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Préparée à l'École normale supérieure au sein du laboratoire Kastler

Tomographie par trajectoires d

du champ micro-

Soutenue par

Valentin MÉTILLON

Le 12 novembre 2019

Ecole doctorale n° 564

Physique en Île-de-France

Spécialité

Physique quantique

Préparée à l'École normale supérieure, au sein du laboratoire Kastler-Brossel Tomographie par trajectoires d'états délocalisés -onde de deux cavités

France

Composition du jury :

Agnès, MAÎTRE

Professeure, Sorbonne Université

Olivier, BUISSON

Directeur de recherche, Institut Néel

Christian, ROOS

Senior scientist, IQOQI Innsbruck

Klaus, MØLMER

Professeur, Université d'Aahrus

Pierre, ROUCHON

Professeur, Mines Paristech

Igor, DOTSENKO

Maître de conférences, Collège de France

Michel, BRUNE

Directeur de recherche,

École normale supérieure

états délocalisés

Présidente

Rapporteur

Rapporteur

Examinateur

Membre invité

ance Membre Invité

Directeur de thèse

Table des matières

I Atomes et photons en cavité3

I.1 Description quantique d"un mode du champ électromagnétique. . . . . . 3 I.1.1 Quantification du champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1.2 Couplage du mode à un courant classique. . . . . . . . . . . . . . 4 I.1.3 La fonction de Wigner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.1.4 État du champ à deux modes fonction de Wigner. . . . . . . . . . 6 I.1.5 Décohérence du champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.2 L"atome à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2.1 Le pseudo-spin atomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2.2 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2.3 Interaction de l"atome à deux niveaux avec un champ classique. . 12 I.3 Interaction entre atomes et lumière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.3.1 Modèle de Jaynes et Cummings et théorie de l"atome habillé. . . 15 I.3.2 Interaction résonnante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I.3.3 Interaction dispersive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.3.4 Le passage adiabatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.3.5 Pertinence du modèle d"un atome couplé à un mode du champ. . 21 I.4 Le dispositif expérimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.4.1 Des cavités de grande finesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.4.2 Atomes de Rydberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a) Propriétés des atomes de Rydberg circulaires. . . . . . . 30 b) Préparation sélective d"échantillons atomiques. . . . . . 33 c) Détection des atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 I.5 Techniques d"électrodynamique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.5.1 Calibration du champ électrique et contrôle de la fréquence atomique39 I.5.2 Initialisation du mode dans l"état vide. . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.5.3 Oscillations de Rabi et préparation d"états de Fock à un photon. 40 a) Mesure de la fréquence de Rabi du vide. . . . . . . . . . 41 b) Oscillations de Rabi à proximité de la résonance : effet de l"habillage initial de l"atome . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I.5.4 Interférométrie de Ramsey et mesure de la fonction de Wigner. . 50 II Préparation et mesure d"états intriqués en électrodynamique quantique

