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Cours - Pierre Lavaurs - Licence maths/infos - Unit´e d"enseignement Maths II-1 (analyse) - Universit´e Lyon 1 - Ann´ee 2005-2006 1

Int´egration des fonctions continues par morceaux

Vous savez calculer l"int´egrale de plus d"une fonction continue (enfin, je l"esp`ere). L"objectif de ce chapitre

est de montrer que l"int´egrale existe mˆeme pour des fonctions continues pour lesquelles on ne saurait la

calculer, et accessoirement de prouver quelques unes de sespropri´et´es simples.`A la fois pour des raisons techniques (les fonctions en escalier ne sont pas continues, et sont des outils bien

pratiques pour construire l"int´egrale) que pratiques (ona effectivement vraiment besoin dans des situations

r´eelles d"int´egrer des fonctions pr´esentant quelques discontinuit´es) on va ´etendre ce projet `a une classe de

fonctions un peu plus large que les fonctions continues: lesfonctions continues par morceaux.

1 - Fonctions continues par morceaux sur un segment ferm´e born´e

Les d´efinitions ´etant plus simples sur un segment ferm´e born´e que sur un intervalle quelconque, on

reportera le cas g´en´eral `a quelques remarques en fin de chapitre, et on ne travaillera dans cette section et la

suivante que sur un intervalle [a,b] ferm´e et born´e (aveca < b).

D´efinition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction de [a,b] versR. On dit quef

D´efinition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction de [a,b] versR. On dit

limite `a droite lim

Il est ´evident que les fonctions continues et les fonctionsen escalier sont des exemples simples de fonctions

continues par morceaux. Tout s"y ram`ene par le

Lemme: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction de [a,b] versR. Alorsfest

continue par morceaux si et seulement s"il existe une fonction continuegde [a,b] versRet une fonction en

escalierhde [a,b] versRtelles quef=g+h.

D´emonstration:

Preuve de?(qui est le sens le plus facile). Soita=c0< c1<···< cn=bun d´ecoupage de l"intervalle

[a,b] tel quehsoit constante sur chaque intervalle ]ci,ci+1[. Alors sur chacun de ces intervalleshetgsont

continues, donc aussif. De plus en chaque point de ce d´ecoupage,gethont une limite `a droite et `a gauche,

doncfaussi.

Preuve de?. Supposonsfcontinue par morceaux et soita=c0< c1<···< cn=bun d´ecoupage associ´e `a

la d´efinition de cette continuit´e par morceaux. On va construirehen escalier avec ce d´ecoupage. Pour cela,

respectives defaux divers points du d´ecoupage. On construit alorshen posanth(c0) =f(c0), puish(t) =l+0poura=c0< t < c1, puish(c1) =l+0-l-1+f(c1), puish(t) =l+0-l-1+l+1pourc1< t < c2. Plus g´en´eralement,

on poseh(t) =l+0-l-1+l+1+···-l-i+l+ipourci< t < ci+1, eth(ci) =l+0-l-1+l+1+···-l-i+f(ci). Par

construction,hest en escalier. Posons maintenantg=f-h: la relationf=g+hne pose pas de probl`emes, la seule chose `a

v´erifier est la continuit´e deg. Celle-ci est ´evidente en touttautre qu"un des pointsciet en chacun de

ceux-ci elle demande une v´erification ; pouri= 0 on compareg(c0) =f(c0)-h(c0) = 0 `a limt→c0c0 lim

t→c0c0 partg(ci) =f(ci)-h(ci) =f(ci)-?l+0-l-1+l+1+··· -l- i+f(ci)?=-l+0+l-1-l+1+···+l- i, d"autre part lim t→citt→cici Int´egration des fonctions continues par morceaux

2conclure `a la continuit´e degenxi; et pouri=non fait la mˆeme v´erification (mais `a gauche seulement de

x n=b).•

La simplicit´e de ce lemme explique je l"esp`erea posterioripourquoi on a introduit dans la d´efinition des

fonctions continues par morceaux la compliqu´ee conditiond"existence de limites `a droite et `a gauche.

