Chapitre 7: Séries chronologiques
Analyse d'une série chronologique. Estimation des composantes. Prédiction. Chapitre 7: Séries chronologiques. Arnaud Rousselle. GEA 1. Arnaud Rousselle.
Chapitre 1 : Généralités sur les séries chronologiques.
Définition : On appelle série chronologique ou chronique une suite (Yt) Dans un modèle additif on suppose que les 3 composantes : tendance
Séries Chronologiques
le mod`ele multiplicatif. La variable Xt s'écrit au terme d'erreur pr`es comme le produit de la tendance et d'une composante de saisonnalité :.
Introduction aux séries chronologiques
04-Nov-2007 Définition. La composante saisonnière ou mouvement saisonnier représente des effets périodiques de période connue p qui se reproduisent de façon ...
Modélisation et prévision Séries chronologiques - Séance 1
St périodique de période p. ?? éventuellement plusieurs composantes périodiques superposées. Exemple : comp. annuelle + comp. trimestrielle.
Introduction aux séries temporelles tendance et composante
Moyenne mobile La moyenne mobile est une méthode simple permettant d'extraire les composantes basses fréquences d'une série temporelle autrement dit sa tendance
Fiche technique Stat – 03 : Séries chronologiques tendances et
15-May-2010 Ce coefficient porte le nom de coefficient saisonnier. 3) Les composantes d'une série chronologique. Si on considère une fonction y = F(t) ...
Chapitre 5 :Série chronologique
b) Le mouvement saisonnier : cette composante notée ( ). s t
Séries chronologiques
On consid`ere qu'une série chronologique (Xt) est la résultante de différentes composantes fondamentales : 1 la tendance (ou trend) (Zt) représente
Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices)
06-Jan-2020 (3) Tester maintenant le lissage exponentiel de Holt-Winters avec composante saisonnière ad- ditive puis multiplicative (seulement pour les ...
S´eries chronologiques
Agn`es LAGNOUX
lagnoux@univ-tlse2.frISMAG1 - MI00141X
PLAN DU COURS
1Introduction aux s´eries chronologiques (S.C.)
•Vocabulaire, exemples et objectifs •Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une S.C.2Mod´elisation d´eterministe
3Analyse de la tendance
4Les moyennes mobiles
5D´ecomposition d"une S.C.
6Pr´evision par lissage exponentiel
Introduction aux s´eries chronologiques
On s"int´eresse `a l'´evolution au cours du temps d"un ph´enom`ene.On souhaite
D´ECRIRE,EXPLIQUERetPR´EVOIRce ph´enom`ene au cours du temps. On dispose d"observations `a des dates diff´erentes, c-`a-dd"une suite de valeurs num´eriques indic´ees par le temps. Exemples: - ´evolution du nombre de voyageurs utilisant le train, - accroissement relatif mensuel de l"indice des prix, - occurence d"un ph´enom`ene naturel (comme le nombre de taches solaires). Cette suite d"observations d"une famille de variables al´eatoires r´eelles not´ees (Xt)t?Θest appel´ee s´erie chronologiqueous´erie temporelle L"ensemble Θ est appel´eespace des tempset peut ˆetre discret: Θ?Z. Les dates d"observation sont le plus souvent ´equidistantes (relev´es mensuels, trimestriels...) et on dispose d"un nombre finiTd"observations. Sihest l"intervalle de temps s´eparant deux observations ett0l"instant de la premi`ere observation, on a le sch´ema suivant t0t0+h...t0+ (T-1)h
X t0Xt0+h...Xt0+(T-1)h X1X2...XT
continu: Θ?Ret on dispose (au moins potentiellement) d"une infinit´e d"observations issues d"un processus (Xt)t?Θ. Les m´ethodes pr´esent´ees dans ce cadre sont diff´erentes de celles pour les s´eries chronologiques `a temps discret et pr´esent´ees dans la suite.Des exemples
Figure:Exemples de s´eries chronologiques(1)
Des exemples
Figure:Exemples de s´eries chronologiques (2)
Description d"une SC
L"observation graphique de la s´erie est souvent une aide etpermet de se faire une id´ee de ses diff´erentes composantes. On remarque que cette s´erie de donn´ees a tendance `a augmenter de fa¸con lin´eaire.Description d"une SC
L"observation graphique de la s´erie est souvent une aide etpermet de se faire une id´ee de ses diff´erentes composantes. On remarque que cette s´erie de donn´ees a des cycles r´eguliers de mˆeme amplitude qui se r´ep`etent au cours du temps.Description d"une SC
L"observation graphique de la s´erie est souvent une aide etpermet de se faire une id´ee de ses diff´erentes composantes. On remarque que cette s´erie de donn´ees a un comportement assez irr´egulier : il y a comme une sorte de bruit de faible amplitude qui perturbe les donn´ees.Description d"une SC