à deux cavités

63
II.1 Préparation d"un état délocalisé d"un photon. . . . . . . . . . . . . . . . 63 II.1.1 La séquence d"impulsions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 II.1.2 Les étatsnoon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 II.1.3 Propriétés de l"état|10?+|01?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 II.1.4 Préparation d"un état à deux photons. . . . . . . . . . . . . . . . 71 II.2 La mesure résonnante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 II.2.1 Séquence de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 i iiTABLE DES MATIÈRES II.2.2 Optimalité de la mesure résonnante : états propres et information de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 II.3 Résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.3.1 Un interféromètre de 6000 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.3.2 Contraste de l"interféromètre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 a) Erreurs de détection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 b) Erreurs de préparation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 c) Contraste de Rabi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 d) Échantillons à deux atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . 80 e) Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.3.3 Mesure de coupes de la fonction de Wigner de l"état|10?+|01?. . 81 IIIPrincipes de la tomographie d"états quantiques89 III.1 Quelques rappels de théorie de l"estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . 90 III.1.1 Cadre de l"estimation d"un paramètre réel. . . . . . . . . . . . . . 90 III.1.2 Efficacité de l"estimateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 a) Information de Fisher et borne de Cramer-Rao. . . . . . 91 b) Estimation par maximum de vraisemblance. . . . . . . . 92 III.2 Principe de la tomographie quantique et des méthodes de reconstruction. 94 III.2.1 Rappels sur l"opérateur densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 a) Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 b) EnsembleD(H)des matrices densité. . . . . . . . . . . . 95 c) Paramétrisation deD(H)pour un qubit. . . . . . . . . . 96 III.2.2 Méthodes usuelles de reconstruction. . . . . . . . . . . . . . . . . 98 III.2.3 Limitations des méthodes usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 III.3 Tomographie par trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 III.3.1 Trajectoires quantiques, opérateurs de Kraus et matrice d"effet. . 104 a) Mesure généralisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 b) Description de mesures imparfaites. . . . . . . . . . . . . 106 c) Cartes quantiques et somme de Kraus. . . . . . . . . . . 106 d) Interaction d"un système avec un environnement. . . . . 108 e) Équation pilote de Lindblad. . . . . . . . . . . . . . . . 109 f) Matrices d"effet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 g) Conclusion de la section. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 III.3.2 Tomographie par trajectoires : principe et mise en application. . . 114 a) Principe de la méthode et construction des matrices d"effet114 b) Le choix des mesures et leur nombre. . . . . . . . . . . . 116 c) Calcul du gradient et détermination de l"estimateur. . . 116 d) Algorithme de montée de gradient. . . . . . . . . . . . . 118 e) Interprétation de la méthode : cas du qubit. . . . . . . . 120 III.3.3 Prise en compte des imperfections et pertinence des résultats. . . 121 a) Les résultats sont-ils physiques?. . . . . . . . . . . . . . 121 b) Le cas des états purs ou presque. . . . . . . . . . . . . . 122 III.4 Incertitudes de la tomographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 III.4.1 Surfaces d"isovraisemblance et volumes de confiance. . . . . . . . 123 III.4.2 Information de Fisher et calcul des barres d"erreur. . . . . . . . . 128 III.4.3 Incertitudes sur la reconstruction d"un qubit. . . . . . . . . . . . 131

IVReconstruction d"états intriqués135

IV.1 Matrices d"effet théoriques pour nos mesures. . . . . . . . . . . . . . . . 135 IV.1.1 La mesure résonnante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 a) Mesure résonnante à un atome. . . . . . . . . . . . . . . 136 b) Mesure résonnante à plusieurs atomes. . . . . . . . . . . 138 IV.1.2 La mesure dispersive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 a) Mesure de la parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 b) Mesure de plusieurs atomes successifs. . . . . . . . . . . 145 c) Mesure de la fonction de Wigner. . . . . . . . . . . . . . 147 d) Effet de la relaxation sur les matrices d"effet. . . . . . . 150 IV.1.3 Prise en compte des imperfections de la détection. . . . . . . . . . 152 IV.2 Reconstruction de l"état|10?+|01?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 IV.2.1 Mesure résonnante seule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 IV.2.2 Mesures locales de la fonction de Wigner. . . . . . . . . . . . . . 162 IV.2.3 Mesure complète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 IV.2.4 Reconstruction avec plusieurs atomes résonnants. . . . . . . . . . 169 IV.2.5 Reconstruction de l"état|20?+|02?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 IV.3 Reconstruction partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV.3.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV.3.2 Préparation d"états de phases différentes et résultats obtenus.. . . 177 a) Protocole et calibration de la phase. . . . . . . . . . . . 177 b) Incertitudes sur la phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A Quelques ingrédients théoriques sur l"information de Fisher186 B Construction de l"intervalle de confiance de Clopper-Pearson189

C Purification d"états intriqués191

D Interaction de deux atomes résonnants avec un mode du champ194 E Calcul de fonctions de Wigner à deux modes198

Bibliographie201

À Louis Métillon, Edmée Billeron et Jean-Claude Hansen

Remerciements

Les travaux présentés dans ce manuscrit sont le fruit de presque cinq années passées au sein du groupe d"électrodynamique quantique en cavité. Les expériences de l"équipe sont d"une grande complexité et reposent sur un long travail d"équipe pour aller de la

conception des dispositifs à leur réalisation, puis leur exploitation afin d"étudier les aspects

les plus fondamentaux de la physique quantique. De nombreuses personnes sont impliquées

