CONTINUITÉ PAR MORCEAUX
continue sur le segment [ ai−1 ai ] . Dans le cas particulier où les fonctions gi sont constantes
Chapitre2 : Intégrale sur un segment dune fonction continue par
On montre comme pour les fonctions en escalier que toute combinaison linéaire ou produit de fonctions continues par morceaux sur [a
I : Fonctions continues par morceaux. ( )
x. E x . Remarque : Une fonction continue par morceaux sur un segment n'admet qu'un nombre fini de points de discontinuité. Une fonction continue
Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. - Sur un intervalle non compact I : C. →. If: est continue par morceaux lorsque la restriction
Notes de cours
Définition (Fonctions continues par morceaux) – Soit f : [a b] → C un fonction. On dit que f est continue par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an =
Intégration des fonctions continues par morceaux Vous savez
Corollaire : Deux primitives par morceaux d'une même fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné diff`erent d'une constante. Démonstration
Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Révisions Si f est continue par morceaux et positive sur [ab]
Sommaire 1. Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a
Intégrale d'une fonction continue par morceaux. Théorème : (de Darboux). Toute Ces théorèmes sont aussi applicables si les fonctions sont continues par ...
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Les fonctions
Re(f )
λf + µg et f g sont elles aussi en escalier sur [a
Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def : Soit n $ Ν
Def : Une fonction f ' I # R est continue par morceaux ssi ses restrictions à tout segment (inclus dans I) sont continues par morceaux. Exemples : Les fonctions
CONTINUITÉ PAR MORCEAUX
intégrales de fonctions continues. Une fonction f est continue par morceaux sur un segment [ a b ] si et seulement si il existe une subdivision a0 =a < a1
I Fonctions continues et de classe C1 par morceaux
On dit que la fonction f est continue par morceaux sur [a b] s'il existe une subdivision a = a0 < a1 < ··· < an?1 < an = b telle que pour tout i ? {0
Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. - Sur un intervalle non compact I : C. ?. If: est continue par morceaux lorsque la
INTEGRATION 1 Fonctions continues par morceaux
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée Soit Cm(I) l'ensemble des fonctions continues par morceaux de I dans K.
Intégration des fonctions continues par morceaux Vous savez
Intégration des fonctions continues par morceaux. Vous savez calculer l'intégrale de plus d'une fonction continue (enfin je l'esp`ere).
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Les fonctions
Re(f )
?f + µg et f g sont elles aussi en escalier sur [a
Notes de cours
Définition (Fonctions continues par morceaux) – Soit f : [a b] ? C un fonction. On dit que f est continue par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an =
Chapitre2 : Intégrale sur un segment dune fonction continue par
segment d'une fonction continue par morceaux. Toutes les fonctions considérées sont à valeurs réelles. a et b désignent deux réels avec a ? b.
Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Si f et g sont continues par morceaux (`a valeurs dans R) et si f ? g sur [ab]
Sommaire 1. Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a
1.1. Intégrale d'une fonction continue par morceaux. Théorème : (de Darboux). Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classe C 1
[PDF] Intégration des fonctions continues par morceaux - Université Lyon 1
Vous savez calculer l'intégrale de plus d'une fonction continue (enfin je l'esp`ere) L'objectif de ce chapitre est de montrer que l'intégrale existe même
[PDF] Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Révisions Katia Barré Si f est continue par morceaux et positive sur [ab] alors ? b
[PDF] I : Fonctions continues par morceaux ( )
Rappel : Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Définition 1 (sur un segment) Soient (ab) ? 2 tel que a < b et f ?