Un autre exemple :´Evolution du trafic voyageur SNCF de 1960 `a 1980Nous remarquons
le nb de voyageurs a augment´e de mani`ere r´eguli`ere.Description d"une SC
une p´eriodicit´e dans les valeurs observ´ees r´ev´elant la pr´esence d"un ph´enom`ene saisonnier li´e au rythme impos´e par - les saisons m´et´eorologiques : production agricole, consommation de gaz, vente de bois avant l"hiver... - des activit´es ´eco qet sociales : fˆetes, vacances, soldes...Description d"une SC
une p´eriodicit´e dans les valeurs observ´ees r´ev´elant la pr´esence d"un ph´enom`ene saisonnier li´e au rythme impos´e par - les saisons m´et´eorologiques : production agricole, consommation de gaz, vente de bois avant l"hiver... - des activit´es ´eco qet sociales : fˆetes, vacances, soldes... d´ecoupage en sous-s´eriesde lg le saisonnier (ici 1 an) +trac´e sur un mˆeme graphique (fig de dte). On note une similarit´e des?= courbes annuelles (li´ee aux saisons) : par ex. un pic au mois de juin (d´eparts en vacances).Description d"une SC
une p´eriodicit´e dans les valeurs observ´ees r´ev´elant la pr´esence d"un ph´enom`ene saisonnier li´e au rythme impos´e par - les saisons m´et´eorologiques : production agricole, consommation de gaz, vente de bois avant l"hiver... - des activit´es ´eco qet sociales : fˆetes, vacances, soldes... d´ecoupage en sous-s´eriesde lg le saisonnier (ici 1 an) +trac´e sur un mˆeme graphique (fig de dte). On note une similarit´e des?= courbes annuelles (li´ee aux saisons) : par ex. un pic au mois de juin (d´eparts en vacances).Figure:´Evolution annuelle du trafic SNCF
Description d"une SC
Figure:´Evolution du trafic voyageur SNCF de 1960 `a 1980Description d"une SC
Figure:´Evolution du trafic voyageur SNCF de 1960 `a 1980 fluctuations±importantes dues `a des facteurs exceptionnels pour la plupart impr´evisibles (exemple : gr`eve, risque de guerre...), qui ont souvent un effet de courte dur´ee et de faible intensit´e et sont de nature al´eatoire (et donc non expliqu´ees).Description d"une SC
On consid`ere qu"une s´erie chronologique (Xt) est la r´esultante de diff´erentes composantes fondamentales :1latendance(ou trend) (Zt) repr´esente l"´evolution `a long
terme de la s´erie et traduit son comportement "moyen".2lacomposante saisonni`ere(ou saisonnalit´e) (St) correspond `a
un ph´enom`ene qui se r´ep`ete `a intervalles de temps r´eguliers (p´eriodiques).3lacomposante r´esiduelle(ou bruit ou r´esidu) (?t) correspond `a
des fluctuations irr´eguli`eres, de faible intensit´e maisde nature al´eatoire.4desph´enom`enes accidentels(gr`eves, m´et´eo exceptionnelle,
crash financier) peuvent notamment intervenir.5unph´enom`ene cyclique: c"est souvent le cas en climatologie
et en ´economie (ex : r´ecession et expansion...). Il s"agitd"un ph´enom`ene se r´ep´etant mais sur des dur´ees qui ne sont pas fixes ( ?= saisonnalit´e) et g´en´eralement longues.Objectifs
1La description: analyser, d´ecrire un ph´enom`ene au cours du
temps et en tirer les cons´equences : par exemple pour des prises de d´ecision (marketing, ...).2Le contrˆole: contrˆole pour la gestion de stocks, contrˆole d"un
processus chimique...3La d´etection de rupture: il arrive souvent qu"une s´erie
chronologique soit affect´ee par la survenue d"´ev´enements accidentels (gr`eves, changement de l´egislation, catastrophe climatique). Ces interventions vont parfois modifier brutalement la tendance de la s´erie se traduisant par des donn´ees aberrantes.4La pr´evision: ayant observ´eX1,X2, ... ,XT, on veut pr´edire
les valeurs futuresXT+1,XT+2, ... Nous utiliserons essentiellement des mod`eles de d´ecomposition pour fairede la pr´evision. Les m´ethodes de ce cours visent `a faire des pr´evisions `a court terme et `a proposer des mod´elisations pour les?= composantes de la SC (tendance, saisonnalit´e et r´esidu). Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une SC1correction des donn´ees= pr´etraitement des donn´ees
- ´evaluation des donn´ees manquantes, remplacement des donn´ees accidentelles - d´ecoupage en sous-s´eries - standardisation afin de se ramener `a des intervalles de lg fixe - transformation des donn´ees (ex. : en ´economie, on utilise les transf. de Box-CoxYt=1λ?(Xt)λ-1?, λ?R?.)
