[PDF] Développements limités Rn(x) = f(x) ? Pn(

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reannée, L32 : outils mathématiques 2

Les développements limités.

Dans toute la suite,Idésigne un intervalle deRnon vide et non réduit à un singleton, x

0un point deIetf:I-→Rune fonction définie surI.

1. La formule de Taylor.

Définition.fpossède au pointx0?Iun maximum (respectivement un minimum) local s"il existeα >0tel que]x0-α,x0+α[?Iet ?x?]x0-α,x0+α[, f(x)≤f(x0)(respectivementf(x)≥f(x0)). fpossède un extremum local enx0sifa un maximum ou un minimum local enx0. Proposition 1.Sifpossède un extremum local au pointx0?Iet sifest dérivable enx0 alorsf?(x0) = 0. Théorème 2(Rolle).Soienta < betf: [a,b]-→Rune fonction continue, dérivable sur ]a,b[. Sif(a) =f(b), il existec?]a,b[tel quef?(c) = 0. Théorème 3(Égalité des accroissements finis).Soienta < betf: [a,b]-→Rune fonction continue, dérivable sur]a,b[. Il existec?]a,b[tel quef(b)-f(a) = (b-a)f?(c). L"énoncé précédent est encore vrai lorsqueb < a. Remarque.En particulier, lorsquef?(x)≥0pour toutx?]a,b[,fest croissante sur l"inter- valle[a,b]. D"autre part, s"il existe un réelK≥0tel que|f?(x)| ≤Kpour toutx?]a,b[, on obtientl"inégalité des accroissements finis:|f(b)-f(a)| ≤K|b-a|. Théorème 4(Formule de Taylor-Young).Soientn?N?etfune fonctionn-fois dérivable surI. Alors, pour toutx?I, f(x) =f(x0)+(x-x0)f?(x0)+(x-x0)22! aveclimh→0ε(h) = 0. La formule précédente s"appelle laformule de Taylor-Young à l"ordre n au pointx0. Exemple.Écrivons la formule de Taylor-Young à l"ordre 3 au point 0 def(x) = sin(2x). On a, pour tout réelx,f?(x) = 2cos(2x),f??(x) =-4sin(2x),f(3)(x) =-8cos(2x)etf(0) = 0, f ?(0) = 2,f??(0) = 0,f(3)(0) =-8. On obtient, pour tout réelx, f(x) =f(0) +xf?(0) +x22! f??(0) +x33! f(3)(0) +x3ε(x),aveclimx→0ε(x) = 0 c"est à diresin(2x) = 2x-43 x3+x3ε(x). La formule de Taylor-Young à l"ordre 2 au point 0 deexs"écritex= 1+x+x2/2+x2ε1(x) oùlimx→0ε1(x) = 0.

1Université Rennes 1, 2005/2006

2. Développements limités.

Définition.Soientn?Netf:I-→Rune fonction continue enx0?I.

fpossède undéveloppement limité à l"ordrenenx0s"il existe un polynôme à coefficients

réelsP=a0+a1X+...+anXnde degré inférieur ou égal àntel que lim h→0f(x0+h)-P(h)h n= 0. En posant, pourh?= 0,ε(h) = [f(x0+h)-P(h)]/hnetε(0) = 0, on a, pour touthtel quex0+h?I, f(x0+h) =P(h) +hnε(h) =a0+a1h+a2h2+...+anhn+hnε(h),aveclimh→0ε(h) = 0. soit encore, posantx=x0+h, pour toutx?I, f(x) =a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+ (x-x0)nε(x-x0). Cette égalité s"appelle un développement limité defà l"ordrenenx0; le polynômePest la partie principale du développement limité, le termehnε(h) = (x-x0)nε(x-x0)le reste. Proposition 5.Sifpossède un un développement limité à l"ordre n enx0, il est unique. En particulier, sif(x) =P(x)+xnε(x)est le développement limité à l"ordrenen 0 d"une fonction paire (respectivement impaire),Pest pair (respectivement impair). Remarque.La formule de Taylor-Young montre qu"une fonctionn-fois dérivable possède un

développement limité à l"ordrenet fournit ce développement limité. Toutefois, cette formule

n"est pas très utile en pratique. Sif:I-→Rest une fonction continue au pointx0, alorsfest dérivable enx0si et seulement sifpossède un developpement limité à l"ordre 1 enx0et dans ce cas f(x) =f(x0) + (x-x0)f?(x0) + (x-x0)ε(x-x0),aveclimh→0ε(h) = 0.

Mais attention, une fonction peut posséder un développement limité à l"ordren≥2en un

pointx0sans êtren-fois dérivable. SiPest un polynôme etkun entier,Tk(P)désigne le " tronqué » dePau degrékc"est à

dire le polynôme obtenu à partir dePen ne conservant que les monômes de degré inférieur

ou égal àk. Par exemple,T3(1 + 2x+ 3x2+ 6x6) = 1 + 2x+ 3x2. Proposition 6.Sif(x) =P(x-x0) + (x-x0)nε(x-x0)est le développement limité à l"ordre n defau pointx0alors, pour toutk≤n, le développement limité à l"ordrekdef au pointx0estf(x) =Tk(P)(x-x0) + (x-x0)ε1(x-x0).

2.1. Les développements limités à connaître.Tous les développements limités sont

au point 0 etlimx→0ε(x) = 0.

IIex= 1 +x+x22!

+···+xnn!+xnε(x)

Exemple.À l"ordre 3,ex= 1 +x+x22

+x36 +x3ε(x). 2

IIcosx= 1-x22!

+x44! +···+ (-1)nx2n(2n)!+x2n+1ε(x)

Exemple.cosx= 1-x22

+x424 +x5ε(x)à l"ordre 5.

IIsinx=x-x33!

+x55! +···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+2ε(x)

Exemple.sinx=x-x36

+x4ε(x)à l"ordre 4.

IIln(1 +x) =x-x22

+x33 +···+ (-1)n-1xnn +xnε(x)

Exemple.À l"ordre 3,ln(1 +x) =x-x22

+x33 +x3ε(x). II

11-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

Exemple.

11-x= 1 +x+x2+x2ε(x)à l"ordre 2.

II(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!

x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

Exemple.Pourα=12

, on obtient, à l"ordre 3,⎷1 +x= 1 +x2 -x28 +x316 +x3ε(x).

IItanx=x+x33

+215
x5+x6ε(x)

2.2. Opérations sur les développements limités.Dans tout ce paragraphe, nous ne

considérons que des développements limités au point 0 et aumême ordren. Toutes les fonctionsε,ε1, ...vérifientlimx→0εi(x) = 0. Soientfetgdeux fonctions ayant pour développement limité à l"ordrenen 0 f(x) =P(x) +xnε1(x), g(x) =Q(x) +xnε2(x). Somme.le développement limité à l"ordrenen 0 def+λgest (f+λg)(x) = (P+λQ)(x) +xnε3(x). Exemple.ex= 1 +x+x2/2 +x3/6 +x3ε1(x),ln(1 +x) =x-x2/2 +x3/3 +x3ε2(x)et e x-ln(1 +x) = 1 +x2-x3/6 +x3ε3(x).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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