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Chapitre 1 : Polynômes du second degré

Polynômes du second degré

1 Forme canonique

1.1 Mettre sous forme canonique :

Exercice 1 :1.x22x+ 3 = (x:::)2+:::

2.x2+ 2x+ 3 = (x+:::)2+:::

3.x2+ 2x3 = (x+:::)2:::

Exercice 2 :1.3x26x+ 1 =:::(x:::)2:::

2.3x2+ 6x+ 1 = (x+:::)2:::

3.3x2+ 6x1 =:::(x+:::)2:::

1.2 Dresser un tableau de variations :

Exercice 3 :1.f1(x) =x2+ 4x+ 1

2.f2(x) =x2+ 2x+ 2

3.f3(x) = 0;5x2+x4

4.f4(x) = 2;5x2+ 20x+ 35

Exercice 4 :1.f1(x) =x2x1

2.f2(x) = 289x217x6

3.f3(x) = (x2x)(5x+ 7)

4.f4(x) =p2x2+p6x+ 1

Exercice 5 :1. Montrer que2

x+43 2 +79
est la forme canon- ique de la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) =2x2163 x259

2. En déduire le tableau de variations def.

1.3 Reconnaître une fonction à partir

d"un graphique : Exercice 6 :Une fonctionfpolynôme du second degré est représentée graphiquement ci-contre sur l"intervalle [0;5]:Déduire ce cette représentation graphique la forme canonique de la focntionf. Exercice 7 :La patabole ci-dessous représente une fonction polynôme du second degréf. Utiliser le graphe pour déterminer la forme canon- ique def(x).c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 1 : Polynômes du second degré

1.4 Passer de la forme canonique à la

forme factorisée : Exercice 8 :Résoudre dansRles équations suivantes. Contrainte : on écrira au préalable chaque expression sous forme canonique.

1.x2+ 2x+ 2 = 0

2.x2+ 13x+ 2 = 0

3.x2x1 = 0

4.5x2+ 8x3;25 = 0

5.x2(p2 +

p3)x+p6 = 0

6.3x2+ 8x= 5

2 Forme factorisée

2.1 résoudre intelligemment une équa-

tion du second degré: Exercice 9 :Résoudre dansRles équations suivantes sans utiliser le discriminant.

1.5x2+ 4 = 0

2.x2+ 6x= 0

3.(x1)2(x1)(x2) = 0

4.x216 + 2(x4) = 0

5.(x+ 1)2(2x3)2= 0

6.(2x+ 3)(x7) =21

7.4x21 = (2x1)(x3)

8.9 + 4(x2)2= 0

Exercice 10 :Résoudre les équations dansRen utilisant la méth- ode la plus pertinente.

1.2x25x+ 3 = 0

2.x2+ 7x= 0

3.5x2+ 7x+ 18 = 04.x2+x+ 1 = 0

Exercice 11 :1.4x2+x= 0

2.4x2+x+ 1 = 0

3.160x274x+ 3 = 0

4.6x2+ 72x+ 216 = 0

Exercice 12 :1.3x2+ 6x105 = 0

2.8x216 = 0

3.50x220x+ 2 = 0

4.x2=x+ 1

Exercice 13 :1.

12 x2+ 3x52 = 0

2.8x2= 7x+ 2

3.81x21 = 0

4.7x2+ 1;5x+ 1 = 0

Exercice 14 :Résoudre les équations suivantes :

1.x3px4 = 0

2.x43x24 = 0

2.2 Donner la forme factorisée d"une

équation:

Exercice 15 :Ci-contre, le graphe d"une fonction quadratique dans le domaine4x3:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 1 : Polynômes du second degré

1. Utilise le graphe pour calculer :

- La valeur def(0); - Les veleurs dexpour lesquelsf(x) = 0:

2. Sinon par conséquent, trouve une equation pour

la prabole. Exercice 16 :1. Déterminer toutes les fonctions polynômes du sec- ond degré s"annulant en -3 et en 4.

