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Fonctions dérivées

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2017/2018Table des matières

1 Quelques rappels2

1.1 Nombre dérivé - Tangente

2

1.2 Notion de fonction dérivée

2

1.3 Dérivées des fonctions usuelles

2

2 Opérations sur les fonctions dérivables

2

2.1 Somme de deux fonctions dérivables

3

2.2 Multiplication par une constante

3

2.3 Produit de fonctions dérivables

3

2.4 Inverse d"une fonction dérivable

3

2.5 Quotient de fonctions dérivables

4

2.6 En résumé...

4

3 Applications de la dérivation

4

3.1 Dérivée et sens de variation

4

3.2 Extremum local

6

Liste des tableaux

1Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Opérations sur les fonctions dérivables

4 ?

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1

1 Quelques rappels

1.1 Nombre dérivé - Tangente

Dans toute la suite, on considère une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. On noteCfsa courbe représentative

dans un repère?

O;-→i;-→j?

.Définition :Si le taux de variationf(a+h)-f(a)h tend vers un nombre fini lorsquehtend vers zéro, on dit que la fonctionfestdériv ableen a.

Ce nombre est alors appelé

nom bredériv éde fena. On le notef?(a).

On a donc :

f ?(a) = limh→0f(a+h)-f(a)h

Remarque :Lenom bredériv éde fenaest donc leco efficientdirecte urde la tangen teà la courb eau p oint

d"abscissea. La tangente à la courbe représentative defau point d"abscisseaadmet comme équation :

y=f?(a)(x-a) +f(a)

1.2 Notion de fonction dérivéeDéfinition :Si une fonction est dérivable pour tout réelade l"intervalleI, on dit qu"elle estd érivablesur

l"intervalleI.

Dans ce cas, on appelle

fonction dériv ée de fsur l"intervalleIla fonction qui, à toutxdeI, associe le

nombre dérivéf?(x). On note cette fonctionf?.Remarque :Dire qu"une fonction est dérivable signifie qu"il existe des tangentes à tout point de la courbe

la représentant. Par contre, la fonction dérivée n"a plus de lien avec la tangente en un point.

1.3 Dérivées des fonctions usuelles

Les résultats concernant les dérivées des fonctions usuelles sont résumés dans le tableau

1 .fonctionfdérivéef?Domaine de dérivabilité f(x) =k(kconstante)f ?(x) = 0R f(x) =xf ?(x) = 1R f(x) =x2f ?(x) = 2xR f(x) =x3f ?(x) = 3x2R f(x) =xn(nentier >0)f ?(x) =nxn-1R f(x) =mx+pf ?(x) =mR f(x) =ax2+bx+cf ?(x) = 2ax+bR f(x) =1xf ?(x) =-1x

2]-∞; 0[ou]0; +∞[f(x) =⎷xf

?(x) =12 ⎷x]0; +∞[Table1 -Dérivées des fonctions usuelles

2 Opérations sur les fonctions dérivables

Tous les résultats de cette section sont admis. 2

2.1 Somme de deux fonctions dérivables

Propriété 1 :Soituetvdeux fonctions dérivablessur un in tervalleI. Alors la fonction(u+v)est dérivable surIet sa dérivée estu?+v?. On note :(u+v)?=u?+v?.Exemple :Soitfla fonction définie sur]0; +∞[parf(x) =x2+1x f=u+vavecu(x) =x2etv(x) =1x uetvsont dérivables sur]0; +∞[, on au?(x) = 2xetv?(x) =-1x 2. Par suitefest dérivable sur]0; +∞[etf?(x) = 2x-1x 2.

2.2 Multiplication par une constantePropriété 2 :Soituune fonction dérivablesur un in tervalleIetkunnom breréel.

Alors la fonction(ku)est dérivable surIet sa dérivée estku?. On note :(ku)?=ku?.Exemples :Soitf(x) = 3x3-x2+x⎷2-1définie surR. Alorsfest dérivable surRetf?(x) = 3×3x2-2x+ 1×⎷2 + 0 = 9x2-2x+⎷2.

Remarque :Il résulte des propriétés 1 et 2 que toute fonction polynôme est dérivable surR.