2 - Primitives et primitives par morceaux

Pour des fonctions continues, la bonne notion de "primitive" sera celle `a laquelle on s"attend:

D´efinition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etf,Fdeux fonctions de [a,b] versR, o`u la

fonctionfest continue. On dit queFest uneprimitivedeflorsquefest d´erivable sur [a,b] etF?=f. Pour des fonctions continues par morceaux, il faut renoncer`a avoir la relationF?=fen tout point de

l"intervalle : c"est d´esesp´er´e aux ´eventuelles discontinuit´es def. On perdra donc la d´erivabilit´e deF; notez

bien que la d´efinition suivante exige la continuit´e deF.

D´efinition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etf,Fdeux fonctions de [a,b] versR, o`u la

fonctionfest continue par morceaux. On dit queFest uneprimitive par morceauxdeflorsqueFest

continue sur [a,b], d´erivable sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points et ona l"identit´eF?(t) =f(t), sauf

peut-ˆetre en un nombre fini de points. Ce concept est le bon pour pouvoir int´egrer les fonctions enescalier.

Proposition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction en escalier sur [a,b]. La

fonctionfadmet (au moins) une primitive par morceaux.

D´emonstration: Soit Soita=c0< c1<···< cn=bun d´ecoupage de l"intervalle [a,b] tel quefsoit

sont en nombre fini) et que sur chaque intervalle ]ci,ci+1[ sa d´eriv´ee vautdidonc co¨ıncide avecf. Le seul

point `a v´erifier est la continuit´e deFen chaqueci(et la continuit´e `a gauche est ´evidente) ; la seule chose

`a faire est donc de comparer la valeur deF(ci) qui estd0(c1-c0) +d1(c2-c1) +···+di-1(ci-ci-1) et

sa limite `a droite, qui est la limite quandttend verscided0(c1-c0) +d1(c2-c1) +···+di(t-ci), soit

d

0(c1-c0) +d1(c2-c1) +···+di-1(ci-ci-1) + 0 : on retrouve la mˆeme chose.•

L"int´erˆet des primitives par morceaux est que certains r´esultats du cours de d´erivation sont encore vrais

avec cette notion un peu ´etendue.

Proposition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etf,Fdeux fonctions de [a,b] versR, o`u la

fonctionfest continue par morceaux etFest une primitive par morceaux def. AlorsFest croissante si et seulement sifest positive sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points.

D´emonstration: Une implication est claire : siFest croissante, l`a o`u elle est d´erivable sa d´eriv´ee est

positive, doncfest positive sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points.

R´eciproquement, supposonsfpositive sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points. En ajoutant `a ces

points les points ´eventuels o`u l"´egalit´eF?(t) =f(t) n"est pas vraie, et ´eventuellement aussi les pointsaetb,

on en d´eduit qu"il existe un nombre fini de pointsa=c0< c1<···< cn=btels que sur chaque intervalle

]ci,ci+1[ la fonctionFest d´erivable et de d´eriv´ee positive. On en d´eduit que lafonctionFest croissante sur

chaque intervalle ]ci,ci+1[. Comme on a suppos´e en outre la fonctionFcontinue (c"est l`a qu"on s"en sert de

c

croissance deFsur chaque intervalle ferm´e [ci,ci+1]. Ceci entraˆıne ´evidemment la croissance deFsur [a,b]

tout entier.•

Proposition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etf,Fdeux fonctions de [a,b] versR, o`u la

fonctionfest continue par morceaux etFest une primitive par morceaux def. AlorsFest constante si et seulement sifest nulle sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points.

D´emonstration: Il suffit d"appliquer la proposition pr´ec´edente d"une part `afetFet d"autre part `a-fet

-F.•

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Corollaire: Deux primitives par morceaux d"une mˆeme fonction continue par morceaux sur un intervalle

ferm´e born´e diff`erent d"une constante. D´emonstration: SoitF1etF2deux primitives d"une mˆemefcontinue par morceaux. AlorsF1-F2est

continue, d´erivable sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points, et sa d´eriv´ee est ´egale `af-f= 0 sauf

peut-ˆetre en un nombre fini de points :F1-F2est donc une primitive par morceaux de la fonction nulle,

donc une constante.•

Pour des primitives par morceaux, le th´eor`eme des accroissements finis dans sa version la plus pr´ecise

(existence d"unc) peut ´echouer, mais il reste une in´egalit´e.