AideUtiliser la forme factorisée.

2. Déterminer la fonctionfpolynôme du second de-

gré s"annulant en -3 et en 4, et telle quef(1) = 2: Exercice 17 :Résoudre dansR2les systèmes déquations. 1. x+y= 35 xy= 306 2. xy= 10 xy= 704

InfoLe couple(x;y)prend ses valeur dansR2; cela

signifie quex2Rety2R Exercice 18 :Soient les nombresm= 12p3etn= 1 + 2p3

1. Calculerm+netmn.

2. En déduire toutes les fonctions polynômes du sec-

ond degré ayant les memes racines quef. Exercice 19 :Soitfla fonction définie surRpar : f(x) =ax2+bx+c et telle quef(0) =92 ;f(2) = 0etf(3) =394

Déterminer les réelsa;betc.

2.3 Étude de signe d"une fonction:

Exercice 20 :Résoudre dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(4x+ 1)(x+ 3)>0

2.2x1 +x2

3.4 + (2x5)20

4.5(x+ 1)20

5.x2< x

6.x2p3x >0

Exercice 21 :1. Dresser le tableau de signes des fonctionsfetg définies surR.

2. Résoudre dansRles inéquationsf(x)0et

g(x)<0: f(x) = 2x2+ 5x3etg(x) =x2+x2: Exercice 22 :1. Dresser le tableau de signes des fonctionsfetg définies surR.

2. Résoudre dansRles inéquationsf(x)0et

g(x)<0: f(x) =3x2+7x+4etg(x) = 7x22x+1: Exercice 23 :Résoudre les inéquations dansR:

1.4x270

2.3x25x <4x+ 5

Exercice 24 :Résoudre les inéquations dansR:

1.x22x <3x8

2.2x4x26x+ 1

Exercice 25 :Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant.

1.(x+ 3)(2x210x+ 12)>0

2.(x23)(6x2+ 7x1)0c

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Chapitre 1 : Polynômes du second degré

Exercice 26 :

Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant.

1.3x+ 2<5x

2. x2x64x26x+ 4>0 Exercice 27 :Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant. 1.

5x224x+ 3>2

2. x+ 1x1+45x2>0

2.4 Les "classiques" au contrôle:

Exercice 27 :fest une fonction définie surRpar : f(x) = 15x334x247x+ 42:

1. À l"aide de la calculatrice, conjecturer une solu-

tion entière de l"équationf(x) = 0:

2. Calculer | Déterminer les valeurs des nombres réels

a;betctels que, pour tout nombre réelx: f(x) = (x3)(ax2+bx+c):

3. Résoudre dansRl"équationf(x) = 0:

4. Rechercher s"il existe une méthode générale de ré-

solution des équations du troisième degrè. Exercice 28 :gest une fonction définie surRpar : g(x) =x3+x213x21:

1. À l"aide de la calculatrice, conjecturer une solu-

tion entière de l"équationg(x) = 0et le signe de g(x)suivant les valeurs dex:

2. Calculer | Déterminer les valeurs des nombres réels

a;betctels que, pour tout nombre réelx: g(x) = (x+ 3)(ax2+bx+c):3. Résoudre l"équationf(x) = 0;puis valider ou in- firmer la conjecture concernant le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

Exercice 29 :On considère l"équation :

(m2)x2+ 2mx1 = 0 oùmest un nombre réel.

1. Résoudre dansRl"équation lorsquem= 2

2. Calculer | En supposant quem6= 2;déterminer

les éventuelles valeurs dempour lesquelles: (a) L"équation admet une unique solution réelle; (b) L"équation admet une deux solutions réelles; Exercice 30 :RaisonnerSoitmun réel. On cherche à déter- miner le nombre de solutions réelles de l"équation(E) :

4mx24(m+ 2)x+ 2m+ 1 = 0:

1. À l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique,

émettre une conjecture quant au nombre de so-

lutions de l"équation(E)en fonction des valeurs dem

2. (a) Résoudre(E)pourm= 0.

