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CONTINUITÉ PAR MORCEAUX

continue sur le segment [ ai−1 ai ] . Dans le cas particulier où les fonctions gi sont constantes



Chapitre2 : Intégrale sur un segment dune fonction continue par

On montre comme pour les fonctions en escalier que toute combinaison linéaire ou produit de fonctions continues par morceaux sur [a



I : Fonctions continues par morceaux. ( )

x. E x . Remarque : Une fonction continue par morceaux sur un segment n'admet qu'un nombre fini de points de discontinuité. Une fonction continue 



Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un

Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. - Sur un intervalle non compact I : C. →. If: est continue par morceaux lorsque la restriction 



Notes de cours

Définition (Fonctions continues par morceaux) – Soit f : [a b] → C un fonction. On dit que f est continue par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an = 



Intégration des fonctions continues par morceaux Vous savez

Corollaire : Deux primitives par morceaux d'une même fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné diff`erent d'une constante. Démonstration 



Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Révisions Si f est continue par morceaux et positive sur [ab]



Sommaire 1. Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a

Intégrale d'une fonction continue par morceaux. Théorème : (de Darboux). Toute Ces théorèmes sont aussi applicables si les fonctions sont continues par ...





Re(f )

λf + µg et f g sont elles aussi en escalier sur [a



Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def : Soit n $ Ν

Def : Une fonction f ' I # R est continue par morceaux ssi ses restrictions à tout segment (inclus dans I) sont continues par morceaux. Exemples : Les fonctions 



CONTINUITÉ PAR MORCEAUX

intégrales de fonctions continues. Une fonction f est continue par morceaux sur un segment [ a b ] si et seulement si il existe une subdivision a0 =a < a1 



I Fonctions continues et de classe C1 par morceaux

On dit que la fonction f est continue par morceaux sur [a b] s'il existe une subdivision a = a0 < a1 < ··· < an?1 < an = b telle que pour tout i ? {0



Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un

Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. - Sur un intervalle non compact I : C. ?. If: est continue par morceaux lorsque la 



INTEGRATION 1 Fonctions continues par morceaux

Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée Soit Cm(I) l'ensemble des fonctions continues par morceaux de I dans K.



Intégration des fonctions continues par morceaux Vous savez

Intégration des fonctions continues par morceaux. Vous savez calculer l'intégrale de plus d'une fonction continue (enfin je l'esp`ere).





Re(f )

?f + µg et f g sont elles aussi en escalier sur [a



Notes de cours

Définition (Fonctions continues par morceaux) – Soit f : [a b] ? C un fonction. On dit que f est continue par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an = 



Chapitre2 : Intégrale sur un segment dune fonction continue par

segment d'une fonction continue par morceaux. Toutes les fonctions considérées sont à valeurs réelles. a et b désignent deux réels avec a ? b.



Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Si f et g sont continues par morceaux (`a valeurs dans R) et si f ? g sur [ab]



Sommaire 1. Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a

1.1. Intégrale d'une fonction continue par morceaux. Théorème : (de Darboux). Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classe C 1 



[PDF] Intégration des fonctions continues par morceaux - Université Lyon 1

Vous savez calculer l'intégrale de plus d'une fonction continue (enfin je l'esp`ere) L'objectif de ce chapitre est de montrer que l'intégrale existe même 



[PDF] Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Révisions Katia Barré Si f est continue par morceaux et positive sur [ab] alors ? b



[PDF] I : Fonctions continues par morceaux ( )

Rappel : Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes Définition 1 (sur un segment) Soient (ab) ? 2 tel que a < b et f ?



