[PDF] 6 . Déterminer x pour que

View - Download 6 .

Previous PDF

Next PDF

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

Exercices Fiche 1

Exercice 1:

Soient u2

-6, v3 -9, w-5 3

6.

1. Tracer le représentant d'origine O de chacun de ces vecteurs.

2. Les vecteurs

u et v sont-ils colinéaires ?

3. Les vecteurs

v et w sont-ils colinéaires ?

Exercice 2:

Soient les points E(-7; 6), F(3;3), G(-8;-1) et H(4;-5).

1. Les droites (EF) et (GH) sont-elles parallèles ?

2. Soit Lx;-5. Déterminer x pour que les droites (EF) et (GL) soient parallèles.

Exercice 3:

Soient A et B deux points distincts du plan.

Le point C est défini par:

4CA-5CB=AB.

1. Construire le point C après avoir exprimé le vecteur

AC en fonction du vecteur AB.

2. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

Exercice 4:

Représenter, dans un repère (O,

i, j), les droites suivantes: d1:3x-y2=0 d2:4x-1=0 d3:-3xy=0.

Exercice 5:

Soit d une droite passant par le point A(5;-2) et dont u3 -10 est un vecteur directeur. Déterminer une

équation cartésienne de d.

Exercice 6:

Soit les points A(1;-4), B(3;4) et C(2;0).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

2. En déduire que les points A, B et C sont alignés.

Exercice 7:

Les équations suivantes sont-elles des équations de droites ? Si oui, donner un vecteur directeur de la droite.

1. 2xy5=0 2. 2xy5=03. 2x3

2y4=0

4. 2x3-2y=5x.

Exercice 8:

Soit m un réel et d la droite d'équation xmy3=0.

Peut-on trouver

m tel que: 1. u3

2 soit un vecteur directeur de d.

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

2. A(-2;3) appartienne à la droite d.

3. d soit parallèle à la droite d'équation 3x-y=0. 4. d soit parallèle à l'axe des abscisses. 5. d soit parallèle à l'axe des ordonnées. 6. d passe par l'origine du repère. 7. d passe par le point J(0;1).

Exercice 9:

ABCD est un parallélogramme.

Les points I, J, K et L sont tels que

⃗AI=1

3⃗AB, ⃗BJ=1

3⃗BC, ⃗CK=1

3⃗CD, ⃗DL=1

3⃗DA.

1. Décomposer le vecteur

IJ sur les vecteurs ABetBC, et les vecteurs LKsur les vecteursADetDC.

2. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.

Exercice 10:

Construire un triangle ABC, puis les points D, E et F tels que AD=1

2AC,AE=1

3AB,BF=2BC.

Le but est de démontrer par trois méthodes différentes que D, E et F sont alignés.

1. Solution analytique dans le repère (A;

AB, AC). a. Déterminer les coordonnées de D, E et F. b. Démontrer que D, E, F sont alignés.

2. Solution vectorielle.

a. Décomposer DE et DF sur AB et AC. b. Démontrer que D, E et F sont alignés.

3. Solution géométrique.

La parallèle à (DE) passant par C coupe [AB] en un point I. a. Démontrer que E est le milieu de [AI]. b. En déduire que I est le milieu de [EB]. c. Démontrer alors que la droite (CI) est parallèle à la droite (FD). Conclure.

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

CORRECTION

Exercice 1:

Soient ⃗u(2

-6), ⃗v(3 -9), ⃗w(-5 3 6).

1. Tracer le représentant d'origine O de chacun de ces vecteurs.

u2 -6⃗u=⃗OAA(2;-6) v3 -9⃗v=⃗OBB(3;-9) w-5 3

6⃗w=⃗OCC(-5

3;6)2. Les vecteurs

u et ⃗v sont-ils colinéaires ? u2 -6etv3 -92×(-9)-(-6)×3=-18+18=0Donc les vecteurs ⃗uetvsont colinéaires.

3. Les vecteurs

⃗v et ⃗w sont-ils colinéaires ? v3 -9etw-5 3

63×6-(-9)×(-5

3)=18-15=3≠0Donc, les vecteurs

v et w ne sont pas colinéaires.

Remarque :

On vérifie sur le dessin que les points O ; A et B sont alignés et que les points O, B et C ne sont pas alignés.

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

Exercice 2:

Soient les points E(-7; 6), F(3;3), G(-8;-1) et H(4;-5).

1. Les droites (EF) et (GH) sont-elles parallèles ?⃗EF(10

-3)et ⃗GH(12 -4).

10×(-4)-(-3)×12=-40+36=-4≠0

Donc, les vecteurs

⃗EFet ⃗GHne sont pas colinéaires. Par suite, les droites (EF) et (GH) ne sont pas parallèles.

