[PDF] Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions

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Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes

Laurent Poinsot

LIPN UMR CNRS 7030

Université Paris XIII & École de l"Air1/39

Table des matières

1Objectifs et plan du cours

2Dérivation complexe et holomorphie

3Premières conséquences

4Exemples de fonctions holomorphes

5Dérivée complexe et différentielle

6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)

2/39

Objectifs

Le but de ce cours est de présenter les

bases de l" analyse complexe qui seront utiles pour1l"aérodynamiqueet la mécanique des fluides,

2la résolution d"équations différentielles(pa rexemple, les équations de

diffusion de la chaleur),3letraitement et l"analyse du signal (décomp ositionfréquentielle des signaux, essentiellement pour les radars). 3/39

Plan du cours

Chap. I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes. Chap. II : Fonctions analytiques et exemples classiques. Chap. III : Intégrales curvilignes et primitives.

Chap. IV : Résidus et applications.

Chap. V : Transformée de Laplace.

Chap. VI : Transformée de Fourier.

Chap. VII : Transformée en Z.

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Table des matières

1Objectifs et plan du cours

2Dérivation complexe et holomorphie

3Premières conséquences

4Exemples de fonctions holomorphes

5Dérivée complexe et différentielle

6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)

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Topologie du plan complexe

Rappelons que le

plan complexe C, vu comme unR-espace vectoriel, est isomorphe à R2: une base (la "base canonique") est donnée parf1;ig. Une bijection est donnée par(x;y)7!x+iyet sa fonction réciproque z7!(<(z);=(z)).

Par ailleurs le

mo dulejzj=p<(z)2+=(z)2induit une distance d(z1;z2) =jz1z2j qui fait deCun espace métrique.

On note pourz02CetR2[0;+1],D(z0;R)= fz:jzz0j disque ouvert centré enz0et de rayonR(avecD(z0;+1) =Cpar convention), etD(z0;R)= fz:jzz0j Rgledisque fermé . En tant qu"espaces métriques,CetR2(avec la distance euclidienne habituelle) sont homéomo rphes . Dans la suite, les termes d" ouverts fermés voisinages adhérence frontière feront réfèrence à la métrique de C.

Udésigne un ouvert quelconque deC.

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Définition : Fonction holomorphe

Soitf:U!Cune fonction complexe. Pourz02U, si

lim z!z0f(z)f(z0)zz0 existe, alors on notef0(z0)cette limite, que l"on appelle lenomb redérivé defenz0. Sif0(z0)existe pour toutz02U, alors la fonctionfest diteholomo rphe dansU. Etfest diteholomo rpheen z0s"il existe un voisinage dez0dans lequelfest holomorphe. Une fonction holomorphe dansCtout entier est appeléefonction entière .7/39

En détail :

Dire quef0(z0)existe revient à demander que pour tout >0, il existe r>0 tel quef(z)f(z0)zz0f0(z0)< pour toutz2D(z0;r)n fz0g U. Dans ce cas, on dit aussi quefestdérivable (au sens complexe) en z0. 8/39

Définition : Dérivée

Soitf:U!Cune fonction holomorphe dansU.

On peut alors définir surUune nouvelle fonction, appeléedérivée complexe , ou plus simplement dérivée , def, et notéef0oudfdz , laquelle, bien sûr, à tout pointz02Uassocie le nombre dérivéf0(z0)defen ce point.Autrement dit,f0(z0) =limz!z0 f(z)f(z0)zz0 pour chaquez02U. 9/39 (Contre-)Exemple

La fonctionf:z7!z2est holomorphe dansCetf0(z0) =2z0.La fonctionf:z7!zn"est nulle part dérivable.La fonctionf:z7! jzj2est dérivable en 0 mais n"est pas holomorphe

en 0. 10/39

Table des matières

1Objectifs et plan du cours

2Dérivation complexe et holomorphie

3Premières conséquences

4Exemples de fonctions holomorphes

5Dérivée complexe et différentielle

6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)

11/39

Proposition

Sif:U!Cest dérivable enz02U, alors elle est continue enz0.12/39

Preuve

Dire quefest dérivable enz0revient à dire que pourhsuffisamment proche de zéro,f(z0+h) =f(z0) +hf0(z0) +jhj(h)avec limh!0(h) =0. On en déduit immédiatement quefest continue enz0.13/39

Proposition

Soientf;gdeux fonctions holomorphes dansU, et soit2C. Alors les fonctionsf+g,f,fg,fg (à la condition quegne s"annule en aucun point deU) et pour toutn2Z,fn(pourn<0, il faut de surcroît supposer que

fne s"annule pas surU) sont holomorphes dansU, et leurs dérivées sont(f+g)0=f0+g0.(f)0=f0.(fg)0=f0g+fg0

fg 0 =(f0gfg0)g

2.(fn)0=nfn1f0.On retrouve par conséquent les formules usuelles du calcul des dérivées.

