[PDF] PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES





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Chapitre 11 :Les équations de M axwell

On a deux grands groupes d'équations de Maxwell : - Les équations à la divergence qui ne couplent pas E ? et B ?. - Les équations au rotationnel



ÉQUATIONS

RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. SOLUTION : c'est le nombre caché sous l'inconnue : ?. 6250. =.



Chapitre 1 - Les équations de Maxwell

1.1.1 Champ électromagnétique. La force exercée par une distribution volumique de charge et de courants. [?(P t);j(P



Les équations de Maxwell

2 déc. 2009 2 Les équations de Maxwell en Physique classique. 2.1 Les grandeurs qui interviennent. 2.1.1 L'Espace et le Temps en physique classique.



Les équations différentielles linéaires —

8 nov. 2017 Il existe des fonctions non continues qui admettent des primitives. 2 Equations linéaires du premier ordre. 2.1 Introduction. Définition 2 : 1.



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8. Partie 1 : Primitive d'une fonction continue.



les-equations.pdf - Les équations

6 sept. 2021 Que vous cherchiez à comprendre votre cours et à réviser votre prochain contrôle ou que vous soyez juste là pour le plaisir de faire des maths ...



Équations Diérentielles du 1er Ordre

Généralités sur les équations diérentielles. EDL1D. Objectifs de la séance. 1. Comprendre ce qu'est une équation différentielle.



ÉQUATIONS INÉQUATIONS

ÉQUATIONS INÉQUATIONS. I. Notion d'équation. 1) Vocabulaire. INCONNUE : C'est une lettre qui désigne un nombre qu'on ne connaît pas. Exemple : .



5 Les Équations de Navier-Stokes

par le théorème du transport de Reynolds et en utilisant l'équation de Les lois d'Euler appliquées à un fluide conduit aux équations (186) et (188).

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PRIMITIVES ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/LIm3DN63bxQ Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Primitive d'une fonction

1) Définition et propriétés

Exemple :

On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1

Si on dérive , on constate que :

=2+3=

Lorsque

=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :

Remarque :

Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction

Vidéo A venir

Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2

Correction

a)

2

2

Donc est une primitive de .

b) =1× +1

Donc est une primitive de .

c) 1

×-ln()×1

2

1-ln()

2

Donc n'est pas une primitive de .

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Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une

constante.

Démonstration :

Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.

La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .

On nomme cette constante. Ainsi :

-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .

Démonstration :

est une primitive de .

On pose

()+0=

Donc est une primitive de .

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 et

Donc, la fonction définie par

2 2 +5 est également une primitive de .

En effet :

2

2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulière

Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI

Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3

Correction

1) ′

Donc '= et donc la fonction est une primitive de .

2) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit :

1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.

Donc :

1 1

Et donc :

1 +=0

Soit :

+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :

2

2) Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive

avec ∈ℕ 1 +1 1

Avec >0

ln() 2

3) Linéarité des primitives

Propriété :

Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.

Démonstrations :

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Méthode : Déterminer une primitive (1)

Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw

Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw

Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 3 sur

0;+∞

d) 2

Correction

a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×L- 1

M=

3 c) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est

0;+∞

, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. d) 2 =2× 1 =2×2 =4

4) Primitives de fonctions composées

est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Une primitive

2′

avec >0 ln()

Méthode : Déterminer une primitive (2)

Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)

2-5

-5+4) b) c) 2 3 +1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5

Correction

a)

2-5

-5+4 1 2 ×2

2-5

-5+4 du type 2′

En effet :

-5+4 → =2-5. Une primitive de 2′ est de la forme

Soit :

1 2 -5+4 b) 1 2

×2

du type ′

En effet :

=2.

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 2 c) 2 3 +1 1 3

3

2 3 +1 du type 5 5

En effet :

+1→ =3

Une primitive de

5 5 est de la forme ln().

Soit :

1 3 ln +1

Partie 2 : Équations différentielles

1) Définition d'une équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et

où interviennent des dérivées de cette fonction.

Exemples :

a) L'équation =5 est une équation différentielle.

L'inconnue est la fonction .

En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation peut se noter :

=5 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.

2) Équation différentielle du type '=

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .

La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si

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Propriété :

Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation

différentielle '=.

En effet, '=.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction définie sur

0;+∞

par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+

Correction

=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle =6+

3) Équations différentielles du type '=

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.

Démonstration :

• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.

Alors,

0# 0#

Donc

est donc solution de l'équation différentielle '=.

• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.

Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : '

Ainsi :

&0# &0# &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#

Et donc :

0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3 +5=0.

1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que

1 =2.

Correction

1) a) 3

+5=0

3

=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :

2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :

Donc

1

Or,

1 =2.

Donc :

=2 =2 2 =2

Et donc :

=2 =2 =2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 8quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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