[PDF] CONTINUITÉ PAR MORCEAUX

Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle Remarques : ? cela ne 



[PDF] Chapitre 16 : Intégration de fonctions continues par morceaux sur un

Proposition : Une fonction continue par morceaux sur un segment a un nombre fini de discontinuités qui sont de première espèce (il y a une limite finie à droite 



[PDF] Intégrale sur un segment dune fonction continue par morceaux

segment d'une fonction continue par morceaux Toutes les fonctions considérées sont à valeurs réelles a et b désignent deux réels avec a ? b



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20 oct 2002 · Une fonction f définie sur un segment [a b] est dite continue par morceaux sur [a b] s'il existe une subdivision ? = (t0t1 tn) de [a b] 



[PDF] I - Intégrale dune fonction continue par morceaux sur un segment

Définition 1 Une fonction f : [a b] ? R est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision ? = (x0 xn) de [a b] telle que pour tout k ? [0n 



[PDF] Sommaire 1 Intégration dune fonction continue par morceaux sur [a

1 1 Intégrale d'une fonction continue par morceaux Théorème : (de Darboux) Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classe C 1 



[PDF] Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def

Fonctions continues par morceaux 1) Définitions Def : Soit n $ ?! On dit que ? ( !x#x$ x " est une subdivision de )a b* ssi a ( x# < x$ <

  • Comment montrer qu'une fonction est continue par morceaux ?

    Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle quelconque si et seulement si elle l'est sur tout segment de cet intervalle. Remarques : ? cela ne change rien si l'intervalle est un segment. ? la fonction peut avoir une infinité de discontinuités, mais pas sur un segment.

  • Comment montrer qu'une fonction est de classe C1 par morceaux ?

    On dit que f est C1 par morceaux si : il existe a = a0 < a1 < ··· < an = b tels que ?i ? {0, ··· ,n ? 1} f est C1 sur ]ai,ai+1[ et f et f poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite en ai et ai+1.
  • En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
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L"int´egrale 20 octobre 2002L"INT´

EGRALE DES FONCTIONS

CONTINUES PAR MORCEAUX SUR UN

INTERVALLEPC*2

20 octobre 2002Introduction et conventionsDans tout ce cours, la lettreId´esigne un intervalle quelconque non r´eduit

`a un point et la lettreJun segment. Les fonctions consid´er´ees sont `a valeurs dansK=RouC.Page 1/44JP BaraniL"int´egrale 20 octobre 2002Page 2/44JP Barani Table des mati`eres1 L"int´egrale des fonctions continues par morceaux sur un seg- ment5

1.1 Fonctions de classeCnpar morceaux sur un segment. . . . . 5

1.2 R´evision du cours de premi`ere ann´ee sur l"int´egrale des fonc-

tions continues par morceaux sur un segment. . . . . . . . . . 8

1.3 L"int´egrale fonction d"une borne. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Continuit´e par morceaux sur un intervalle quelconque. 12

1.3.2 L"int´egrale comme fonction d"une borne. . . . . . . . . 14

1.4 Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 La formule fondamentale du calcul diff´erentiel et int´egral et

ses applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Le changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Int´egration sur un intervalle quelconque19

2.1 Suites exhaustives de segments. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Int´egration des fonctions positives. . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 D´efinition et caract´erisation. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3´Etude pratique de l"int´egrabilit´e d"une fonction positive27

Int´egrabilit´e des puissances. . . . . . . . . . . . . . . . 27 Plan de l"´etude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Int´egration des fonctions de signe quelconque et `a valeurs com-

plexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2 Exemples d"int´egrabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3 Exemples de calcul d"int´egrales. . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Compl´ements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Utilisation d"une s´erie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3L"int´egrale 20 octobre 20022.4.2 Int´egration des relations de comparaison. . . . . . . . 41Page 4/44JP Barani

Chapitre 1

L"int´egrale des fonctions

continues par morceaux sur un segment1.1 Fonctions de classeCnpar morceaux sur un segmentOn est pri´e de consulter le cours"D´eriv´ees des fonctions d"une variable r´eelle `a valeurs r´eelles, complexes ou vectorielles"dont on reprend quelques grandes lignes. D´efinition 1 (Continuit´e par morceaux sur un segment).Une fonction f, d´efinie sur un segment [a,b], est ditecontinue par morceaux sur[a,b] s"il existe une subdivisionσ= (t0,t1,...,tn) de [a,b] telle que : pour chaque i? {1,2,...,n}existe une applicationfi, d´efinie et continue surle segment [ti-1,ti] et v´erifiant: fi|]ti-1,ti[=f|]ti-1,ti[ie?t?]ti-1,ti[, fi(t) =f(t)

Une telle subdivisionσest diteadapt´ee `af.