à chaque étape et aucun des résultats présentés ici n"aurait pu être atteint sans elles. Je

souhaite remercier l"ensemble des physiciens et physiciennes de l"équipe qui ont travaillé sur cette expérience et permis de mener plus de dix années de recherche intense couronnée

par une multitude de résultats fascinants. J"ai pu bénéficier de l"expérience de celles et

ceux qui m"ont précédé grâce aux nombreuses thèses de doctorat écrites avant mon arrivée,

détaillant tout le savoir-faire expérimental nécessaire pour piéger des photons micro-onde,

suivre leur évolution et les contrôler avec des atomes de Rydberg circulaires. Comme une thèse n"est jamais qu"un (bref) résumé du travail entrepris et du dispositif mis en place, il faut voir l"expérience en vrai pour se rendre compte de sa complexité. La salle E.17 du Collège de France regorge de matériel du sol au plafond. Au centre se trouve le cryostat, qui, lorsqu"on a de la chance et que tout est en place, contient la boîte magique dans laquelle toute la physique étudiée a lieu. Tout autour s"entassent des dizaines d"appareils contrôlant chaque aspect du dispositif et permettant d"effectuer des séquences expérimentales complexes. Afin de s"y retrouver dans les centaines de câbles coaxiaux, de guides d"ondes et d"éléments optiques, ainsi que dans les multiples ordinateurs et les milliers de lignes de code nécessaires pour effectuer la moindre mesure sur l"expérience, il faut apprendre à connaître intimement la manip. Je n"aurais jamais pu en arriver à ce stade sans l"aide d"Igor. Sa connaissance des différents rouages du dispositif et de l"histoire des travaux qu"il a permis est essentielle au fonctionnement de notre équipe. Sa curiosité pour tous les aspects de la physique expérimentale et son incroyable capacité à expliquer ce qu"on a besoin de comprendre à l"instanttont joué un rôle essentiel dans ma formation de physicien. Je lui suis profondément reconnaissant de m"avoir transmis une manière de pratiquer la physique ouverte autant sur les aspects pratiques et les moyens les plus

efficaces d"atteindre les objectifs qu"on s"est fixés, que sur la prise de recul sur les résultats

obtenus et la réflexion conceptuelle. Je suis aussi grandement redevable aux autres personnes qui m"ont accueilli en E.17. J"ai pris beaucoup de plaisir à travailler avec Stefan, avec qui nous avons passé des heures affublés de charlottes, à monter et démonter les entrailles du cryostat que nous connais- sions sur le bout des doigts, sans avoir besoin d"échanger un mot tant nous nous com- prenions et partagions les mêmes exigences de rigueur. J"ai aussi énormément appris de Mariane, qui a toujours pris à coeur de transmettre sa connaissance de tous les éléments

du dispositif qu"elle a fabriqués elle-même, avec une grande pédagogie et une clarté irré-

prochable. Ne pas parvenir à mettre les cavités à résonance tant que vous étiez encore là

a été un véritable déchirement au début de ma thèse. Si je n"ai pas regretté les multiples

refroidissements que nous avons effectué tous ensemble, je me souviens des pizzas parta- gées le soir lorsque nous mettions plus de quinze heures à atteindre 4 degrés au-dessus du

zéro absolu (on s"est un peu amélioré après votre départ et on n"a plus mangé de pizzas...)

Le dispositif à deux cavités que nous avons installé est l"ultime aboutissement d"une

recherche à très long cours, initiée dès les travaux de thèse de Serge et poursuivie avec

Jean-Michel et Michel pendant plusieurs décennies. Je les remercie sincèrement d"avoir mené à bien des expériences aussi riches et de m"avoir fait confiance pour y participer. La façon collégiale de travailler dans l"équipe m"a permis de prendre confiance en moi et d"oser partir dans des directions bien éloignées de celles envisagées initialement pour ma thèse. Écrire des articles et des projets et travailler en compagnie de physiciens aussi expérimentés a aussi été extrêmement formateur pour moi. L"objectif initial de ma thèse n"avait rien à voir avec la tomographie d"états quantiques. Cette question est arrivée au cours du temps par une collaboration très fructueuse avec Pierre Rouchon qui nous a aidés à appliquer une méthode originale pour reconstruire l"état quantique que nous avions préparé. Grâce à son aide, nous avons pu soulever de nombreuses questions conceptuelles et j"ai beaucoup apprécié de travailler à comprendre

les subtilités mathématiques cachées derrière ces problèmes. Merci pour les nombreuses

discussions sur des sujets assez éloignés des compétences habituelles de l"équipe! Je suis aussi redevable aux membres du jury d"avoir accepté de lire dans le détail un manuscrit de 200 pages en français, truffé de mathématiques et d"avoir fait preuve d"autant de curiosité concernant tous les aspects de mon travail lors de la soutenance de thèse.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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