Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite). 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles. Cas des fonctions d'une variable.
5. Dérivées de fonctions de plusieurs variables
Développement de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables Fonction de deux variables : Dérivées secondes. ? Dérivées secondes :.
Fonctions de deux variables
une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
Exactement comme dans le cas des fonction d'une variable en plu- sieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La dérivée composée se
Fonctions de plusieurs variables
On obtient ainsi une fonction de deux variables g?f. Pour calculer les dérivée partielles de g?f il suffit d'appliquer la formule de dérivation des fonctions
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible et relativement facile : il suffit d'appli- quer un certain nombre de r`egles de calcul bien connues;
Fonctions de plusieurs variables
Nov 1 2004 Théor`eme 1 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées. Dérivée directionnelle et
Fonctions à deux variables
Jan 25 2012 Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de ses application partielles. On note. ?f. ?x la dérivée de fx et.
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres 3.1 Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables.
Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
Nous admettrons que si une fonction est continue et possède des dérivées partielles continues alors elle est différentiable Nous ne fournirons pas de plus amples explications théoriques c'est la généralisation de la notion de différentielle à une variable Et nous écrirons : df = ?f ?x dx + ?f ?y dy = f ' x dx + f ' y dy
4 Les derivees et les fonctions de plusieurs variables
Fonction de une variable Soit fune fonction de une variable d´efinie deR dans R Lad´eriv´ee de fau point x?R est f?(x) = df dx (x) = lim h?0 f(x+ h) ?f(x) h (si cette limite existe) f?(x) est aussi appel´e letaux de variation (instantann´e)ou la pente de la tangenteau graphe en x
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
d(G F)(x) = dG(F(x)) dF(x): Exercice DériverG Florsque F(x;y) = (x2 +y2;exy) G(u;v) = (xy;sinx;x2 y) 2 3 Surlarèglededérivationenchaîne Lerésultatthéorique Soient f : Rn!R et g : Rp!Rn deux fonctions di?érentiables Écrivons h= f g:D’après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctionsdeR dansR):
Fonctions de deux variables - unicefr
D´eriv´ees partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux d´eriv´ees une ”par rapport `a x” et l’autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a gauche la premi`ere `a droite la seconde) : (ab) 7?(x 7?f(xb))0(a) (ab) 7?(x 7?f(ax))0(b) La premi`ere est not´ee f0 x ou parfois ?f ?x et la seconde est
Tableaux des dérivées
%20primitives
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Ainsi f admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en (0;0) et ¶ f ¶ x (0;0)=0 • Pour (x;y)6=( 0;0) ¶ f ¶x (x;y)=y (3x2 2y )(x2+y2) (x3 4y2x)(2x) (2 +y2)2 = y(x +4x2y2 y4) 2 2)2 Finalement f admet sur R2 une dérivée partielle par rapport à sa première variable dé?nie par 8(x;y)2R2 ¶ f ¶x (x;y)= 8
Quels sont les dérivées et les fonctions de plusieurs variables?
Les dérivées et les fonctions de plusieurs variables 11 2 2 2 2 2 2 xx xx yx yx xy xy yy yy f f f f x x x f f f f x y x y f f f f y x y x f f f f y y y Le théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz (aussi connu sous les noms de théorème de Clairaut et de théorème de Young) affirme que
Comment définir une fonction de 2 variables?
ou en?n par f: x y ! f(x;y): Une fonction de 2 variables n’est pas toujours dé?nie sur IR2tout entier, mais seulement sur un sous ensemble appelé domaine de dé?nition. Ce domaine de dé?nition est une surface, sous ensemble du plan xOy.
Comment calculer la différence entre une fonction et une variable ?
Diff´erentielle pour une fonction `a une variable Soit y= f(x). On cherche `a approximer un accroissement ?yde y lorsque xsubit un accroissement de ?x Diff´erentielle de x : dx peut prendre n’importe quelle valeur, dont ?x Diff´erentielle dey : Variation de l’ordonn´ee de la tangente : dy(x) = df(x) = f?(x)dx (avec x = a sur la figure)
Comment calculer la courbe de niveau d’une fonction de deux variables?
Mais pour que cela fonctionne, il faut que notre fonction d’une seule variable devienne une courbe de niveau d’une fonction de deux variables. En fait, cette fonction est la courbe de niveau pour z= 0 de la fonction z x x y? ? ??2 12
Notes du cours MTH1101 - Calcul I
Partie II: fonctions de plusieurs variables
Guy Desaulniers
D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel´Ecole Polytechnique de Montr´eal
Automne 2022
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs
variables :Alg´ebriquementGraphiquement
Num´eriquement
Repr´esentation alg´ebrique
f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x21+x22+x23.
6/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine unesurface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)
appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une fortevariation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est
relativement constante dans cette r´egion. 9/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´eriqueA l'aide d'un tableau :
x3 4 50.022.5 21.0 19.8
y0.521.6 20.7 19.61.021.1 20.7 19.9
1.520.9 21.1 20.6
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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisammentproche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables
lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la
limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques loislim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim
f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRemarques
Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il
d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesProposition
Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variableSoitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors
f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).De mˆeme, la
d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, fx(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la
d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante eton d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors
f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieurOrdre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)
f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`emeSifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] faire une étude de marché gratuite
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