[PDF] CONTINUITÉ PAR MORCEAUX
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle Remarques : ? cela ne
[PDF] Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un
Proposition : Une fonction continue par morceaux sur un segment a un nombre fini de discontinuités qui sont de première espèce (il y a une limite finie à droite
[PDF] Intégrale sur un segment dune fonction continue par morceaux
segment d'une fonction continue par morceaux Toutes les fonctions considérées sont à valeurs réelles a et b désignent deux réels avec a ? b
[PDF] LINTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX
20 oct 2002 · Une fonction f définie sur un segment [a b] est dite continue par morceaux sur [a b] s'il existe une subdivision ? = (t0t1 tn) de [a b]
[PDF] I - Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment
Définition 1 Une fonction f : [a b] ? R est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision ? = (x0 xn) de [a b] telle que pour tout k ? [0n
[PDF] Sommaire 1 Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a
1 1 Intégrale d'une fonction continue par morceaux Théorème : (de Darboux) Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classe C 1
[PDF] Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def
Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def : Soit n $ ?! On dit que ? ( !x#x$ x " est une subdivision de )a b* ssi a ( x# < x$ <
Comment montrer qu'une fonction est continue par morceaux ?
Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ? cela ne change rien si l'intervalle est un segment. ? la fonction peut avoir une infinité de discontinuités, mais pas sur un segment.Comment montrer qu'une fonction est de classe C1 par morceaux ?
On dit que f est C1 par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an = b tels que ?i ? {0, ··· ,n ? 1} f est C1 sur ]ai,ai+1[ et f et f poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite en ai et ai+1.- En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
Notes de cours
S´eries de Fourier
PC, Lyc´ee Dupuy de Lˆome
1 Coefficients de Fourier
1.1 Fonctions2πp´eriodique continues par morceaux
D´efinition (Fonctions p´eriodiques)Soitf:R→Cune fonction. On dit quefest 2π-p´eriodique
si : ?x?R, f(x+ 2π) =f(x)RemarqueEtant donn´e une fonctiongd´efinie sur [0,2π[, il existe une unique fonctionfd´efinie sur
R, 2πp´eriodique, telle que
?x?[0,2π[, f(x) =g(x)Ainsi pour d´efinir une fonction 2πp´eriodique surR, il suffit de la d´efinir sur [0,2π[
RemarqueSigest continue sur [0,2π[, alorsfest continue surRsi et seulement si g(0) = limx→2π-g(x) D´efinition (Fonctions continues par morceaux)- Soitf: [a,b]→Cun fonction. On dit quef est continue par morceaux si : il existea=a0< a1<···< an=btels que?i? {0,···,n-1} fest continue sur ]ai,ai+1[ et poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite enaietai+1. - Soitf:R→Cun fonction. On dit quefest continue par morceaux si pour tout segment [a,b], la restriction def`a [a,b] l"est. RemarqueSoitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique. - Pour prouver quefest continue par morceaux surR, il suffit de prouver quefest continue par morceaux sur [-π,π] (ou [0,2π]). - Pour int´egrerfsur un intervalle de longueur 2π: a+2π a f(t)dt=? 2π 0 f(t)dt D´efinition (FonctionsC1par morceaux)- Soitf: [a,b]→Cun fonction. On dit quefestC1 par morceaux si : il existea=a0< a1<···< an=btels que?i? {0,···,n-1}festC1sur ]ai,ai+1[ etfetf?poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite enaietai+1. - Soitf:R→Cun fonction. On dit quefest continue par morceaux si pour tout segment [a,b], la restriction def`a [a,b] l"est.1.2 Coefficients de Fourier
D´efinition (coefficients de Fourier exponentiels)Soitf:R→Cun fonction 2πp´eriodique, continue par morceaux. On appelle coefficients de Fourier (exponentiels) defles nombres : ?n?Z, cn(f) =12π? -πf(t)e-intdt Remarquet→f(t)e-intest continue par morceaux 2πp´eriodique, donc : ?n?Z, cn(f) =12π? 2π 0 f(t)e-intdt 1D´efinition (coefficients de Fourier trigonom´etriques)Soitf:R→Cun fonction 2πp´eriodique,
continue par morceaux. On appelle coefficients de Fourier (trigonom´etriques) defles nombres : ?n?N, an(f) =1π -πf(t)cos(nt)dt , bn(f) =1π -πf(t)sin(nt)dtPropositionPour toutn?N:
c n(f) =12 (an(f)-ibn(f)) a n(f) =cn(f) +c-n(f), bn(f) =i(cn(f)-c-n(f))Preuve :.....