14/39

Proposition

Soientf:U!Cetg:V!Cdes fonctions holomorphes respectivement dansUet dansV, et telles quef(U)V. Alorsgf:U!Cest holomorphe dansU, et sa dérivée est (gf)0= (g0f)f0.15/39

Table des matières

1Objectifs et plan du cours

2Dérivation complexe et holomorphie

3Premières conséquences

4Exemples de fonctions holomorphes

5Dérivée complexe et différentielle

6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)

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Fonctions polynomiales

Les fonctions constantes sont entières et de dérivées nulles en tout point. La fonction identiquez7!zest entière et sa dérivée est la fonction constante égale à 1. À partir de ces fonctions, on obtient par additions et multiplications l"holomorphie dansCde toutes les fonctionsfqui s"écrivent sous la forme suivante f(z) =nX i=0a izi oùnest un entier naturel et oùa0;;ansont des nombres complexes.

Une telle fonction est dite

fonction p olynôme ou fonction p olynomiale

La dérivée defest donnée pour toutz2Cpar

f

0(z) =0;sin=0

et f

0(z) =nX

i=1ia izi1=n1X j=0(j+1)aj+1zj;sin>0. 17/39 Unicité de la représentation d"une fonction polynomiale L"ensemble des fonctions deCdans lui-même est bien sûr unC-espace vectoriel de façon évidente. On constate que la fonction polynomialefdu transparent précédent est une combinaison linéaire de fonctions z7!znpourn2N. L"écriture def(comme combinaison linéaire) est alors unique à la condition que les fonctionsz7!zn,n2N, soientC-linéairement indépendantes, i.e., sin2Net(a0;;an)2Cn+1sont tels que pour toutz2C,Pn i=0aizi=0, alors tous lesaisont nuls. Or cela est vrai (preuve par récurrence surn) :Proposition Soitfune fonction polynomiale non identiquement nulle. Alors il existe un unique entiern2N(ledegré ) et un unique(n+1)-tuple (a0;;an)2Cn+1(lesco efficients) tels que pour toutz2C, f(z) =Pn i=0aizi, etan6=018/39

Fonctions rationnelles

On appelle

fonction rationnelle toute fonction fde la formeg=hoùgeth sont deux fonctions polynomiales,hétant supposée en outre non identiquement nulle (i.e., non représentée par le polynôme nul). La fonctionfest alors définie etholomo rphedans le complémentaire de l"ensemble des zéros deh(lequel est un ouvert). Sa dérivée est donc donnée par la formule f

0=g0hgh0h

2: Il en résulte que la dérivée d"une fonction rationnelle est rationnelle. 19/39

Remarque

On a d"emblée l"ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible p ourla fonction rationnelle f, c"est-à-dire dans laquellegethsont premiers entre eux. Rappelons que deux polynômes sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles; en particulier deux polynômes premiers entre eux ne possèdent pas de zéro commun - sinon ils auraient un diviseur commun de degré 1. 20/39

Table des matières

1Objectifs et plan du cours

2Dérivation complexe et holomorphie

3Premières conséquences

4Exemples de fonctions holomorphes

5Dérivée complexe et différentielle

6Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td)

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Il existe surCdeux structures évidentes d"espace vectoriel : - d"une part, en tant que corps,Cest un espace vectoriel sur lui-même de dimension 1 (la base canonique est alors donnée parf1g), - d"autre part, c"est aussi unR-espace vectoriel de dimension 2, avec pour base canoniquef1;ig; cela permet d"identifier leR-espace vectorielCavec R

2viaz7!(<(z);=(z))et, inversement,(x;y)7!x+iy.Remarque

Soit:C!C. Dire queest linéaire n"a de sens que si on sait à quelle structure d"espace vectoriel surCon se réfère. Pour être plus précis on prendra soin d"indiquer queestR-linéaire(resp ectivement,C-linéaire) si elle est linéaire au sens de la structure vectorielle réelle (respectivement, complexe). 22/39

ApplicationsR-linéaires ouC-linéaires

Soit:C!C.