Exercices :1, 2, 3 page 971- 4 page 97; 43, 44,45 page 106 et 47, 48, 50 page 1072- 51page 1073

TransMath

2.3 Produit de fonctions dérivablesPropriété 3 :Soituetvdeux fonctions dérivablessur un in tervalleI.

Alors la fonction(uv)est dérivable surIet sa dérivée estu?v+uv?. On note :(uv)?=u?v+uv?.Exemple :Soitfla fonction définie sur[0; +∞[parf(x) =x⎷x. fest de la formeuvavec :u(x) =xetv(x) =⎷x uetvsont dérivables sur]0; +∞[et :u?(x) = 1etv?(x) =12 ⎷x Par suite,fest dérivable sur]0; +∞[etf?(x) = 1×⎷x+x×12 ⎷x =⎷x+x2 ⎷x =⎷x+(⎷x )22 ⎷x =⎷x+12 ⎷x=32 ⎷x. Exercices :5 page 98 et 32, 33 page 1064- 41 page 1065[TransMath]

2.4 Inverse d"une fonction dérivablePropriété 4 :Soitvune fonction dérivablesur un in tervalleI, telle que, pour toutxdeI,v(x)?= 0.

Alors la fonction

1v est dérivable surIet sa dérivée est-v?v 2.

On note :?1v

?=-v?v

2.Exemple :Soitf(x) =13x-1définie sur?13

fest de la forme1v , oùv(x) = 3x-1. vest dérivable sur?13 ; +∞?, ne s"annule pas sur?13 ; +∞?etv?(x) = 3.

Par suite,fest dérivable sur?13

; +∞?etf?(x) =-3(3x-1)2.1. Dérivée d"une somme.

2. Équation de tangente.

3. Positions relatives d"une courbe et de ses tangentes.

4. Dérivée d"un produit.

5. Équation de la tangente.

3

2.5 Quotient de fonctions dérivables

Propriété 5 :Soituetvdeux fonctions dérivablessur un in tervalleI, telle que, pour toutxdeI,

v(x)?= 0.

Alors la fonction

uv est dérivable surIet sa dérivée estu?v-uv?v 2.

On note :?uv

?=u?v-uv?v

2.Exemple :Soitfla fonction définie sur]2; +∞[parf(x) =4x+5x-2.

fest de la formeuv avecu(x) = 4x+ 5etv(x) =x-2.

uetvsont dérivables sur]2; +∞[, on au?(x) = 4etv?(x) = 1. De plus,vne s"annule pas sur]2; +∞[.

Par suite,fest dérivable sur]2; +∞[et :

f ?(x) =4×(x-2)-(4x+ 5)×1(x-2)2=4x-8-4x-5(x-2)2=-13(x-2)2

Remarque :Il résulte de la propriété 5 que toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de

définition.

Exercices :6, 8 page 98 et 34, 35, 36, 37 page 1066- 7 page 98 et 39, 40 page 1067- 53 page 1078[TransMath]

2.6 En résumé...

Le tableau

2

résume les différen tesrègles de dériv ationainsi que leurs conditions d"applications. OpérationDérivéeConditions d"utilisation

Somme de deux fonctionsu+vu

?+v?uetvdérivables surIMultiplication par une constantekuku ?udérivable surIProduit de deux fonctionsuvu ?v+uv?uetvdérivables surIInverse d"une fonction1 v- v?v

2uetvdérivables surI

Pour toutx?I,v(x)?= 0Quotient de deux fonctionsu

vu ?v-uv?v

2uetvdérivables surI

Pour toutx?I,v(x)?= 0Table2 - Opérations sur les fonctions dérivables

Exercices :37, 38, 53 page 75; 63 page 76; 64 page 77; 67, 69, 71, 74 page 78 et 81 page 799- 60 page

75 et 84 page 79

10- 61 page 76 et 88, 89 page 8011- 84 page 11212[TransMath]

3 Applications de la dérivation

3.1 Dérivée et sens de variationThéorème fondamental (admis) :Soitfune fonctiondériv ablesur un in tervalleI.

Si, p ourtout xdeI,f?(x)≥0alorsfestcroissan tes urI. Si, p ourtout xdeI,f?(x) = 0alorsfestconstan tesu rI.6. Dérivée d"un quotient.

7. Équation d"une tangente.

8. Positions relatives d"une courbe et de ses tangentes.

9. Tangentes à une courbe.

10. Approximation affine locale.

11. Détermination de fonctions.

12. ROC

4 Remarques :1.On a aus si: f?(x)>0donnefstrictementcroissante, etc. 2.

P ourétudier les v ariationsd"une fonction, il suffit donc d"étudier le signe de sa dériv ée.Néan moins,

dans certains cas simples (trinôme du second degré ou fonction affine par exemple), ceci n"est pas

toujours nécessaire.