Remarque1.On verra que la valeur defaux pointstin"importe pas contrairement aux limites lat´erales defaux pointstiqu"on note: f(ti+ 0) = limt→t+ if(t) =fi+1(ti) pouri 5L"int´egrale 20 octobre 2002f(ti-0) = limt→t- if(t) =fi(ti) pouri >0

En tout autre point de [a,b],fest continue.

D´efinition 2 (ClasseCnpar morceaux).Mˆeme d´efinition en imposant auxfid"ˆetre de classeCn. D´efinition 3 (D´eriv´ee g´en´eralis´ee d"une fonctionC1par morceaux). Soitfune fonction de classeC1par morceaux sur l"intervalle [a,b].σ= (ti)0≤i≤nune subdivision adapt´ee `afet lesficomme ci-dessus. La fonction fest d´erivable en tout pointt?[a,b]diff´erent destiet la fonctionf?, d´efinie sur [a,b]- {t0,t1,...,tn}, se prolonge en une fonction continue par morceaux sur [a,b] en lui affectant des valeurs arbitraires aux pointsti. On appelera doncd´eriv´ee g´en´eralis´ee de la fonctionfde classeC1par morceaux sur[a,b] toute applicationgcontinue par morceaux sur [a,b] telle qu"existe une subdivisionσ= (ti)0≤i≤n, adapt´ee `afv´erifiant: ?t?[a,b]- {t0,t1,...,tn}, g(t) =f?(t) bien qu"elle ne soit pas unique une telle application sera not´eeDf. Il importe de remarquer quelle co¨ıncide avecf?sauf sur un sous ensemble fini de[a,b]o`u elle peut prendre des valeurs parfaitement arbitraires. On d´efinit de fa¸con analogue Dnfpourfde classeCnpar morceaux sur [a,b]. Exemple1(Comprendre le caract`ereCnpar morceaux).Consid´erons la fonc- tionfd´efinie sur [-1,1] par : f(x) =|x| Elle est continue sur [-1,1]; montrons qu"elle est aussi de classeC1par morceaux sur cet intervalle : la subdivisionσ= (-1,0,1) est adapt´ee `afcar les applications : f1: [-1,0]→Rx?→ -x f2: [0,1]→Rx?→x sont de classeC1respectivement sur les segments [-1,0] et [0,1] et que : ?x?]-1,0[, f(x) =f1(x) ?x?]0,1[, f(x) =f2(x)

Page 6/44JP Barani

L"int´egrale 20 octobre 2002On peut alors, par exemple, d´efinir Dfpar :

Df(x) =?

?10000 six=-1 -1 si-1< x <0

πsix= 0

1 si 0< x <1

-104 six= 1 Il vient alors quefest d´erivable en tout point de ]-1,0[?]0,1[= [-1,1]- {-1,0,1}et qu"en un tel pointx:f?(x) = Df(x). En les points-1, 0,

