonction d’une seule variable devienne une courbe de niveau d’une fonction de deux variables. En fait, cette fonction est la courbe de niveau pour z= 0 de la fonction z x x y? ? ??2 12
Fonctions de deux variables
D´edou
Mai 2011
D"une `a deux variables
Les fonctions mod`elisent de l"information d´ependant d"un param`etre. On a aussi besoin de mod´eliser de l"information d´ependant de plusieurs param`etres, et c"est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu"on sait faire pour les fonctions d"une variable s"´etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.Exemple de fonctions de deux variables
Comme les fonctions d"une variable, celles de deux variables s"´ecrivent avec "?→". En voici une :d:= (x,y)?→ |x-y|. Je l"appelledparce que d(x,y) est la distance entrexety. En voici une autre :p:= (R,R?)?→RR?R+R?. C"est la fonction qui donne la r´esistance d"un montage en parall`ele de deux r´esistances. C"est pour ¸ca que j"ai appel´e les variablesRetR?, mais j"aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y)?→xyx+y.Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables.Domaine de d´efinition
Certaines fonctions sont d´efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d"autres non. On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications deR2dansR?, ce qui permet de d´efinir le domaine de d´efinition par la formule :DDf:={(x,y)?R2|f(x,y)?=?}.Exemple
Posonsf:= (x,y)?→ln(x-y2)-2?y-x2.
C"est une partie du plan et ¸ca se dessine.Exo 2Dessinez le domaine de d´efinition de
f:= (x,y)?→xln(x+y)-y⎷y-x.Graphe
Le grapheGrfd"une fonctionfde deux variables, c"est une partie deR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}.Exemple
a) Le graphe de (x,y)?→x+y+ 1 est le plan passant par (0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2). b) Le graphe de (x,y)?→?1-x2-y2est "l"h´emisph`ere nord" de la sph`ere unit´e.Ca se dessine ou se visualise.D´eriv´ees partielles
Pour une fonction de deux variables, il y a deux d´eriv´ees, une "par rapport `ax" et l"autre "par rapport `ay". Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b)?→(x?→f(x,b))?(a) (a,b)?→(x?→f(a,x))?(b). La premi`ere est not´eef?xou parfois∂f∂xet la seconde est not´eef?y ou parfois ∂f∂y. On a donc f ?x(a,b) = (x?→f(x,b))?(a)f?y(a,b) = (x?→f(a,x))?(b).Calcul de la premi`ere d´eriv´ee partielle
Pour calculer la premi`ere d´eriv´ee partielle, on consid`ereycomme un param`etre et on d´erive comme d"habitude.ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?x(x,y) =y-ysinxy.Exo 3Calculezf?x(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Calcul de la seconde d´eriv´ee partielle
Pour calculer la seconde d´eriv´ee partielle, on consid`erexcomme un param`etre et on d´erive "eny".ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?y(x,y) =x+ 2y-xsinxy.Exo 4Calculezf?y(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Le gradient
Si on met les deux d´eriv´ees partielles ensemble, on obtient le gradientdef, qu"on note?f, ce qui se lit aussi "nablaf" :Posonsf:= (x,y)?→xy+y2.On af?x(x,y) =yet
f ?y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc (10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)?→xey-3yx2en (1,1).Le dessin du gradient
Le gradient?f(M) defau pointMest un ´el´ement deR2qu"on voit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u on veut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voir l"origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a un gradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradient d"une fonction est un "champ" de vecteurs.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+ 2y2, on a?f(2,1) = (4,4) et ¸ca se dessine.Exo 6Pourf:= (x,y)?→xy-y2, dessinez?f(1,1).
