Développements limités usuels
Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas. Formule de Taylor-Young en 0. f(x) =.
Les Développements Limités
Critère. f admet un développement limité à l'ordre n en x0 si et seulement si la fonction g définie par g(h) = f(
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
Développements limités
Rn(x) = f(x) ? Pn(x) = o((x ? a)n) . Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité pour lequel Pn est le polynôme de Taylor
Développements en séries entières usuels
Il y a trois développements en séries entières très importants (ceux encadrés) retrouver les développements de nombreuses fonctions usuelles.
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
avec cos(0) = 1 ? 0 donc il suffit de déterminer les développements limités à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan( ) ...
Les développements récents de léconomie face à la sociologie
26 févr. 2004 Le rapport de ces courants aux autres sciences sociales mériterait à lui seul un article. Nous ne les aborderons donc pas ici faute de place
Les développements récents de léconomie face à la sociologie
26 févr. 2004 Le rapport de ces courants aux autres sciences sociales mériterait à lui seul un article. Nous ne les aborderons donc pas ici faute de place
Les développements limités à connaître !
Exemple. À l'ordre 3 ex =1+ x + x2. 2. + x3. 6. + x3 ?(x). cos x = 1 ? x2. 2! + x4. 4! + ··· + (?1)n x2n. (2n)!. + x2n+1 ?(x). Exemple. cosx = 1 ? x2.
Brefs rappels sur les développements limités.
Les deux formules montrent que pour calculer le développement limité d'une fonc- tion f `a l'ordre n en 0
Développements en séries entières usuels
Il y a trois développements en séries entières très importants (ceux encadrés), et à partir desquels on peut
retrouver les développements de nombreuses fonctions usuelles.L"exponentielle
L"exponentielle est une des séries entières les plus importantes. On peut retrouver son développement avec
la formule f(z) =+1X n=0f (n)(0)n!znpour toute fonctionfdéveloppable en série entière, oùf(n)est la dérivéen-ième def. Sachant que la dérivée
n-ième de l"exponentielle est elle-même et que sa valeur en0este0= 1, on a donc e z=+1X n=0z nn!pour toutz2C:On définit alorscos(z) =eiz+eiz2 etsin(z) =eizeiz2i, ce qui permet d"avoir les développements cos(z) =+1X n=0(1)nz2n(2n)!etsin(z) =+1X n=0(1)nz2n+1(2n+ 1)!pour toutz2C:On définit aussich(z) =ez+ez2
etsh(z) =ezez2 , ce qui permet d"avoir les développements ch(z) =+1X n=0z2n(2n)!etsh(z) =+1X
n=0z2n+1(2n+ 1)!pour toutz2C:
Série géométrique
Le développement le plus simple est le suivant : +1X n=0zn=11zpourjzj<1:Il découle de la formule donnant la somme d"une série géométrique. En remplaçantzparz, on a aussi le
développement11 +z=+1X
n=0(1)nznpourjzj<1En intégrant termes à termes et en ajustant le terme constant, on obtient les développements
ln(1x) =+1X n=1x nn etln(1 +x) =+1X n=1(1)n+1xnn pourjxj<1: En posantz=x2à partir des développements en séries entières de11zet de11+z, on a :11x2=+1X
n=0x2net11 +x2=+1X
n=0(1)nx2npourjxj<1; ce qui donne après intégration termes à termes : argth(x) =+1X n=0x2n+12n+ 1etarctan(x) =+1X
n=0(1)nx2n+12n+ 1pourjxj<1:Formule du binôme
La formule suivante généralise la formule du binôme de Newton : (1 +z)=1X n=0 n z npourjzj<1et2R;où n =(1)(2):::((n1))n!:Les premiers termes de ce développement sont donnés par (1 +x)= 1 +x+(1)2 x2+(1)(2)6 x3+Ox!0(x4)En particulier, pour=12
etz=x2, on obtient1p1x2=+1X
n=0(2n)!22n(n!)2x2net1p1 +x2=+1X
n=0(1)n(2n)!22n(n!)2x2npourjxj<1:
En intégrant, il vient
arcsin(x) =+1X n=0(2n)!22n(n!)2(2n+ 1)x2n+1;arccos(x) =2
+1X n=0(2n)!22n(n!)2(2n+ 1)x2n+1
etargsh(x) =+1X n=0(1)n(2n)!22n(n!)2(2n+ 1)x2n+1pourjxj<1:
Récapitulatif partielfonctiondéveloppement en série entièrevalidité e z+1X n=0z nn!= 1 +z+z22 +z36 +z424 +:::z2Ccos(z)+1X n=0(1)nz2n(2n)!= 1z22 +z424quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] les devoirs ? l'école
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