Dérivée de la fonction tangente
Dérivée de la fonction tangente. Note : Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu'attend cet enseignant lors de l'oral de maturité.
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Dérivée de la fonction tangente
Note :Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu"attend cet enseignant lors de l"oral de maturité.
Ce résumé n"est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.
Théorème
Sifest la fonction tangente,f(x) = tan(x)
Alors1)fest dérivable pour toutxdans son domaine (x2Rnn2 +kjk2Zo 2 )f0(x) = 1 + tan2(x) =1cos2(x)pour toutxdans le domaine.
Démonstration du théorème
: On sait que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables, que(sin(x))0= cos(x), que(cos(x))0=sin(x)et que le quotient de deux fonctions dérivables est dérivable. Commetan(x) =sin(x)cos(x), il suit que la tangente est une fonction dérivable sur son domaine (puisque le cosinus s"annule sur n2 +kjk2ZoPar ailleurs
(tan(x))0=sin(x)cos(x) 0 (sin(x))0cos(x)sin(x)(cos(x))0cos 2(x) cos(x)cos(x)sin(x)(sin(x))cos 2(x) cos2(x) + sin2(x)cos 2(x) Commecos2(x) + sin2(x) = 1il suit d"une part que(tan(x))0=1cos 2(x).Par ailleurs, comme
cos2(x) + sin2(x)cos2(x)=cos2(x)cos
2(x)+sin2(x)cos
2(x)= 1 +sin(x)cos(x)
2 = 1 + tan2(x)il
suit d"autre part que(tan(x))0= 1 + tan2(x).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] Les dérivées et ses tableaux de variations 1/2
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