Proposition: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etf,Fdeux fonctions de [a,b] versR, o`u la

fonctionfest continue par morceaux etFest une primitive par morceaux def.

SoitMun r´eel fix´e ; on suppose que pour touttde [a,b] (ou mˆeme sauf peut-ˆetre un nombre fini det)

F(b)-F(a)

D´emonstration: Posonsg(t) =M-f(t) etG(t) =Mt-F(t). Il est alors imm´ediat de v´erifier queG

est une primitive par morceaux deget quegest positive (sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points). La

3 - Les fonctions continues ont des primitives

Th´eor`eme: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction continue de [a,b] versR.

Alorsfadmet au moins une primitiveF.

Les primitives defsont exactement les fonctionsF+co`ucest une fonction constante.

D´emonstration: Le dernier point est ´evident et d´ecoule simplement de la caract´erisation des fonctions

constantes comme fonctions de d´eriv´ee nulle. Toute la difficult´e (et elle n"est pas petite) consiste `a prouver

l"existence d"au moins une primitive. Il faut bien ˆetre conscient qu"elle existe, mais qu"on ne la trouvera pas

par une formule : pour des fonctions continues simples, commef(t) =et tles primitives existent mais ne se laissent pas calculer.

La m´ethode va consister `a approcherfpar des fonctions en escalier, dont on sait trouver des primitives (par

morceaux) puis passer `a la limite `a partir de ces primitives par morceaux. n. Dit avec des mots: "x(k)nest l"extr´emit´e droite duk-`eme morceau du d´ecoupage de [a,b] ennparts ´egales" Soit maintenantfn(pourn≥1) la fonction en escalier d´efinie sur [a,b] par:

Avec des mots:

"fnest la fonction en escalier, constante sur chaque morceau dud´ecoupage de [a,b] ennparts ´egales,

qui prend sur chacun de ces morceaux la valeur que prendf`a son extr´emit´e gauche".

Pr´ealablement `a la construction, on va montrer l"affirmation 1suivante, cruciale pour la d´emonstration:

(Avec un mot du programme de deuxi`eme ann´ee, "fntend uniform´ement versf").

Preuve de l"affirmation 1(par l"absurde): Supposons que ce soit faux. Il existerait alors un? >0 tel que

pour toutN≥1, il existe unnN≥Net untN?[a,b] tels que? <|fnN(tN)-f(tN)|.

Pour chaqueN≥1, notonssNl"extr´emit´e gauche de l"intervalle du d´ecoupage r´egulier de [a,b] ennN

N→ ∞. De plus par d´efinition desfn,fnN(tN) =f(sN). L"in´egalit´e? <|fnN(tN)-f(tN)|se r´e´ecrit donc

plus bri`evement? <|f(sN)-f(tN)| Int´egration des fonctions continues par morceaux

4Par le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite-extraite (t?(N)) de (tN) qui admette une limitel.

CommesN-tN→0 quandN→ ∞, la suite (s?(N)) converge aussi versl. En passant `a la limite dans

L"affirmation 1 est donc d´emontr´ee.

On sait d´esormais assez sur lesfnpour avancer dans la construction. Chaquefnest une fonction en escalier;

elle admet donc des primitives par morceaux. NotonsFnla primitive defntelle queFn(a) = 0. Affirmation 2: Pour chaquet?[a,b] fix´e, la suite (Fn(t)) est une suite de Cauchy.

Preuve de l"affirmation 2: Fixons unt?[a,b]; sit=ale r´esultat est ´evident (tous lesFn(t) sont nuls);

on supposera donca < t.

Appliquons l"affirmation 1 au r´eel?1=?