Posons(1) =aet(i) =b.

SiestR-linéaire, alors on a pour toutz=x+iy,

(z) =ax+by: C"est la forme générale des applicationsR-linéaires deCdans lui-même. Supposons de plus queestC-linéaire. On a donc en particulier b=(i) =(i1) =i(1) =ia, de sorte que (z) =a(x+iy) =az: 23/39

Exemple

Les p rojectionscanoniques de CsurR, à savoir les fonctions (Contre-)Exemple Dans le même ordre d"idée, notonsdzl"application identique deC(qui est aussi l"unique projection canonique deCsur lui-même vu comme un

C-espace vectoriel).

Avec les notations précédentes on a

dz=dx+idy: On aa=dz(1) =1 etb=dz(i) =i(ce qui est rassurant puisquedzest

C-linéaire).

La conjugaison z7!zestR-linéaire. Elle s"écrit alors dxidy: Il devient naturel de la noterdz. On remarque qu"icia=dz(1) =1 mais queb=dz(i) =i, doncdzn"est pasC-linéaire. 25/39

Dérivée partielle (rappel)

SoientUun ouvert deCetf:U!C.

La dérivée pa rtielle @f@x(z0)defpar rapport àxenz0=x0+iy02Cest définie comme la limite (si elle existe) lim h!0f((x0+h) +iy0)f(x0+iy0)h

De même la

dérivée pa rtielle @f@y(z0)defpar rapport àyenz0=x0+iy0 est lim h!0f(x0+i(y0+h))f(x0+iy0)h 26/39

Remarque

Les notions précédentes de dérivées partielles pour une fonction de la variable complexe correspondent à celles connues pour les fonctions de deux variables réelles. En effet, puisqueCetR2sont isomorphes en tant qu"espaces vectoriels réels, on peut associer àf:U!Cune fonction~f:V!C, où V=f(x;y)2R2:x+iy2Ug, définie par~f(x;y) =f(x+iy).

On a alors

@f@x(z0) =@~f@x(x0;y0)et@f@y(z0) =@~f@y(x0;y0)où on a posé z

0=x0+iy0(x0;y02R).

27/39

Différentiabilité

Définition

SoientUun ouvert deCetf:U!C.On dit quefestdifférentiable en z02Us"il existe deux nombres complexesa;btels que pour touth2C f(z0+h) =f(z0) +a<(h) +b=(h) +jhj(h) avec lim h!0(h) =0.De plus,h7!a<(h) +b=(h)est une applicationR-linéaire deCdans

Cnotéedf(z0)et est appeléedifférentielle de fenz0.On dit quefestdifférentiable sur Usifest différentiable en tout

point deU.28/39

Remarques

On montre que sifest différentiable enz0, alorsa=@f@x(z0)et b=@f@y(z0)de telle sorte que

df(z0) =@f@x(z0)dx+@f@y(z0)dy:Par ailleurs, la notion de différentiabilité pour une fonctionfde la variable

complexezdu transparent précédent correspond à la notion de différentiablité de la fonction~fde deux variables réelles qui lui est associée. On a bien sûrdf(z0) =d~f(x0;y0)pourz0=x0+iy0(x0;y02C). 29/39

Proposition

Soitfune fonction complexe définie sur un ouvertUC. Sifest dérivable (au sens complexe) en un pointz02U, alorsfest différentiable enz0et sa différentielle enz0estC-linéaire.30/39

Preuve

On a donc

lim h!0 f(z0+h)f(z0)h f0(z0) =0:

On peut l"écrire

lim h!0jf(z0+h)f(z0)f0(z0)hjjhj=0: Cela montre quefest différentiable enz0, et que la différentielle est

l"applicationC-linéairedf:z7!f0(z0)z.De la démonstration précédente, on tire l"expression suivante de la

différentielle d"une fonction dérivable : df(z0) =f0(z0)dz: Cela justifiea posteriorila notationdfdzparfois utilisée pour la dérivée. 31/39

Exemple

L"applicationz7!z, étantR-linéaire, est identique à sa différentielle enquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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