[PDF] Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs





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Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La

Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite). 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles. Cas des fonctions d'une variable.



5. Dérivées de fonctions de plusieurs variables

Développement de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables Fonction de deux variables : Dérivées secondes. ? Dérivées secondes :.



Fonctions de deux variables

une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées



2.3 Dérivabilité en plusieurs variables

Exactement comme dans le cas des fonction d'une variable en plu- sieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La dérivée composée se 



Fonctions de plusieurs variables

On obtient ainsi une fonction de deux variables g?f. Pour calculer les dérivée partielles de g?f il suffit d'appliquer la formule de dérivation des fonctions 



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible et relativement facile : il suffit d'appli- quer un certain nombre de r`egles de calcul bien connues; 



Fonctions de plusieurs variables

Nov 1 2004 Théor`eme 1 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0



Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs

2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées. Dérivée directionnelle et 



Fonctions à deux variables

Jan 25 2012 Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de ses application partielles. On note. ?f. ?x la dérivée de fx et.



Fonctions de 2 et 3 variables

Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres 3.1 Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables.



Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

Nous admettrons que si une fonction est continue et possède des dérivées partielles continues alors elle est différentiable Nous ne fournirons pas de plus amples explications théoriques c'est la généralisation de la notion de différentielle à une variable Et nous écrirons : df = ?f ?x dx + ?f ?y dy = f ' x dx + f ' y dy



4 Les derivees et les fonctions de plusieurs variables

Fonction de une variable Soit fune fonction de une variable d´efinie deR dans R Lad´eriv´ee de fau point x?R est f?(x) = df dx (x) = lim h?0 f(x+ h) ?f(x) h (si cette limite existe) f?(x) est aussi appel´e letaux de variation (instantann´e)ou la pente de la tangenteau graphe en x



Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La

d(G F)(x) = dG(F(x)) dF(x): Exercice DériverG Florsque F(x;y) = (x2 +y2;exy) G(u;v) = (xy;sinx;x2 y) 2 3 Surlarèglededérivationenchaîne Lerésultatthéorique Soient f : Rn!R et g : Rp!Rn deux fonctions di?érentiables Écrivons h= f g:D’après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctionsdeR dansR):



Fonctions de deux variables - unicefr

D´eriv´ees partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est





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Ainsi f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en (0;0) et ¶ f ¶ x (0;0)=0 • Pour (x;y)6=( 0;0) ¶ f ¶x (x;y)=y (3x2 2y )(x2+y2) (x3 4y2x)(2x) (2 +y2)2 = y(x +4x2y2 y4) 2 2)2 Finalement f admet sur R2 une dérivée partielle par rapport à sa première variable dé?nie par 8(x;y)2R2 ¶ f ¶x (x;y)= 8

Quels sont les dérivées et les fonctions de plusieurs variables?

Les dérivées et les fonctions de plusieurs variables 11 2 2 2 2 2 2 xx xx yx yx xy xy yy yy f f f f x x x f f f f x y x y f f f f y x y x f f f f y y y Le théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz (aussi connu sous les noms de théorème de Clairaut et de théorème de Young) affirme que

Comment définir une fonction de 2 variables?

ou en?n par f:  x y  ! f(x;y): Une fonction de 2 variables n’est pas toujours dé?nie sur IR2tout entier, mais seulement sur un sous ensemble appelé domaine de dé?nition. Ce domaine de dé?nition est une surface, sous ensemble du plan xOy.

Comment calculer la différence entre une fonction et une variable ?

Diff´erentielle pour une fonction `a une variable Soit y= f(x). On cherche `a approximer un accroissement ?yde y lorsque xsubit un accroissement de ?x Diff´erentielle de x : dx peut prendre n’importe quelle valeur, dont ?x Diff´erentielle dey : Variation de l’ordonn´ee de la tangente : dy(x) = df(x) = f?(x)dx (avec x = a sur la figure)

Comment calculer la courbe de niveau d’une fonction de deux variables?

Mais pour que cela fonctionne, il faut que notre fonction d’une seule variable devienne une courbe de niveau d’une fonction de deux variables. En fait, cette fonction est la courbe de niveau pour z= 0 de la fonction z x x y? ? ??2 12

Notes du cours MTH1101 - Calcul I

Partie II: fonctions de plusieurs variables

Guy Desaulniers

D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel

´Ecole Polytechnique de Montr´eal

Automne 2022

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs

variables :Alg´ebriquement

Graphiquement

Num´eriquement

Repr´esentation alg´ebrique

f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x

21+x22+x23.

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine une

surface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)

appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une forte

variation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est

relativement constante dans cette r´egion. 9/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´erique

A l'aide d'un tableau :

x3 4 5

0.022.5 21.0 19.8

y0.521.6 20.7 19.6

1.021.1 20.7 19.9

1.520.9 21.1 20.6

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Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisamment

proche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables

lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la

limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques lois

lim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim

f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesRemarques

Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il

d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46

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D´eriv´ees partiellesProposition

Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46

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D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variable

Soitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors

f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

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D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).

De mˆeme, la

d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, f

x(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la

d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46

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D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante et

on d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors

f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46

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Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieur

Ordre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)

f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`eme

Sifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46

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