2observation de la s´erie
3mod´elisation(avec un nombre fini de param`etres)
4analyse de la s´erie `a partir de ses composantes
5pr´ediction(= pr´evision)
6diagnostic du mod`ele- ajustement au mod`ele (analyse des
r´esidus, tests) Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une SC1correction des donn´ees
2observation de la s´erie
3mod´elisation(avec un nombre fini de param`etres)
4analyse de la s´erie `a partir de ses composantes
5pr´ediction(= pr´evision)
6diagnostic du mod`ele
Observation de la s´erie
Une r`egle g´en´erale en Statistique Descriptive consiste`a commencer par regarder les donn´ees avant d"effectuer le moindre calcul : une fois la s´erie corrig´ee et pr´etrait´ee, on trace son graphique c-`a-d la courbe de coordonn´ees (t,Xt). L"observation de ce graphique est souvent une aide `a la mod´elisation de la s´erie chronologique et permet de se faire une id´ee des diff´erentes composantes de la s´erie (tendance, saisonnalit´e, r´esidu). Lorsqu"on veut mettre en ´evidence le ph´enom`ene de saisonnalit´e `a l"aide d"un graphique, on d´ecoupe la s´erie en sous-s´eries de longueur de p´eriode du saisonnier et on les repr´esente sur un mˆeme graphique. Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une SC1correction des donn´ees
2observation de la s´erie
3mod´elisation(avec un nombre fini de param`etres)
4analyse de la s´erie `a partir de ses composantes
5pr´ediction(= pr´evision)
6diagnostic du mod`ele
Mod´elisation
Unmod`eleest une image simplifi´ee de la r´ealit´e qui vise `a traduire les m´ecanismes de fonctionnement du ph´enom`ene´etudi´e et permet de mieux les comprendre.
Un mod`ele peut ˆetre meilleur qu"un autre pour d´ecrire la r´ealit´e. Plusieurs questions se posent alors : - comment mesurer cette qualit´e? - comment diagnostiquer un mod`ele? Nous pr´esentons dans la suite une petite liste qui sert `a r´esumer et classifier les diff´erents mod`eles envisag´es dans ce cours.Mod´elisation
1lesmod`eles d´eterministes: l"observation de la s´erie entest
donn´ee par X t=f(t,?t) o`u les?tsont d´ecorr´el´ees.Cas les plus usit´es:
- le mod`ele additif:Xt=Zt+St+?t. - le mod`ele multiplicatif:Xt=Zt(1 +St)(1 +?t).2lesmod`eles stochastiques: du mˆeme type que les mod`eles
d´eteministes `a ceci pr`es que les?tsont corr´el´ees et sont une fonction des valeurs pass´ees (±lointaines suivant le mod`ele) et d"une erreurηt: t=g(?t-1,?t-2,...,ηt). La mod´elisation porte ici sur la forme du processus (?t). Cas les plus usit´es:glin´eaire (ex. mod`eles autor´egressifs t=a1?t-1+a2?t-2+ηt.)Mod´elisation
Les deux types de mod`eles ci-dessus induisent des techniques de pr´evision bien particuli`eres.Sch´ematiquement,
on s"interesse tout d"abord `a la tendance et `a la saisonnalit´e. on les isole : ces deux op´erations s"appellent la d´etendancialisationet lad´esaisonnalisationde la s´erie. on les mod´elise. on les ´elimine de la s´erie. on obtient la s´erie des r´esidus qui est - d´ecorr´el´ee dans les mod`eles d´eterministes et il n"y aplus rien `a faire. - stationnaire (on l"esp`ere du moins) dans les mod`eles stochastiques et on l"´etudie `a part. Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une SC1correction des donn´ees
2observation de la s´erie
3mod´elisation(avec un nombre fini de param`etres)
4analyse de la s´erie `a partir de ses composantes
5pr´ediction(= pr´evision)
6diagnostic du mod`ele
Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes Prenons comme exemple les ventes trimestrielles de cr`emessolaires d"un certain fabricant de 1994 `a 1999. On suppose ici le mod`ele connu et de type multiplicatif : X i=Zi(1 +Si)(1 +?i).9495969798991000
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9495969798991000
50100
150
200
250
00.511.522.533.544.55-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1949596979899100-0.5
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figure:Ventes (en ht `a g), tendance (en ht `a dte), saisonnalit´e (en bas `a g) et fluctuations irr´eguli`eres (en bas `a dte) Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes L"examen de latendancenous montre que les ventes ´etaient stables jusqu"en 1996, ont augment´e en 1996 et 1997 (suite `a une campagne de publicit´e), puis se sont stabilis´ees `a partir de1998 (la campagne de publicit´e ayant atteint ses limites).