1.3 Propri´et´es
PropositionSoitf:R→Cun fonction 2πp´eriodique, continue par morceaux. Pour toutn?Z, c n(g) =¯c-n(f) o`ug=¯f -cn(g) =c-n(f) o`ugest d´efinie parg(t) =f(-t) -cn(ga) =einacn(f) o`ugaest d´efinie parga(t) =f(t+a).Preuve...
RemarqueMieux vaut savoir refaire ces preuves que d"apprendre des formules. PropositionSoitf:R→Cun fonction 2πp´eriodique, continue par morceaux. - Sifest paire, alors pour toutn?N, a n(f) =2π 0 f(t)cos(nt)dt , bn(f) = 0 - Sifest impaire, alors pour toutn?N, a n(f) = 0, bn(f) =2π 0 f(t)sin(nt)dtRemarqueOn utilisera donc les coefficients de Fourier trigonom´etrique lorsque la fonction poss`ede
une propri´et´e de parit´e. ExempleSifestπp´eriodique, que peut-on dire decn(f)? RemarqueSoitn?Z, l"applicationf→cn(f) est lin´eaire. Proposition (Majoration des coefficients de Fourier)Soitf:R→Cun fonction 2πp´eriodique, continue par morceaux. Pour toutn?Z,1.4 Coefficients de Fourier et d´erivation
PropositionSoitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique continue,C1par morceaux. ?n?Z, cn(f?) =incn(f)PreuvePourfC1, faire une IPP
CorollaireSoitf:R→Cune fonction 2πp´eriodiqueCk-1,Ckpar morceaux. ?n?Z, cn(f(k)) = (in)kcn(f) Proposition (Lemme de Riemann-Lebesgue)Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique conti- nue par morceaux, limn→+∞cn(f) = 0 PreuvePourfC1avec la formule pr´ec´edente, puis par approximation. 21.5 M´ethodes de calcul
Exemple (calcul direct, par parties)Coefficients de Fourier de la fonction 2πp´eriodiqueftelle que : ?x?[0,2π[, f(x) =π-x Exemple (calcul direct)Coefficients de Fourier de la fonctionfd´efinie par f(x) =max(sin(x),0) Exemple (calcul par d´eveloppement en s´erie enti`ere)Soita?Ctel que|a| ?= 1. Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionfd´efinie par f(x) =1a-eix Exemple (par r´ecurrence)Coefficients de Fourier de la fonctionfd´efinie par : f(x) =11 + cos 2(x)2 S´eries de Fourier
2.1 D´efinition
D´efinitionSoitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique continue par morceaux. On appelle somme de
partielle de la s´erie de Fourier def: ?p?N, Sp(f)(x) =p? k=-pc k(f)eikx On appelle s´erie de Fourier defla s´erie de fonctionsS(f)(x) =+∞?
k=-∞c k(f)eikx= limp→+∞Sp(f)(x)RemarqueLa s´erie de Fourier defpeut ˆetre exprim´ee avec les coefficients trigonom´etriques :
S p(f)(x) =a0(f)2 +p? k=1(ak(f)cos(kx) +bk(f)sin(kx))S(f)(x) =a0(f)2
k=1(ak(f)cos(kx) +bk(f)sin(kx))Preuve....
2.2 Convergence pour?.?2
RemarqueL"espace vectoriel des fonctions continues 2πp´eriodiques deRdansCpeut ˆetre muni du
produit scalaire : < f,g >=12π? -π¯f(t)g(t)dtLa norme associ´ee :
?f?2=?12π?
