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3eBREVETBLANC2010-2011

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l'appréciation des copies.

Les résultats seront soulignés.

La correction est disponible sur le site du Collège : Espace Pédagogique puis rubrique Mathématiques.

Activités numériques

[13 Points]

EXERCICE1

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Cocher la réponse exacte sans justification.

Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponseenlève 0,25. L'absence de réponse ne rapporte n'y n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuéeà l'exercice est 0.

QuestionsRéponses

Le nombre37+56est :strictement positifstrictement négatifnul (2x3)2est égal à :(2x+ 3)(2x3)4x294x2+ 912x

Une solution de(x3)2= 5x9est :2-20

Un article coûte 50e. Après remise de 20%, il coûte :20e40e30e

60 représente 15% de :64009

Une urne contient uniquement des jetons jaunes (J), rouges (R) et verts (V).

On sait que p(J)=1

3, p(R)=0,25 alors p(V)=

0,427125

12

EXERCICE2

Un sac contient 10 boules ayant chacune la même probabilité d'être tirée.

Ces 10 boules sont numérotées de 1 à 10.

1. On tire une boule au hasard, on note son numéro.

(a) Quelle est la probabilité d'avoir un nombre multiple de 3? Il y a 3 multiples de 3 compris entre 1 et 10 : 3;6 et 9. Donc il y a 3 chances sur 10 d'obtenir un multiple de trois.

Donc la probabilité est de3

10, soit 0,3.

(b) Quelle est la probabilité d'avoir un nombre premier? Il y a 4 nombres premiers compris entre 1 et 10 : 2;3;5 et 7. Donc il y a 4 chances sur 10 d'obtenir un nombre premier.

Donc la probabilité est de4

10, soit 0,4.

2. On tire une boule au hasard, on note son numéro, on ne remet pas la boule tirée. Puis on tire une deuxième

boule dont on note le numéro.

COLLÈGE JULES MICHELETPage 1/7ANGOULÊME

3eBREVETBLANC2010-2011

(a) Quelle est la probabilité d'avoir le tirage (5;3)?

Il y a 10 possibilités pour la 1èreboule et pour chacune d'elles, il y a ensuite 9 possibiltés pour le 2ème

boule.

Parmi toutes les issues possibles, il n'y en a qu'une qui donne le résultat (5;3) sur un total de 90 issues

possibles.

Doncp("(5;3)») =1

90

(b) Quelle est la probabilité d'avoir un tirage où au moins l'une des boules porte un numéro multiple de

3? mT 3 10? mT 2/9 mT7/9 mT 7/10? mT 3/9 mT6/9légende :mT : multiple de trois. mT : non multiple de trois. Il est plus simple de s'intéresser à l'événement contraire de l'événement initial, c'est à dire que l'on va étudier la probabilité "d'obtenir un tirage où les deux boules ne portent par un numéro multiple de 3 » :

Laprobabilitédecet évementest de7

1069=715.

Donc la probabilité de l'événement " obtenir un tirage où au moins l'une des boules porte un numéro multiple de 3 » est de17

15=815

EXERCICE3

Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche sera pris en compte. Comment peut-on calculer astucieusement sans calculatrice1999219982? Expliquer rigousement votre démarche et donner la réponse.

Compétences utilisées :

Mettre en place une démarche.

Reconnaitre une différence de deux carrés.

Savoir queA2B2= (A+B)(A+B).

1999

219982= (19991998)(1999+ 1998) = 13997 = 3997

COLLÈGE JULES MICHELETPage 2/7ANGOULÊME

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Activités géométriques

[13 Points]

EXERCICE1

•AB= 5etAC= 6,5; •AE= 3etEF= 4,8; •AK= 2,6etAG= 2. B CF EA KG

1. Démontrer queBC= 8.

Dans le triangle ABC :E est un point de [AB]

F est un point de [AC]

(EF) est parallèle (BC)?????Donc :D'après le théorème de Thalès, on a : AE

AB=AFAC=EFBC

3

5=4,8BC

BC=54,8

3= 8

2. Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre.

B CF EA K G

3. Les droites(KG)et(BC)sont-elles parallèles? Justifier.

(KC) et (BG) sont sécantes en A. K,A et C sont trois points distincts ainsi que G,A et B.AK

AC=2,66,5

COLLÈGE JULES MICHELETPage 3/7ANGOULÊME

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AG

AB=252,6

6,5?=25On y répond par les produits en croix :2,65 = 13et6,52 = 13.

DoncAK

AC=AGAB.

Les points K,A,C et G,A,B sont alignés dans le même ordre.

Donc d'après le réciproque du théorème de Thalès les droites(KG) et (BC) sont parallèles.

4. Les droites(AC)et(AB)sont-elles perpendiculaires? Justifier.

Dans le triangle ABC :

BC2= 64

AB

2+AC2= 25 + 42,25 = 67,25

Donc ABC n'est pas un triangle rectangle.