2. Soit Lx;-5. Déterminer

x pour que les droites (EF) et (GL) soient parallèles. ⃗EF(10 -3)et ⃗GL(x+8 -4)Les vecteurs ⃗EFet ⃗GLsont colinéaires

Û10×(-4)-(-3)×(x+8)=0

-40+3x+24=0Ûx=16 3 Les droites (EF) et (GL) sont parallèles si et seulement si L (16

3;-5).

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

Exercice 3:

Soient A et B deux points distincts du plan.

Le point C est défini par: 4CA-5CB=AB.

1. Construire le point C après avoir exprimé le vecteur

AC en fonction du vecteur AB. 4 CA-5CB=AB 4 ⃗CA-5(⃗CA+⃗AB)=⃗AB -⃗CA=⃗AB+5⃗AB ⃗AC=6⃗AB

2. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

Les vecteurs

⃗ACet⃗ABsont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés.

Exercice 4:

Représenter, dans un repère (O,

i, j), les droites suivantes: d1:3x-y2=0 d2:4x-1=0d3:-3xy=0.

Nous avons 3 équations de la forme :

ax+by+c=0 avec a≠0ou b≠0•Pour la droite d1Le coefficient debest non nul. On obtient une équation réduite de d1de la forme : y=mx+p.

On déterminera les coordonnées de deux points distincts de la droite en donnant deux valeurs distinctes à

xen calculant les ordonnées correspondantes. y=3x+2Pour x=0 y=2 A(0;2) Pour x=1 y=5 B(1;5) •Pour la droite d2

Le coefficient de

best nul. On obtient une équation réduite de d2de la forme : x=x0. x=1

4d2est une droite verticale, si le repère est orthogonal.

Pour déterminer 2 points distincts de d2, on choisit 2 points d'abscisse 1

4et d'ordonnées distinctes. Par

exemple C (1

4;0)et D(1

4;2). •Pour la droite

d3Le coefficient debest non nul, donc on utilise la même méthode que pour d1. Toutefois on est dans le cas

particulier c=0. C'est à dire si x=0alors y=0 ; la droite d3passe par l'origine.

O(0;0)et E(1;3)

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

Exercice 5:

Soit d une droite passant par le point A(5;-2) et dont u3 -10 est un vecteur directeur. Déterminer une

équation cartésienne de d.

M(x;y)

⃗AM(x-5 y+2)M∈dÛ ⃗AMet⃗usont colinéaires.

Û-10(x-5)-3(y+2)=0

Û-10x+50-3y-6=0

-10x-3y+44=0 d:-10x-3y+44=0Exercice 6:

Soit les points A(1;-4), B(3;4) et C(2;0).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

⃗AB(2

8)La droite (AB) est la droite passant par le point A et de vecteur directeur

⃗AB.

M(x;y)

⃗AM(x-1 y+4)M∈dÛ ⃗AMet⃗ABsont colinéaires.

Û8(x-1)-2(y+4)=0

Vecteurs du plan

Equations cartésiennes de droites

Û8x-2y-16=0

Û4x-y-8=0

(AB):4x-y-8=0

2. En déduire que les points A, B et C sont alignés.

C(2;0)et(AB):4x-y-8=04×2-0-8=0Donc le point C appartient à la droite (AB) et les points A ; B et C sont alignés.

Exercice 7:

Les équations suivantes sont-elles des équations de droites ? Si oui, donner un vecteur directeur de la droite.

1. une équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur ⃗u(-b a) ⃗u(-1 2. 2xy5=0n'est pas une équation cartésienne d'une droite.

3. 2x3

2y4=0n'est pas une équation cartésienne d'une droite.

4. 2x3-2y=5xÛ-3x-2y+3=0 ; C'est une équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur

⃗u(-b a) ⃗u(2 -3).

Exercice 8:

Soit m un réel et d la droite d'équation xmy3=0.

C'est une équation de la forme :

ax+by+c=0avec a=1≠0 ; b=met c=3 ⃗vm(-m

1)est un vecteur directeur de d. (Attention icimn'est pas le coefficient directeur de la droite d).

Peut-on trouver

m tel que:quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] les droites (mi) et (ou) sont elles parrallèles : demonstration

[PDF] Les droites parallèles

[PDF] Les droites parrallèles

[PDF] Les droites perpendiculaires

[PDF] les droites remarquables d'un triangle exercices corrigés

[PDF] les droites remarquables et constructions

[PDF] les droites sont-elles parallèles

[PDF] Les droites sont-ils parallèles

[PDF] Les droits , en droit civil ex : constitutionelle , et tout les autres mais je ne m'en rappele plus désolé , pouvez - vous m'aider , merci

[PDF] les droits dun locataire

[PDF] Les droits de l'enfant !

[PDF] Les droits de l'Homme respectés en France

[PDF] les droits de l'élève

[PDF] les droits de l'homme dans les prisons

[PDF] les droits de l'homme definition historique et texte fondamentaux