2(t-a). Elle nous fournit unN≥1 tel que pour toutn≥Net

On en d´eduit que pour tousp,qavecp≥q≥N, et touts?[a,b], on a : Notons maintenant queFp-Fqest une primitive par morceaux defp-fqet appliquons la variante des l"intervalle [a,b], donc sur tout l"intervalle [a,t]. On en d´eduit que

et sym´etriquement en ´echangeantpetq, c"est-`a-dire exactement (en se souvenant queFp(a) =Fq(a) = 0)

L"affirmation 2 est bien prouv´ee.

Arriv´e `a ce point des constructions, on en d´eduit que pourchaquetfix´e, la suite de Cauchy (Fn(t))n≥1est

une suite convergente. NotonsF(t) sa limite. La fonctionFva ˆetre la primitive cherch´ee... Reste encore `a le

montrer. Ce n"est pas franchement astucieux, mais tout de mˆeme un peu indigeste parce qu"un peu lourd. Il

faut en effet revenir `a la d´efinition mˆeme d"une d´eriv´ee comme limite... (avect?[a,b]), on ait: |f(t0)-F(t)-F(t0)

Pour ce faire, commen¸cons par appliquer la d´efinition de "continuit´e" `afau pointt0et `a?

2; ceci nous

2.

Appliquons alors l"affirmation 1 `a

2; elle nous garantit l"existence d"unN≥1 tel que pourn≥N, on ait

2+?2=?.

Remarquons maintenant que la fonction auxiliaireGnd´efinie parGn(t) =Fn(t)-tf(t0) est une primitive

pour tout pointsdu segment ferm´e d"extr´emit´est0ettles in´egalit´es f

dont on d´eduit (encore une fois par la proposition am´eliorant les accroissements finis) les in´egalit´es:

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Mais

Gn(t)-Gn(t0)

t-t0=Fn(t)-Fn(t0)t-t0-f(t0): on a donc prouv´e (pour toutn≥Net toutt?[a,b] tel que |f(t0)-Fn(t)-Fn(t0)

Il ne reste plus qu"`a faire tendrenvers l"infini dans cette in´egalit´e pour obtenir l"in´egalit´e cherch´ee.•

Th´eor`eme: Soit [a,b] un intervalle ferm´e born´e (aveca < b) etfune fonction continue par morceaux de

[a,b] versR.

Alorsfadmet au moins une primitive par morceauxF.

Les primitives par morceaux defsont exactement les fonctionsF+co`ucest une fonction constante.

D´emonstration: L`a aussi la derni`ere affirmation est facile (du moins une fois qu"on a pr´epar´e le terrain en

ayant ´etudi´e les primitives par morceaux de z´ero).

Pour la premi`ere affirmation on a aussi pr´epar´e le terrain :´ecrivonsf=g+ho`ugest continue et

hen escalier. Le th´eor`eme pr´ec´edent permet de trouver une primitive deget on sait d´ej`a (on s"en est

abondamment servi pour prouver le th´eor`eme pr´ec´edent...) quehadmet des primitives par morceaux. On

obtientFen additionnant primitive deget primitive par morceaux deh.•

4 - La notation int´egrale

D´efinition: Soitaetbdeux r´eels etfune fonction r´eelle d"une variable r´eelle, continue par morceaux sur

un intervalle contenantaetb.

On appelle l"int´egraledefentreaetble r´eelF(b)-F(a) calcul´e `a l"aide d"une primitive par morceaux

def. Notation: Ce r´eel est not´e, comme tout le monde le sait bien,? b a f(t)dt.

On notera aussitˆot que cette d´efinition a un sens, d"une part parce que les primitives par morceaux de

fexistent et d"autre part parce qu"elles diff`erent d"une constante, ce qui garantit que le r´esultat ne d´epend

pas de la primitive utilis´ee pour le calcul. Les r´esultats suivants sont ´evidents avec ce choix de d´efinition:

Proposition: Soita,betctrois r´eels, etfune fonction r´eelle d"une variable r´eelle, continue par morceaux

sur un intervalle contenanta,betc. Alors: c a f(t)dt=? b a f(t)dt+? c b f(t)dt.

