[PDF] Thème 3: Fonctions affines équations du 1er degré

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FONCTIONS AFFINES, EQUATIONS DU 1

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Thème 3: Fonctions affines, équations du 1

er degré

3.1 Fonctions affines

Définition :

• On appelle fonction affine, toute fonction du type : x ----> m · x + h (où m et h sont des nombres réels)

Exemple :

La fonction x ----> 3x - 2 est une fonction affine.

Remarques :

• On remplacera volontiers le codage x ----> mx + h par : f(x)=mx+h ou encore y=mx+h • La représentation graphique d'une fonction affine est une droite comme nous allons l'observer sur l'exemple qui suit.

Modèle 1 :

Représenter graphiquement la fonction f définie par: f (x) = 3x - 2 tableau de valeurs x -3 -2 -1 0 1 2 3 1,5 f (x) représentation graphique d'une fonction affine : xy

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Propriétés :

f(x)=mx+h • On constate sur le graphique que

1°) la pente de la droite =

dénivellation (verticale) distance horizontale différence de hauteur différence de longueur y x

égale à m.

2°) la droite coupe l'axe des y à la "hauteur" h. On dit que h

est l'ordonnée à l'origine. • Nous pouvons maintenant représenter une fonction affine sans devoir effectuer un tableau de valeurs.

Modèle 2 :

représentation graphique d'une fonction affine : Représenter graphiquement la fonction f définie par: f (x) = -2x + 4 Exercice 3.1: Représenter graphiquement les fonctions f définies par : a) f (x) = -x + 3 b) f (x) = 2x + 1 c) f (x) = -2x - 4 d) f (x) = 3 Exercice 3.2: Représenter graphiquement une fonction affine de pente -3 et d'ordonnée à l'origine +4. xy

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1EC - JtJ 2023 • Une droite de pente positive " monte » :

L'inclinaison de la droite :

• Une droite de pente négative " descend » : • Une droite de pente nulle est horizontale :

Modèle 3 :

Représenter graphiquement la fonction f définie par: f (x) = - 1 3 x+2 Exercice 3.3: Représenter graphiquement les fonctions f définies par: a) f (x) = - 1 2 x+2 b) f (x) = 5 3 x4 c) f (x) = - 3 4 x d) f (x) = 4 3 x+1

3.2 Résolution d'équations par voie graphique

Un peu d'histoire :

De même que les nombres, les équations appartiennent aux premiers résultats mathématiques obtenus par les hommes. On les trouve dans les plus anciens documents mathématiques écrits par exemple dans des textes babyloniens qui remontent à 3000 ans av. J.-C. En accord avec les traditions de la société babylonienne, les questions de partage d'héritage étaient du plus haut intérêt. Le fils aîné devant recevoir toujours la plus grande part, le second une part plus importante que le troisième, et ainsi de suite, le partage se traduisait alors en une équation à résoudre Nous allons nous concentrer dans un premier temps à la résolution d'équations en utilisant un graphique pour ensuite généraliser la démarche à l'aide d'une méthode algébrique. xy

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Modèle 4 :

résolution d'équations par voie graphique Résoudre graphiquement l'équation : 3x - 2 = -x + 2

Modèle 5 :

résolution d'équations par voie graphique

Résoudre graphiquement l'équation :

2 3 x+2=4 Exercice 3.4: Résoudre graphiquement les équations suivantes: a) 2x - 4 = -x + 2 b) 3x + 1 = -2 c) -4x + 2 = -4x - 1 d) 1 2 x+5 = - 1 4 x+2 e) 2 3 x8 = - 3 2 x+4 f) 9 4 x+5 = 2x + 1

Remarque :

Ces 2 derniers exemples montrent bien les limites de la méthode de résolution par voie graphique et justifient la méthode suivante. xy xy

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3.3 Résolution d'équations par voie algébrique

Propriétés :

Pour toute égalité ou ÉQUATION

1. Si on additionne une même

expression des 2 côtés d'une égalité alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a + c = b + c manipulation des

2 côtés d'une équation 2. Si on soustrait une même

expression des 2 côtés d'une égalité alors cette égalité reste vraie si a = b alors a - c = b - c

3. Si on multiplie des 2 côtés

d'une égalité par une même expression non nulle alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a · c = b · c

3. Si on divise des 2 côtés

d'une égalité par une même expression non nulle alors cette égalité reste vraie. si a = b alors a c =b c

Marche à suivre :

Résoudre une équation consistera à effectuer une ou plusieurs opérations choisies parmi les 4 proposées ci-dessus afin d'isole r progressivement l'inconnue (souvent x) en construisant une suite d'équations de plus en plus simples.

Modèle 6 :

résolution d'une équation du 1 er degré

Résoudre l'équation suivante : 3x - 2 = 4

Modèle 7 :

résolution d'une équation du 1 er degré Résoudre l'équation suivante : 2x + 7 = 5x - 4

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Modèle 8 :

résolution d'une équation qui n'admet pas de solution Résoudre l'équation suivante : 5(3x - 2) = 3(5x - 1) Exercice 3.5: Résoudre les équations en indiquant les opérations effectuées : a) 7x+13=10x2 b) 6x+9=2x7 c)

2x+7=3x6 d) 8x + 18 = 5x - 7

e) 8x - 56 + 20 = -16 - 2x f) 18x - 73 - 27x = 65 + 20x - 22 g) 2(3x + 5) = 6x - 5 h) 12 - 15x = 23 - (3x + 12 + 1lx) i) 4(2x + 7) = 2(4x + 14) j) (4 + 3x)·11 = 18(2x - 3) - 2(x - 50) k) abx+cdx=ab+cd l) axa 2 =nxan Exercice 3.6: Sans résoudre, déterminez si le nombre 4 est une solution de l'équation 3x - 2 = 10 et justifier.

Résoudre l'équation suivante :

x+3 2 x2 3=3x5 12+14

Modèle 9 :

résolution d'une équation du 1 er degré avec fractions

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1EC - JtJ 2023 Exercice 3.7: Résoudre les équations en indiquant les opérations effectuées : a) 4x6 8 +3x2

4=4 b)

2x+3 5 +3x4 4=4x5 8 c) x2 3=1 7 d) x 2 +x+1 3+x+4 4=11 5 e) 13x 7 =x+3 4+1 14 f) x+3 4 =1,8x+3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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