1, la valeur de Df(x) est parfaitement arbitraire. Bien sˆur, on prouve sans

changement quefestC∞par morceaux sur [-1,1] puisquef1etf2sont de classeC∞. On rappelle enfin le r´esultat suivant qui est tr`es utile pour r´ediger rapidement la preuve du caract`ereCnpar morceaux : Proposition 1 (Le prouver rapidement).Soitf: [a,c]→Keta < b < c.fest de classeCnpar morceaux sur[a,c]si et seulement si ses restrictions aux intervalles[a,b]et[b,c]le sont. Au surplus, si]α,β[est un sous intervalle ouvert de[a,b]sur lequel la restriction defest de classeCn(n≥1) alors on peut imposer: ?x?]α,β[,?j?[|1,n|],Djf(x) =f(j)(x) Exemple2(Retour sur l"exemple pr´ec´edent).Reprenonsx?→ |x|sur [-1,1] : f|[-1,0]est l"applicationx?→ -xqui est de classeC∞sur [-1,0] f|[0,1]est l"applicationx?→xqui est de classeC∞sur [0,1] Donc, d"apr`es la proposition pr´ec´edente,festC∞par morceaux sur [-1,1]. De plusf|]-1,0[etf|]0,1[sont de classeC∞respectivement sur ]-1,0[ et ]0,1[ donc on peut imposer :

Df(x) =?

-1 pourx?]-1,0[

1 pourx?]-1,0[

et des valeurs arbitraires en les autres points de [-1,1].Page 7/44JP BaraniL"int´egrale 20 octobre 20021.2 R´evision du cours de premi`ere ann´ee sur

l"int´egrale des fonctions continues par mor-

ceaux sur un segmentElle a ´et´e vue en premi`ere ann´ee. On se contentera ici d"un r´esum´e suc-

cint et d"un rappel des propri´et´es les plus importantes. On suppose connue l"int´egrale des applications en escalier sur [a,b] `a valeurs complexes et ses propri´et´es. On noteraE([a,b],K) leK-espace vectoriel des applications en escalier de [a,b] dansK; s"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e on le notera simplement E. D´efinition 4.Soitfune application continue par morceaux sur le segment [a,b] `a valeurs r´eelles. Si? >0 il existe deux applicationsφetψen escalier sur [a,b] telles que:

Il vient alors:

supφ?E

φ≤f?b

aφ(x)dx= infψ?E

ψ≥f?b

aψ(x)dx

Cette borne commune est alors not´ee

?b af(x)dx. Soitfune application continue par morceaux sur [a,b] `a valeurs complexes. Les applicationsg= Refeth= Imfsont continue par morceaux sur [a,b] `a valeurs r´eelles ce qui autorise `a poser: ?b af(x)dx=?b ag(x)dx+ i?b ah(x)dx On v´erifie la coh´erence de la notation et l"on dispose du th´eor`eme suivant, non vu en premi`ere ann´ee, mais qui permet d"obtenir tr`es rapidement les pro- pri´et´es de l"int´egrale des applications continues par morceaux sur un segment `a valeurs complexes `a partir des propri´et´es correspondantes des applications en escalier. Th´eor`eme 1.Soitfune des application continue par morceaux d"un seg- ment[a,b]dansCalors :Page 8/44JP Barani

L"int´egrale 20 octobre 2002a)fest limite uniforme sur[a,b]d"une suite d"applications en escalier sur

[a,b]. b)Pour toute suite(fn)d"applications en escalier sur[a,b]qui converge uniform´ement versfsur[a,b]on a: limn→∞?b afn(x)dx=?b af(x)dx D´emonstration.On se limite au cas des fonctions `a valeurs r´eelles. Le cas complexe s"en d´eduit imm´ediatement par passage aux parties r´eelles et ima- ginaires. Preuve de a) :Soitfune fonction continue par morceaux sur [a,b] `a va- leurs r´eelles. Sin?N, il existe deux applicationsφnetψnappartenant `aE([a,b],R) telles que : φn≤f≤ψnet 0≤ψn-φn≤1 n+ 1 d"o`u il d´ecoule, en notant|| ||∞la norme de la convergence uniforme sur leR-espace vectoriel des applications born´ees de [a,b] dansR, que : ?x?[a,b],0≤f(x)-φn(x)≤1 n+ 1d"o`u||f-φn||∞≤1 n+ 1 Preuve de b) :Soit (fn) une suite d"´el´ements deE([a,b],R) qui converge uniform´ement versfsur [a,b]. Soit? >0.`A partir d"un certain rang n0on a : ||fn-f||∞