(b) Soitm6= 0:Exprimer le discriminant de l"équation(E)en fonction dem. Étudier son signe et répondre alors au prob- lème posé.

3. L"équation(E)peut-elle admettre deux racines

opposées?

3 Utiliser les deux formes dans les

problèmes : Exercice 31 :Un rectangle ABCD tel que AB=xcm a pour périmètre 10cm.

1. Exprimer BC en fonction dex.

2. Montrer que l"aire du rectangle ABCD (en

cm

2)estS(x) =(x2;5)2+ 6;25pour tout

x2[0;5]:

3. Dresser le tableau de variations deSsur[0;5].

que peut-on remarquer lorsque l"aire de ABCD est maximale?c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 1 : Polynômes du second degré

Exercice 32 :

La quantité de sucreq(x)(en kg) présente dans

100kg de betteraves sucrières est donnée parq(x) =

0;004x2+x40oùxest la masse (en kg) d"engrais

répandue à l"hectare, avecx2[60;180]:

1. Montrer que toutx2[60;180] :

q(x) =0;004(x125)2+ 22;5:

2. En déduire, à l"aide du tableau de variations de

q, la massexd"angrais répandue à l"hectare pour que la quantité de sucre soit maximale. Exercice 33 :En février 2018, l"astronaute francais Thomas Pes- quet a rejoint l"équipe pilotes de l"AirbusZERO-G.Cet avion permet de recréer les condition de l"apesanteur en décrivant des paraboles grâce à l"alternance de phases de montées et de descentes.L"altitudef(t)de cet avion (en m) en fonction du temps t(en s) durant un vol parabolique de 22 s est donnée par : f(t) =900121 t2+180011 t+ 7600surI= [0;22]:

1. Déterminer par calcul la forme canonique def.

2. Lors de ce vol parabolique, au bout de conbien

de temps l"avion atteindra-t-il son altitude maxi- male?

Que vaut cette altitude maximale?

Exercice 34 :Une étude de marché a été réalisée sur la vente de clefs USB de 8 Go dans les magasins d"une chîne d"hypermarchés. On estime que le prix de ventepd"une clef USB est compris entre 2eet 5e. D"après l"étude, la demande, c"est-à-dire la quantité de clefs USB (en milliers) réclamée par les consommateurs est égale à :D(p) = 0;4p24p+ 11;5: L"offre, c"est-à-dire la quantité de clefs USB (en milliers) disponible chez les fournieeurs est égale à :

F(p) =0;3p2+ 4;05p6;35:

On appelle " prix d"équilibre » la valeur deppour laque- lle la demande est égale à l"offre.

1. Déterminer le prix d"quilibre.

2. Quels colseils pourrait-on donner au gestionnaire

du stock de cette chaîne d"hypermarchés? Exercice 35 :Afin d"étudier la trajectoire d"un ballon de rugby, on rélise une chronophotographi de son mouvement en le lançant à partir d"une hauteur de 1m. Sixdésigne l"abscisse du ballon (en m) au moment où il quitte la main de la joueuse (d"abscisse O), alors la hauteur (en m) atteinte par le ballon à l"abscissexest modélisée parh(x) =0;129x2+ 1;26x+ 1:1. Résoudre dansRl"équationh(x) = 0.

Que peut-on déduire pour le ballon?

2. Le ballon peut-il dépasser une hauteur de 5m?

Justifier la réponse.

3. On souhaite calculer la distance sur laquelle la

heuteur du ballon dépasse 3m. (a) Résoudre dansRl"inéquation :

0;129x2+ 1;26x2>0:

(b) Conclure.

4. (a) Résoudre dansRl"inéquationh(x)>4;1:c

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Chapitre 1 : Polynômes du second degré

(b) Que peut-on en conclure sur la hauteur du ballon? Exercice 36 :En 2019, la gérante d"une brasserie de bord de plage propose, le midi, un menu à 23,90e. Ce menu rencon- tre un tel succès que la gérante décide d"augmenter sonquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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