[PDF] LIMITES DES FONCTIONS Yvan Monka – Académie de





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GENERALITES SUR LES FONCTIONS

Donner le tableau de variations de la fonction f définie sur [ – 8 ; 4 ] de la courbe ci-dessus. x. ?8. – 5. 2. 4. 3. 6 f 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN. En 1614 un mathématicien écossais



Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

(1) Une fonction constante est représentée par une droite de coefficient directeur (pente) nul. En tout point de cette droite le coefficient directeur 



-8.5cm Maths et stats en Gestion .5cm Chapitre IV Mesure de l

En mathématiques les variations d'une fonction réelle d'une variable évident que les différentes composantes de f (x) augmentent. Exemple g = x2 +.



FONCTION DERIVÉE

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Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS DE REFERENCE Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.



LIMITES DES FONCTIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Certaines fonctions admettent des limites différentes en un réel A selon x > A ou.



Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



fondmath1.pdf

2 Pratiques sur les fonctions (applications) usuelles Licence L1 parcours Maths-info puis cliquer sur Fondamentaux des mathématiques I.

1

LIMITES DES FONCTIONS

Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini

1) Limite infinie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.

Remarques :

- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales. 2

2) Limite finie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite en +∞,

si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on

note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher.

Définition : Si lim

=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontale

à la courbe de la fonction en +∞.

3

Remarques :

• Lorsque tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. • On a une définition analogue en -∞.

3) Limites des fonctions de référence

Propriétés :

- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0

Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A

1) Définition

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,

si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

Exemple :

La fonction définie par

1

3-

+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.

On a par exemple :

2,99 1

3-2,99

+1=101

2,9999

1

3-2,9999

+1=10001

Les valeurs de la fonction deviennent aussi

grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.

La courbe de la fonction "se rapproche" de la

droite d'équation =3 sans jamais la toucher. 4

Définition : Si : lim

=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .

2) Limite à gauche, limite à droite :

Exemple :

Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou lim

On parle de limite à droite de 0

Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou lim

On parle de limite à gauche de 0.

Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . 5

Correction

a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2) -∞-425+∞ -∞-425+∞ +∞+∞ +∞5

56-∞

6

Partie 3 : Opérations sur les limites

1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites

peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim lim lim F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ∞ 0 lim lim F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ≠0 0 lim ′≠0

0 ∞ ∞

0 lim ∞ 0 ∞ F.I. F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opération

Vidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs

Déterminer les limites suivantes : a)lim

-5

3+

b) lim

1-2

-3

Correction

a) lim -5

3+

F lim -5=-∞ lim =+∞lim

3+

Comme limite d'un produit : lim

-5

3+

7 b) lim

1-2

-3 lim

1-2=1-2×3=-5

lim -3=0

Une limite de la forme "

» est égale à " ∞ ».

Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "

» est égale à " +∞ ».

D'où, comme limite d'un quotient : lim

1-2

-3

2) Cas des formes indéterminée (non exigible)

Comme pour les suites, on rappelle que :

Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1) - NON EXIGIBLE

Vidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk

Calculer : lim

-3 +2 -6+1

Correction

lim -3 +2 -6+1=? • F lim -3 lim

2

On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= M-3+ 2 6 1 N •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.

Donc, par limite d'une somme :

lim -3+ 2 6 1 =-3 •P lim -3+ 2 6 1 =-3 lim 8

Donc, par limite d'un produit :

lim M-3+ 2 6 1

N=-∞

Soit : lim

-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations - NON EXIGIBLE

Vidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc

Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI

Calculer : a) lim

2

2 -5+1

6

2 -5 b) lim

3

2 +2

4-1

Correction

a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela

conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :

2

-5+1

6

-5 2- 0 6- 2- 0 6- • lim 5 =lim 1 2 =lim 5 2 =0.

Donc, comme limite de sommes :

lim 2- 5 1 =2etlim 6- 5 =6 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 2- 0 6- 2 6 1 3

Soit : lim

2

2 -5+1

6

2 -5 1 b) • Il s'agit d'une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :

3

+2

4-1

3+ 4- 0 3+ 4- 0 • lim 1 =lim 2 2 =0

Donc, comme limite de sommes :

lim 3+ 2 =3etlim 4- 1 =4 9 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 3+ 4- 0 3 4 • De plus, lim =-∞, donc, comme limite d'un produit : lim 3+ 4- 0

Soit : lim

3

2 +2

4-1

Méthode : Déterminer une asymptote

Vidéo https://youtu.be/0LDGK-QkL80

Vidéo https://youtu.be/pXDhrx-nMto

Soit la fonction définie sur ℝ∖ 1 par *2 Démontrer que la courbe représentative de la fonction admet des asymptotes dont on précisera la nature et les équations.

Correction

lim

1-=-∞ donc comme limite d'un quotient, on a : lim

-2

1-

=0.

On prouve de même que : lim

-2

1-

=0. On en déduit que la droite d'équation =0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de en +∞ et en -∞. lim "→0

1-=0

donc comme limite d'un quotient, on a : lim "→0 -2

1-

Et lim

"→0

1-=0

donc comme limite d'un quotient, on a : lim "→0 -2

1-

On en déduit que la droite d'équation

=1 est asymptote verticale à la courbe représentative de . 10 Partie 4 : Calculs de limites par composition et comparaison

1) Composition de limites

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k

Vidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc

Soit la fonction définie sur V

1 2 ;+∞X par : Y 2- 1 Calculer la limite de la fonction en +∞.

Correction

On a : lim

1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : limquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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