Donc (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires.

EXERCICE2

1. Calculer la distanceAP(on donnera une valeur

arrondie au dixième).

Dans le triangle APG, rectangle en G.

D'après le théorème de Pythagore :

AP2=PG2+GA2

AP

2= 92+ 3,662

AP

2= 94,3956

AP=»

94,39569,7m

2. (a) Le pointGest aussi le milieu du segment

[HK]. Montrer queBK= 16,5m, puis calculer une mesure de l'angle

÷BJK.

BK=40,3227,322= 16,5m

Dans le triangle BJK, rectangle en K :

tan

÷BJK=BK

JK tan

÷BJK=16,5

16,5

÷BJK= tan-1(1) = 45°

(b) CalculerAK, puis une mesure de l'angle

÷AJK(on donnera une valeur arrondie au

degré).

AK= 7,32 + 16,5 = 23,82m.

Dans le triangle AJK, rectangle en K :

tan

÷AJK=AK

JK tan

÷AJK=23,82

16,5= 1

AJK= tan-1Ç23,82

16,5å

55°

(c) En déduire une mesure de l'anglede tir

÷AJBdu joueur.

÷AJB=÷AJK÷BJK

÷AJK55°45°

÷AJK10°

16,5m 7,32m

40,32mIJ

KH AGBP

COLLÈGE JULES MICHELETPage 4/7ANGOULÊME

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Problème

[12 Points] L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle1

2. Ne pas reproduire la figure.

R MHST

(C)

Partie A

Soit(C)un cercle de diamètre[RM]avecRM= 10. SoitTun point de(C)tel queRT= 6.

1. Démontrer queRMTest un triangle rectangle.

Propriété

Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si de plus l'un des côtés du triangle est un diamètre alors ce

triangle est rectangle.

R,MetTsont sur le cercle(C).

[RM]est un diamètre du cercle(C).

DoncRMTest rectangle enT.

2. Démontrer queTM= 8.

Dans le triangle RMT, rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore : RM

2=RT2+TM2

10

2= 62+TM2

100 = 36 +TM2

TM

2= 10036 = 64

TM=

64 = 8cm

Partie B

SoitSun point de[RT]etHle point de[RM]tel que(SH)//(TM).

On poseRS=x.

1. Quelles sont les valeurs possibles dex?

xest compris entre 0 et 6.

2. Démontrer queRH=53xetSH=43x.Dans le triangleRTM:

S[RT] H[RM]

COLLÈGE JULES MICHELETPage 5/7ANGOULÊME

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(SH)//(TM) Donc d'après le théorème de Thalès, on a : RS

RT=RHRM=SHTM.

x

6=RH10=SH8.

En utilisant :

x

6=RH10, on obtient :

6RH= 10x.

DoncRH=10x

6=??105x?63=5x3=53x

En utilisant :

x

6=SH8, on obtient :

6SH= 8x.

DoncSH=8x

6=?84x?63=4x3=43x

3. Exprimer, en fonction dex, le périmètre du triangleRSH.

PRSH=RS+SH+HR=x+43x+53x=3x3+43x+53x=12x3= 4x

4. Démontrer que le périmètre du trapèzeSTMHest égal à :2443x.

PSTMH=ST+TM+MH+SH= 6x+ 8 + 1053x+43x= 2433x53x+43x= 2443x

Partie C

On considère les fonctionsfetgtelles que :

f:x4xetg:x244 3x.

1. Calculerf(0), f(6), g(0)etg(6).

f(0) = 40 = 0 f(6) = 46 = 24g(0) = 244

30 = 24

g(6) = 244

36 = 248 = 16.

2. Sur la feuille de papier millimétré fournie, représentergraphiquement les fonctionsfetg.

3. (a) Déterminer par le calcul la valeur dexpour laquellef(x) =g(x).

Pour que :f(x) =g(x), il faut que :

4x= 244

3x 4x+4

3x= 24

16

3x= 24

x=24 16

3= 4,5

(b) Retrouver cette valeur sur le graphique; faire apparaître les pointillés nécessaires.

4. Que représente la solution de l'équationf(x) =g(x)pour la partie B de ce problème?

La fonctionfcorrespond à la fonction qui traduit le périmètre du triangle RSH. La fonctiongcorrespond à la fonction qui traduit le périmètre du trapèzeSTMH.

Donc la solution de l'équationf(x) =g(x)correspond à la position de S sur [RT] pour que le triangle RSH

et le trapèze STMH aient le même périmètre.

COLLÈGE JULES MICHELETPage 6/7ANGOULÊME

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O12

Dg:x244

3x

Df:x4x

COLLÈGE JULES MICHELETPage 7/7ANGOULÊME

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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