-π|f(t)|2dt RemarquePour ce produit scalaire, la famille (en)n?Zest orthonorm´ee : e n(t) =eint 3RemarquePour toutn?Z,
c n(f) =< en,f > Th´eor`eme (convergence en moyenne quadratique)Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique continue par morceaux. La suite (Sp(f))p≥0converge versfpour?.?2. PreuveCas o`ufest continue, distance ....+approximation . Th´eor`eme (Formule de Parseval)Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique continue par mor- ceaux. On a :+∞? n=-∞|cn(f)|2=12π? -π|f(t)|2dtPreuveCas o`ufest continue,
RemarqueOn peut r´e´ecrire cette formule avec les coefficients trigonom´etriques : |a0(f)|24 +12 n=1(|an(f)|2+|bn(f)|2) =12π? -π|f(t)|2dtRemarqueOn retrouve que (cn(f))n?Ztend vers 0.
Application 1 (calcul de s´erie)A l"aide de la fonction la fonction 2πp´eriodiqueftelle que :
?x?[0,2π[, f(x) =π-xCalculer
n=11n 2 Application 2 (in´egalit´e)Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodiqueC1telle que : 2π 0 f(t)dt= 0 Montrer l"in´egalit´e suivante et prouver qu"elle est optimale : 2π 0 2π 0 (f?(t))2dt PropositionSoitf,g:R→Cune fonction 2πp´eriodique continuestelles que pour toutn?Z c n(f) =cn(g), alorsf=g ExempleSoitf:R→Ccontinue telle quecn(f) = 0 pournimpair. Montrer quefestπp´eriodique.2.3 Convergence normale
Th´eor`eme (Dirichlet, version convergence normale)] Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique
continue,C1par morceaux. Alors : -?x?R, f(x) =+∞? k=-∞c k(f)eikx - Cette s´erie converge normalement surR (a2+b2). Pour l"´egalit´e,fetS(f) sont continues et ont mˆeme coefficients de Fourier. Application 1 (calcul de s´eries)Soitfla fonction d´efinie par : f(x) =|cos(x)|En utilisantf, calculer :
n=114n2-1, sum+∞n=1(-1)n4n2-1 4Application 2 (d´eveloppement en s´erie de Fourier)D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction
f f(x) =ecos(x)cos(sin(x))Application 3 (r´esolution d"´equation)Trouver toutes les fonctionsf:R→C2πp´eriodique et
C2telles que :
?t?R,y??(t) +eity(t) = 02.4 Convergence simple
NotationSoitf:R→Cune fonction continue par morceaux. Soitx?R. On note; f(x+) = limt→x+f(t), f(x-) = limt→x-f(t) RemarqueVu la d´efinition d"une fonction continue par morceaux, cela existe toujours. Th´eor`eme (Dirichlet, version convergence simple)Soitf:R→Cune fonction 2πp´eriodique C1par morceaux. Alors :
-?x?R, k=-∞c k(f)eikx=12 (f(x+) +f(x-)) - Cette s´erie converge simplement surR. RemarqueSifest continue enx, on retrouveS(f)(x) =f(x) ExempleSoitα?]0,π[. On notefla fonction 2πp´eriodique d´efinie sur ]-π,π] par0 sinon
En utilisantf, calculer :
n=1sin(2nα)n n=1sin(nα)n n=1sin2(nα)n
22.5 Autres p´eriodes
RemarqueSoitg:R→Cune fonctionT-p´eriodique continue par morceaux. La fonctionfd´efinie par f(x) =g(Tx2π) est continue par morceaux, 2πp´eriodique. D´efinitionSoitgune fonctionT-p´eriodique continue par morceaux, on d´efinit : ?n?Z, cn(g) =1T T2 T2 g(t)e-2iπntT dt ?x?R, S(g)(x) =+∞? k=-∞c k(g)e2iπkxT RemarqueMieux vaut avoir compris le changement de variable que d"apprendre ces formules.ExempleSoitg: [0,1]→Rcontinue telle que
?n≥0,? 1 0 g(t)cos(nπt)dt= 0Montrer queg= 0.
5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] recette dessert pdf gratuit
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