Lesfacteurs saisonniers(+0.3,-0.4,+0.8,-0.7) nous
indiquent une augmentation des ventes de 30% au premier trimestre (vacances d"hiver) et de 80% au troisi`eme trimestre (vacances d"´et´e). L"´etude desfluctuations irr´eguli`erespermet d"analyser pr´ecis´ement ce qui s"est pass´e chaque trimestre ind´ependamment de la tendance et de la saison. On remarque ainsi un "accident"au premier trimestre 1995 (augmentation des ventes de 40% due `a une promotion) ainsi qu"au premier trimestre 1997 (chute accidentelle des ventes de 50% due `a une gr`eve). Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes La tendance (Zt) agit comme une forte corr´elation entre les variablesXtmais cette corr´elation n"exprime aucune liaison `a caract`ere explicatif. Il s"agit donc d"´eliminer, d"isoler cette tendance pour voir si des liaisons `a caract`ere explicatif existentet ´etudier seulement ces corr´elations sans tendance.On d´efinit donc la
s´erie corrig´ee de la tendance(XCT,t)ten supprimant la tendance. Par exemple, la s´erie d´etendancialis´ee est pour le mod`ele additif :XCT,t=St+?t. pour le mod`ele multiplicatif :XCT,t= (1 +St)(1 +?t). Nous verrons plus loin comment enlever cette tendance et l"estimer une fois isol´ee. Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes Pour pouvoir r´eellement comparer les ventes d"un trimestre `a l"autre, on doit donc supprimer l"effet de la saisonnalit´e.On d´efinit la
s´erie corrig´ee des variations saisonni`eres(XCVS,t)ten supprimant la composante saisonni`ere (St)tdu mod`ele. Par exemple, la s´erie d´esaisonnalis´ee est pour le mod`ele additif :XCVS,t=Zt+?t. pour le mod`ele multiplicatif :XCVS,t=Zt(1 +?t). Dans notre exemple, la s´erie d´esaisonnalis´ee permet de mettre en ´evidence la progression des ventes entre 1995 et 1996, ainsi que les "accidents"survenus en 1995 et 1997. Nous verrons plus loin comment ´eliminer cette saisonnalit´e afin de nous concentrer sur les composantes al´eatoires de la s´erie. Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes On d´efinit las´erie liss´ee des pr´edictions(XSLP,t)ten supprimant les fluctuations irr´eguli`eres (?t)tdu mod`ele. C"est `a partir de cette s´erie et en utilisant les mod´elisations et estimations dela tendance et de la saisonnalit´e que nous ferons les pr´edictions. Par exemple, apr`es avoir supprim´e les fluctuations irr´eguli`eres, on obtient pour le mod`ele additif :XSLP,t=Zt+St. pour le mod`ele multiplicatif :XSLP,t=Zt(1 +St). Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes9495969798991000
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Figure:Ventes trimestrielles de cr`emes solaires : s´erie corrig´ee des variations saisonni`eres (`a gauche), et s´erie liss´ee des pr´edictions (`a droite) Dans notre exemple, la s´erie liss´ee des pr´edictions des ventes (Figure de droite) permet de mettre en ´evidence la progression des ventes entre 1995 et 1996, ainsi que l"augmentation des ventes au
1er et 3`emes trimestres.
Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une SC1correction des donn´ees
2observation de la s´erie
3mod´elisation(avec un nombre fini de param`etres)
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