D´emonstration: C"est stupide : c"est simplement dire queF(c)-F(a) = (F(c)-F(b)) + (F(b)-F(a)).•

Proposition: Soitfune fonction continue `a valeurs r´eelles d´efinie sur un intervalleI, et soitaun point de

I. Alors la fonctionx?→?

x a f(t)dtest une fonction d´erivable surI, dont la d´eriv´ee estf.

D´emonstration: Cela d´ecoule de la d´efinition, et de l"information suppl´ementaire selon laquelle les fonctions

continues ont mieux que des primitives par morceaux, `a savoir de "vraies" primitives.•

Les ´enonc´es suivants ne sont pas aussi grossi`erement ´evidents, mais sont de simples reformulations des

r´esultats ´enonc´es sur les fonctions continues par morceaux. l"intervalle [a,b]. Alors l"int´egrale? b a f(t)dtest positive.

D´emonstration: C"est parce que toute primitive par morceaux de la fonctionpositivefest croissante.•

Int´egration des fonctions continues par morceaux

[a,b]. On suppose que pour touttde [a,b] (ou mˆeme sauf peut-ˆetre un nombre fini det) on a l"in´egalit´e :

b a

D´emonstration: C"est simplement la r´e´ecriture de la proposition qui ´etend le th´eor`eme des accroissements

finis, avec une nouvelle notation.•

Remarques: * On peut aussi obtenir une variante de la pr´ec´edente si onsupposefcontinue (et non

seulement continue par morceaux) et en utilisant la vraie ´egalit´e des accroissements finis. Je laisse en exercice

la d´etermination de l"´enonc´e que l"on obtient.

appliquer la croissance deFet l"in´egalit´e se renverse; de mˆeme pour l"in´egalit´e des accroissements finis, la

multiplication par unb-astrictement n´egatif renverserait l"in´egalit´e. M´efiance donc. [a,b]. Alors: b a f(t)dt????? b a |f(t)|dt.

D´emonstration: On remarque que sur [a,b] la fonction|f(t)| -f(t) est positive ainsi que la fonction

|f(t)|+f(t). On obtient donc les in´egalit´es b a b a (|f(t)|+f(t))dt d"o`u b a b a b a |f(t)|dt d"o`u l"in´egalit´e annonc´ee.

Remarque: On remarquera l"analogie entre cette in´egalit´e et l"in´egalit´e triangulaire: mˆeme pour la "somme"

infinie qu"est l"int´egrale, la valeur absolue de la somme est plus petite que la somme des valeurs absolues.

J"ai aussi trait´e en amphi l"in´egalit´e de Schwarz; si je ne change pas d"avis d"ici demain, je parlerai aussi

de changement de variables et de sommes de Riemann.

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Int´egrales g´en´eralis´ees

1 - Extension d"une d´efinition

D´efinition: SoitIun intervalle dansR, etfune fonction deIversR. On dira quefestcontinue par morceauxsurIlorsque pour tousa < bdansI, la restriction def`a [a,b] est continue par morceaux.

Ainsi, lorsque l"intervalle n"est pas ferm´e born´e, il estpossible que les fonctions continues par morceaux

aient un nombre infini de discontinuit´es. L"arch´etype d"une telle fonction ´etant la fonction partie enti`ere ;

avec un peu d"effort il n"est pas inint´eressant de prendre letemps de trouver un exemple de fonction continue

par morceaux d´efinie sur ]0,1] qui aurait elle aussi une infinit´e de discontinuit´es (mais ce genre de bizarreries

ne joue aucun rˆole privil´egi´e dans ce qui suit, rassurons-nous tout de suite).

2 - Int´egrales g´en´eralis´ees - La d´efinition

Dans cette section et toute la suite,Id´esignera un intervalle (non vide) de la forme [m,b[ ou ]m,b[

(notation dans laquelle les lettresmetbpeuvent d´esigner des r´eels ou des extr´emit´esinfinies),qu"on supposera

ouvertdu cˆot´e deb. Bien ´evidemment, tout ce qu"on fait `a droite se transposede fa¸con ´evidente `a gauche,

ou lorsque les bornes de l"int´egrale ont ´et´e ´ecrites `a l"envers ; quelques remarques seront faites plus bas sur

ce qu"il faut comprendre quand l"intervalle est ouvert des deux cˆot´es.

