[PDF] Cours de maths S/STI/ES - Etude de fonctions et dérivées

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Mathématiques

Fiche n°1 - Étude de fonctions et dérivées Étude de fonction, équation de droite, nombre dérivée et dérivées usuelles, etc.

J. Paquereau 1/11

Cours : fiche n°1 - Étude de fonctions et dérivées

Thème : étude de fonction, équation de droite, nombre dérivée et dérivées usuelles, etc.

Notions abordées Page

1. Rappels sur les fonctions : définition, ensemble de définition, image, antécédent. 1

2. Équation de droite et coefficient directeur : fonctions affines et linéaires, calcul du

inéquations du second degré, calcul de discriminant. 3 dérivabilité, dérivées usuelles, calcul de dérivées. 5

5. Etude de fonction : fonction dérivée première et variations, dérivée seconde et

concavité/convexité. 8

1. Rappels sur les fonctions

associera respectivement les nombres 12, 28 et 2,12.

Soit :

des nombres ou valeurs pour lesquelles la fonction est définie, nombres pouvant être " produits » par la fonction. 12. fonction ݂.

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dire compris entre 0 inclus et ൅λ), associe le nombre multiplié par lui-même plus une constante.

En termes mathématiques, on écrira :

Soit :

réels positifs.

Ainsi, pour ܽ

avons défini ݃ pour tout réel positif. Or, െͳ est négatif. A droite, on a tracé la courbe représentative de ݃ en supposant que ܽ

2. Équation de droite et coefficient directeur

Toute droite (du plan euclidien) peut se mettre

ࢇ est appelé coefficient directeur. ࢈ est une constante qui détermine le décalage ࢌ est qualifiée de fonction affine. De plus, si ܾ vaut Ͳ, f est qualifiée de fonction linéaire.

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Le coefficient directeur (ce fameux ܽ

ܽ est positif, la fonction est croissante (la droite " monte »). Si ܽ décroissante (la droite " descend »). Le coefficient ܽ

Comment calculer le coefficient directeur (ܽ

ordonnées (ܾ

Coefficient directeur :

Décalage :

Comme : ܾൌݕെܽ

3. Équation du second degré

faire, on calcule le discriminant.

On étudie le signe du discriminant en appliquant les propriétés suivantes (trois cas possibles).

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Visuellement, les trois cas évoqués ci-avant se traduisent par les courbes représentées ci-après. On

" vers le haut » : Si ȟ൐Ͳ, on note ݔଵൌି௕ାξο

Si ܽ

Si ܽ

Si ȟൌͲ, on note : ݔଵൌି௕

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représentation visuelle de la page précédente, laquelle vous permet de retrouver les retrouver,

4. Tangente et nombre dérivé

4.1. Nombre dérivé

en ce point, si la tangente existe !

Formellement, on peut donner deux définitions équivalentes du nombre dérivé. Il importe de bien

connaître les deux définitions. Soit une fonction ݂ǣܫ՜ܬ, et soit ݔǡݔ଴ܫא Soit une fonction ݂ǣܫ՜ܬ, soit ݔ଴ܫא ment petit pour que ݔ଴൅݄ܫא ௛ est appelée taux de variation.

Explication :

Si on calcule le coefficient directeur de la droite passant par ces deux points, on retrouve bien ce fameux taux de variation.

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Démonstration :

4.2. Ensemble de dérivabilité

même forcément dérivable sur son ensemble de définition. Plus exactement, une fonction est dérivable

sur tout ou partie de son ensemble de définition. Il est donc vivement conseillé de connaître les

ensembles de dérivabilité des fonctions (du moins des fonctions les plus courantes, voir ci-après).

tout ݔא

4.3. Fonctions dérivées usuelles

Fonction Ensemble de définition Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité

݇ (avec k réel) Թ 0 Թ

݇ݔ (avec k réel) Թ ݇ Թ

ݔ௡ (avec n entier) Թ ݊ݔ௡ିଵ Թ

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A bien retenir !

Dans un ensemble " classique », on ne peut pas diviser par 0 !

4.4. Quelques exemples

La fonction݂ est bien définie et dérivable sur Թ en tant que somme de fonctions définies et dérivables

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Bien connaître ses formules de dérivations ! erreurs de signe, erreurs de développement ou encore de factorisation !

5. Étude de fonctions

5.1. Dérivée première et sens de variation

fonction dérivée et du calcul des limites de la fonction à ses extrémités. Voici les quelques propriétés

essentielles à retenir :

N.B. : cette notation est mathématiquement incorrecte. Elle doit uniquement servir de moyen mnémotechnique.

intervalle I, alors ݂ atteint un extremum ܽ

Deux cas se présentent alors :

Si ݂ est successivement croissante puis décroissante sur ů'intervalle ܫ intervalle). Si ݂ est successivement décroissante puis croissante sur ů'intervalle ܫ intervalle).

Remarque : si ܫ

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Le discriminant du polynôme ܲ

On a donc :

Signe de

Variations

de ݂

Détail des calculs :

Les deux derniers calculs seront abordés lorsque nous étudierons le calcul de limites.

5.2. Interprétation physique de la dérivée première

0 0

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5.3. Dérivée seconde et convexité

Intuitivement, on peut définir les notions concavité et de convexité comme suit : Une fonction ݂ est dite concave sur un intervalle ܫ Une fonction ݂ est dite convexe sur un intervalle ܫ

Illustration :

fonction est convexe ou concave sur un intervalle donné. Si ݂ est une fonction concave (resp. convexe) sur un intervalle ܫ Si ݂ est définie et deux fois dérivable sur un intervalle ܫ

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