Exemples :1.fdéfinie surRparf(x) =13

x3+12 x2-2x+ 5. fest une fonction polynôme donc est dérivable surR. f ?(x) =13

×3x2+12

×2x-2 =x2+x-2.

Il faut déterminer le signe def?. Pour cela, on calcule le discriminant :Δ = 12-4×1×(-2) = 1+8 = 9.

Δ>0, il y a deux racines :x1=-1-⎷9

2 =-1-32 =-42 =-2etx2=-1+⎷9 2 =-1+32 =22 = 1.

On en déduit le signe def?:x-∞ -2 1 +∞Signe def?(x)+ 0-0 +On en déduit le tableau de variations def:x-∞ -2 1 +∞Signe def?(x)+ 0-0 +Variations def(x)25

3? ? ?

23
6

Avec :

f(-2) =13

×(-2)3+12

×(-2)2-2×(-2) + 5 =-83

+ 2 + 4 + 5 =-83 + 11 =-83 +333
=253 f(1) =13

×13+12

×12-2×1 + 5 =13

+12 -2 + 5 =26 +36
+ 3 =56 +186
=236

2.gest définie surRpar :

g(x) =4x+ 3x 2+ 1

On pose :u(x) = 4x+ 3v(x) =x2+ 1

u ?(x) = 4v?(x) = 2x g ?(x) =4×?x2+ 1?-(4x+ 3)×2x(x2+ 1)2=4x2+ 4-8x2-6x(x2+ 1)2=-4x2-6x+ 4(x2+ 1)2 Comme pour toutxdeR,?x2+ 1?2est strictement positif (c"est un carré),g?(x)est du signe de -4x2-6x+ 4. On calcule le discriminant :Δ = (-6)2-4×(-4)×4 = 36 + 64 = 100. CommeΔ>0,il y a deux racines :x1=-(-6)-⎷100

2×(-4)=6-10-8=-4-8=12

etx2=-(-6)+⎷100

2×(-4)=6+10-8=

16-8=-2.

On en déduit le signe de la dérivée :x-∞ -212 +∞Signe deg?(x)-0 + 0-Et le tableau de variations deg:x-∞ -212 +∞Signe deg?(x)-0 + 0-Variations deg(x)4 -1Avec : g(-2) =4×(-2)+3(-2)2+1=-8+34+1 =-55 =-1 g ?12 ?=4×12 +3( 12 )2+1=2+31 4 +1=55 4 = 5×45 = 4 Exercices :9, 10, 11 page 99 et 57, 59, 60, 64 page 10813- 19 page 102 et 90 page 11314- 61, 62 page 108

15- 66 page 109 et 98 page 11516- 87, 88, 89 page 11317[TransMath]13. Étude de variations.

14. Comparaison de fonctions.

15. À partir d"un graphique.

16. Dérivée seconde.

17. Identification.

5

3.2 Extremum local

Définition :Soitfune fonction définie sur un intervalleIetc?I. On dit quef(c)est unmaxim umlo cal(resp ectivementminim umlo cal) defs"il existe unin ter- f(x)≥f(c)).Remarque :1.Un extrem umlo calest soit un maxim umlo cal,soit un minium lo cal. 2. On p eutremarquer sur festdériv ableet si f(x0)est unextrem umlo cal, alorsf?(x0) = 0. Mais

attention à la réciproque...Propriété (admise) :Soitfunefonction dériv ablesur u nin tervalleIetx0?I,x0n"étantpas une

extrémité de I.

Sif?s"annuleen x0en changeant de signe, alorsf(x0)estun extrem umlo calde f.Module :TP 23 page 104 et 24 page 10518[TransMath]

Exercices :12 page 99 et 67, 68, 69 page 10919- 13, 14 page 100; 20 page 102; 72 page 109; 75, 76, 77

page 110; 81, 82 page 111 et 93, 94, 95 page 114

20- 79 page 11121- 83 page 11222[TransMath]

Références

[TransMath] transMA TH1reS, édition 2011 (Nathan) 3 4 5

6 18. Optimisation, utilisation de GeoGebra.

19. Extremums locaux.

20. Optimisation.

21. Algorithmique.

22. Utilisation de GeoGebra.

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