Dans toute la suitead´esignera un point deI.

D´efinition: Soitfune fonction continue par morceaux d´efinie surI. On dit que l"int´egrale defconverge

en b lorsque l"int´egrale? x f(t)dtposs`ede une limite (finie) quandxtend versb(par valeurs inf´erieures).

Dans le cas contraire (c"est-`a-dire en cas de limite infinie, ou d"absence de limite), on parlera de divergence.

Un petit d´etail est `a r´egler pour ˆetre certain de la coh´erence de cette d´efinition: alors que la lettreane

figure pas dans la proposition"l"int´egrale defconverge", elle apparaˆıt dans l"autre cˆot´e de la d´efinition. Il

faut donc nous convaincre que la convergence, apparemment d´ependante du choix dea, n"en d´epend pas en

r´ealit´e. Mais ceci d´ecoule imm´ediatement de la relation de Chasles. Ouf nous n"avons pas ´ecrit un non-sens,

nous pouvons poursuivre.

D´efinition: L"int´egrale g´en´eralis´eede f entreaetbest ´egale, lorsqu"elle existe, `a la limite ´evoqu´ee `a la

d´efinition pr´ec´edente. On parle aussi d"int´egrale impropre. On la note alors? b a f(t)dt. Lorsqu"on veut

souligner son caract`ere g´en´eralis´e `a un lecteur possiblement distrait (notamment quandbest r´eel), on pourra

ˆetre plus soigneux et la noter occasionnellement? →b a f(t)dt. Lorsque l"int´egrale diverge parce qu"elle a une limite infinie, on osera parfois ´ecrire des identit´es comme "? →b a f(t)dt= +∞" (en restant prudent! On a si

vite fait d"´ecrire dans un moment de distraction une expression inutilisable de la forme +∞ - ∞).

Comme promis une observation sur ce qu"il faut comprendre lorsque l"intervalleIest ouvert aux deux

extr´emit´es. Pour fixer les id´ees, pr´ecisons ce que signifie l"´enonc´e (vrai)"L"int´egrale?

te-t2dtconverge". Par convention, il voudra dire quechacunedes deux int´egrales g´en´eralis´ees? te-t2dtet? te-t2dt

converge. (Pour prouver cette convergence, ce serait donc gaffer que d"examiner seulement des expressions

sym´etriques comme? x -xte-t2dt).

3 - Un cas stupide: l"int´egrale faussement impropre

Cette section, assez anecdotique, ne concerne que le cas d"une bornebfinie.

Int´egrales g´en´eralis´ees

8

Examinons le cas particulier o`ufse laisse ´etendre en une fonction continue par morceaux `a l"intervalle

I? {b}, c"est-`a-dire le cas o`u elle admet une limite enb(et, petite technicit´e sur laquelle je glisse car elle

est li´ee aux insuffisances de la th´eorie de l"int´egration que j"ai choisi d"utiliser et donc peu profonde, o`u le

nombre de discontinuit´es dans [a,b[ est n´eanmoins fini). On dispose alors en principe de deux concepts qu"on note tousdeux de la mˆeme fa¸con? b a f(t)dt:

l"un d´esigne l"int´egrale (ordinaire) de la fonctionfvue comme fonction d´efinie sur [a,b], l"autre d´esigne

l"int´egrale (g´en´eralis´ee) de la foncionfvue comme fonction d´efinie sur [a,b[. Il serait fort gˆenant que ces

deux d´efinitions repr´esentent des r´eels distincts. Rassurons-nous imm´ediatement, ce n"est pas le cas. Cela

est dˆu `a la continuit´e des primitives par morceaux : si on noteF:[a,b]→Rune primitive par morceaux

defsur [a,b[, les d´efinitions respectives de l"int´egrale ordinaire et de l"int´egrale g´en´eralis´ee se d´eveloppent

enF(b)-F(a) pour la premi`ere, et en limx→b-F(x)-F(a) pour la seconde. La continuit´e deFau pointb

garantit l"´egalit´e de ces deux r´eels.

