[PDF] 5 Les Équations de Navier-Stokes

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V(t) An S(t)

Figure 24: Le volume matérielV(t).

5 Les Équations de Navier-Stokes

5.1 Vecteur contrainte

Supposons qu"un ensemble de particules de fluide occupe un volumeV(t)ayant pour frontière ferméeS(t)avec comme vecteur normal unitairen, comme indiqué sur la figure 24. Nous avons vu dans §2 que pour un fluide idéal la force exercée sur un

élément de surface d"une superficie

δSdans le fluide est

±pn

δS.(182)

Maintenant on voudrait considérer un fluide plus générale qu"un fluide idéal. Dans cette optique considérons un petit élément de surfaceAayant vecteur positionxet de superficie δS. On définit le vecteur contraintesn(x,t)en imposant que la force exercée au tempstsur l"élémentApar le fluide à l"extérieur deV(t)estsn

δS.

La force totale sur toute la surfaceSest alors

S(t)sndS,(183)

et la force totale subie par le fluide qui occupeV(t)va être

S(t)sndS+?

V(t)

ρgdV,(184)

oùgdésigne une force par unité de masse. 42

5.1.1 Conservation de la quantité de mouvement (Euler 1752)La conservation de la quantité de mouvement (voir §2.1.3) donne

d dt?

V(t)ρvdV=?

S(t)sn(x,t)dS+?

V(t)ρgdV.(185)

En faisant passer la dérivée temporelle du membre de gauche de (185) dans l"intégrale par le théorème du transport de Reynolds, et en utilisant l"équation de conservation de la masse (23), on a V(t)

ρDv

DtdV=?

S(t)sn(x,t)dS+?

V(t)ρgdV.(186)

5.1.2 Conservation du moment

Une autre loi de la mécanique dûe à Euler (1755) stipule le principe de conservation du moment. En appliquant cette loi au volumeV(t)on obtient, en supposant que le couple est seulement dû à la contraintesnet à la force massiqueg, d dt?

V(t)(x×ρv)dV=?

S(t)(x×sn)dS+?

V(t)(x×ρg)dV.(187)

En utilisant à nouveau le théorème de transport de Reynolds qui nous permet de trans-

férer la derivée materielle à l"intérieur de l"intégrale du membre de gauche, et en util-

isant (23) on obtient V(t)? x×

ρDv

Dt? dV=?

S(t)(x×sn)dS+?

V(t)(x×ρg)dV.(188)

5.2 Le tenseur des contraintes (Cauchy 1822)

Les lois d"Euler appliquées à un fluide conduit aux équations (186) et (188). Nous allons tout d"abord utiliser les équations (186) et (188) pour démontrer l"existence d"un tenseur des contraintesσ(x,t)ayant la propriété suivante: s n(x,t) =σ·n, et ensuite la symétrie du tenseur des contraintes.

Théorème

SoitDune région fermée et bornée deR3etsn(x,t)le vecteur contrainte introduit ci-dessus et défini dansD. Alors il existe un tenseur de second ordreσ(x,t)tel que dansDon ait: i.sn=σ·n, 43
P eee 123
n

Figure 25: Le tétrahèdreTε.

ii.

ρDv

Dt=?·σ+ρg,

iii.σest symétrique.

Démonstration

(i) On fixe un point quelconquePdu fluide au tempst. Ensuite, on prend un repère fixe ayant pour originePet d"axes de coordonnées les vecteurs orthonormauxe1,e2 ete3, comme indiqué sur la Figure 25. Puis on écrit quen=nieiet on suppose que n

1n2n3?=0. On considère qu"une famille infinie de tétrahèdres{T

ε}ε>0est telle que

pour tout ε>0,Tεest une partie de IR3bornée par les trois plansPipassant parPet ayant vecteurs normaux-ei(i=1,2,3)et le plan dont l"équation vectorielle est x·n=

ε.(189)

Le plan décrit par l"équation (189) est simplement le plan distant

εdePdans la direc-

tion den. On numérote les faces du tétrahèdre ayant comme vecteur normal-eipar P i,(i=1,2,3)et la superficie de ces surfacesAi. Le plan défini par (189) est nommé P net a une superficieAn. Alors, il est facile de montrer que A 1= ε2

2n2n3,A2=

ε2

2n1n3,A3=

ε2

2n1n2etAn=

ε2

2n1n2n3,(190)

tel que A i=niAn,(i=1,2,3).(191) 44
On prend maintenantV(t) =Tεdans l"équation (186) pour obtenir T

ερDv

DtdV=3∑

k=1? P ks -ek(x,t)dS+? P ns n(x,t)dS+?

TερgdV,(192)

et soitcune constante positive choisie telle que pourE>0 fini et quel que soit 0<

ε ?ρDv

Dt-ρg?

?6n1n2n3

1

3cAnε.(194)

En divisant le tout parAnet en utilisant l"identité (191), on obtient ?3∑ k=1n k Ak? P ks -ek(x,t)dS+1An? P ns n(x,t)dS? ?<1

3cε.(195)

En faisant tendre

ε-→0

3∑

k=1n ks-ek(0,t) =sn(0,t).(196) En définissant le tenseur des contraintesσayant pour composante(i,k)-?s-ek? i, on voit qu"au pointP (sn)i=3∑ k=1

σiknk,(197)

comme requis. (ii) À partir de (186), en remplaçantsnparσ·n, on a V(t)

ρDv

DtdV=?

S(t)σ·ndS+?

V(t)ρgdV,(198)

et en utilisant le théorème de la divergence sur la première intégrale du membre de droite, on obtient V(t)?

ρDv

Dt-?·σ-ρg?

dV=0.(199) Cette égalité étant vraie pour tout volumeV, on a

ρDv

Dt=?·σ+ρg,(200)

45
comme requis et ayant supposé que la fonction à intégrer dans (199) était continue. (iii) On substituesn=σ·ndans lakième composante de (188) pour voir que V(t)

εkjixjρDvi

DtdV=?

S(t)εkjixjσilnldS+?

V(t)εkjixjρgidV,(201)

où?est un tenseur de permutation d"ordre 3 défini par

εijk=?

?0 si 2 ou plus des indicesi,j,ksont égaux,

1 sii,j,kest une permutation paire des nombres 1, 2, 3,

-1 sii,j,kest une permutation impaire des nombres 1, 2, 3,(202) En appliquant le théorème de la divergence au premier terme du membre de droite de l"équation (201), on a V(t)

εkji?

x jρDvi Dt- ∂xl(xjσil)-xjρgi? dV=0, V(t)

εkjixj?ρDvi

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