Le sens du gradient
A une variable, la d´eriv´ee dit dans quel sens varie la fonction et `a quelle vitesse : plus la d´eriv´ee est grande, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation"). A deux variables, le gradient pointe dans la direction o`u la fonction augmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation").Points critiques
On a compris qu"une fonction d´erivable d"une variable atteint ses bornes l`a o`u sa d´eriv´ee s"annule (ou au bord de son DD). A deux variables c"est pareil, sauf que la d´eriv´ee est remplac´ee par le gradient.D´efinition Les points critiques d"une fonctionfde deux variables sont les points o`u son gradient s"annule.Points critiques : exemples
Exemple
Les points critiques def:= (x,y)?→x3-3x+y2sont ceux qui v´erifient les deux ´equations 3x2-3 = 0 et 2y= 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (-1,0).Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)?→x2-4x+y3-3y.Courbes de niveau
Les courbes de niveau d"une fonctionfde deux variables sont les lieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise : Niv c:={M?R2|f(M) =c}.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucest le cercle de rayon⎷ccentr´e en l"origine.Courbe de niveau par un point
SiAest un point du domaine de d´efinition def, il y passe une courbe de niveau def, celle de niveauf(A). L"´equation de la courbe de niveau defpassant parAest f(M) =f(A).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation de la courbe de niveau passant parAestx2+y2= 25 , c"est donc le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine.Exo 8 Pour la mˆeme fonction, quelle est la courbe de niveau passant par (1,2)?Courbe de niveau et gradient
L`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe de niveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau est perpendiculaire au gradient. "Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partir perpendiculairement `a la courbe de niveau".Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveau passant parAest le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine. Et on a ?f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au rayon.Plan tangent au graphe
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"´equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) est y=f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"´equation du plan tangent au point (a,b,f(a,b)) est z=f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation du plan tangent est z= 25 + 6(x-3) + 8(y-4).Approximation lin´eaire
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"approximation lin´eaire au pointaest la fonction dont le graphe est la tangente, `a savoir : x?→f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"approximation lin´eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plan tangent, `a savoir : (x,y)?→f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exo 9 Calculez l"approximation lin´eaire def:= (x,y)?→x2+y2enA:= (3,4).
D´eriv´ees partielles sup´erieures
Pour faire des approximations quadratiques et autres, il faut des d´eriv´ees sup´erieures. Bien entendu, on peut par exemple d´eriver deux fois, et ce de quatre fa¸cons. Ces quatre d´eriv´ees sont not´eesf??x2,f??xy,f??yx,f??y2sauf que les deux du milieu sont toujours ´egales, donc on n"´ecrit jamaisf??yx.Exo 10 Calculezf??xyetf??yxpourf:= (x,y)?→exy+xsiny.Extrema
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du
rectangle, soit en des points critiques.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→x2+y2-2x-4ysur le On af(x,y) = (x-1)2+ (y-2)2-5. On voit qu"elle atteint son maximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et son minimum (-5) en (1,2) qui est un point critique.Exo 11Trouver le maximum et le minimum de la fonction
f:= (x,y)?→x2+y2-3x-3ysur le rectangle d´efini par les deuxInterm`ede : mauvaise foi
On a dit :
Sifest une fonction d´erivable sur un rectangle, alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit en des points critiques.Exo 12 Donner une interprˆetation fausse (et de mauvaise foi!) de cet´enonc´e.
Extrema sur le bord
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle.On trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinant
les quatre cˆot´es, et en gardant le meilleur de ce qu"on trouve.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur le Cette fonction est nulle sur deux des quatre cˆot´es du rectangle. Sur le bord d"en haut, on a la fonctionx?→2x+ 2x3qui est croissante et varie de 0 `a 4. Sur le bord de droite, on a la fonction y?→y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4.Extrema tout court : exemple
Exemple
On consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur Sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4. Pour trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle, on calcule ses points critiques, qui sont d´efinis par y2-y+ 3x2y= 2xy-x+x3= 0.En dehors des axes, on trouve
y+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r´esolvant ce syst`eme, on trouve, dans notre rectangle, le point critique ( 25,1⎷5 En ce point,fprend la valeur n´egative10⎷5-42125 ⎷5 qui est donc son minimum.
Extrema tout court : exercice
Exo 13
Calculer le maximum et le minimum de
f:= (x,y)?→2xy2-xy+x3ysur le mˆeme rectangle d´efini par lesquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] faire une étude de marché gratuite
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