On parle occasionnellement d"int´egralefaussement improprepour d´esigner ce ph´enom`ene sans grand

int´erˆet; contentons nous ici de souligner qu"on vient de montrer que, si ¸ca nous arrange, on peut parfois pro-

longerf`a un intervalle plus gros avant de l"int´egrer pour ´eviterd"invoquer le concept d"int´egrale g´en´eralis´ee,

sans que cela ne soit source d"erreurs.

4 - La m´ethode du sandwiche

Sur le r´esultat suivant, pas bien difficile `a prouver, repose toute la th´eorie: l"int´egrale defaussi. D´emonstration: Transformons pr´ealablement l"encadrement en le r´e´ecrivant:

L"hypoth`ese de convergence des int´egrales deg1etg2assure la convergence de l"int´egrale deg2-g1.

Soitx?[a,b[. De l"in´egalit´e entre fonctions r´esulte l"in´egalit´e entre int´egrales:

x a x a (g2(t)-g1(t))dt.

Pensons les deux int´egrales qui interviennent dans la formule ci-dessus comme des fonctions dexvariable.

Comme les fonctions int´egr´ees sont positives, ces deux fonctions sont croissantes. De plus celle de droite

admet par hypoth`ese une limite quandx→b-, donc est major´ee. Celle de gauche est donc aussi une

fonction croissante major´ee.`A ce titre, elle admet n´ecessairement une limite pourx→b-. C"est donc que

l"int´egrale def-g1converge; l"int´egrale defconverge donc aussi.•

Remarquons que ¸ca ressemble au tr`es facile "th´eor`eme des gendarmes" en premi`ere lecture, mais que

c"est en r´ealit´e plus subtil. Si on ne pense pas `a soustraire pr´ealablementfet qu"on se contente d"int´egrer

pr´ealablement entreaetxles trois fonctions, on se retrouve avec un encadrement x a g x a x a g

2(t)dt

devant lequel on reste perplexe : la quantit´e que nous voulions ´etudier a bien ´et´e contrˆol´ee, et demeure

bloqu´ee entre deux gendarmes... Mais comme ces deux gendarmes ne vont pas au mˆeme endroit, on ne

peut rien conclure. Dans le mˆeme esprit, notons que tandis que le "th´eor`eme des gendarmes" montre une

convergence et calcule simultan´ement la limite, notre "principe du sandwiche" ne donne aucune information

sur la valeur limite, et ne permet en rien de calculer l"int´egrale defentreaetb.

On mettra en parall`ele la tr`es facile

b a g(t)dt= +∞. Alors l"int´egrale defenbdiverge elle aussi (et vaut elle aussi +∞).

Cours - Pierre Lavaurs - Licence maths/infos - Unit´e d"enseignement Maths II-1 (analyse) - Universit´e Lyon 1 - Ann´ee 2005-2006 9

D´emonstration: Ce coup-ci c"est tout facile : il suffit d"appliquer la version `a l"infini des gendarmes `a

l"in´egalit´e entre les int´egrales degetfentreaetx.•

5 - Premi`ere application du sandwiche : fonction born´ee enune borne finie

Le r´esultat suivant est une cons´equence imm´ediate de la m´ethode pr´ec´edente, qui m´erite peut-ˆetre d"ˆetre

soulign´ee. Proposition: On suppose ici quebest un r´eel (donc n"estpasinfini).

Soitfune fonction continue par morceaux et born´ee surI. Alors l"int´egrale defest convergente enb.

D´emonstration: Puisquefest born´ee, on peut l"encadrer sur [a,b[ entre deux constantes, soit ´ecrire une

convergentes enb(par exemple parce qu"elles sont faussement impropropres)pour conclure.•

6 - Deuxi`eme application du sandwiche: la convergence absolue

D´efinition: Soitfcontinue par morceaux surI. On dit que l"int´egrale defconverge absolumentenb

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