[PDF] NOTES de COURS de RELATIVITÉ RESTREINTE

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L3 et Magistere de Physique Fondamentale2022-2023NOTES de COURS de RELATIVIT

E RESTREINTEBibliographie sommaire

Voici une courte liste de references bibliographiques (classees par ordre d'utilite decroissante pour le cours) : |Introduction a la relativitepar D. Langlois (Vuibert, 2011). |Special relativitypar A. P. French, M.I.T. Introductory Physics Series, 1968. |Theorie des champspar L. Landau et E. Lifchitz. Volume 2 du cours de physique theorique (Mir, 1989). Noter que les unites des grandeurs electromagnetiques ne sont pas les unites internationales utilisees en cours. |Classical electrodynamicspar J. D. Jackson (John Wiley, 1975).

Je suis joignable par e-mail :

nicolas.pa vlo@universite-paris-saclay.fr Ce texte est disponible en ligne au formatpdfa l'adresse : version du 23 janvier 2023

Chapitre I : Principe de Relativite

I.1 Postulats d'Einstein

On appelle \referentiel inertiel" un referentiel dans lequel une particule isolee a un mouvement

de translation rectiligne uniforme. Ce sont les seuls que l'on considere en relativite restreinte. Les

postulats d'Einstein sont les suivants : Les lois de la physique sont identiques dans tous les referentiels inertiels. La vitesse de la lumiere dans le vide est la m^eme pour tous les observateurs, quelle que soit la vitesse de la source emettrice. Nous allons dans un premier temps seulement utiliser le second postulat et l'isotropie et l'homoge- neite de l'espace. On peut d'abord remarquer par une simple experience de pensee que la notion de simultaneite est remise en cause par le second postulat : imaginons deux pointsaetdxes dans un train. Soit ble point milieu. Pour un observateur lie au train, deux photons, emis l'un depuisa, l'autre depuis datteindronsbau m^eme instant. Pour un observateur immobile (disons, une vache qui regarde passer le train), siaest a l'arriere du train etda l'avant, le photon emis depuisaarrivera enbun peu plus tard que celui emis depuisd, puisquebse rapproche du photon emis pardet s'eloigne de celui emis para, et que, selon le second postulat, pour la vache, la vitesse de la lumiere reste toujoursc.Le schema ci-dessous illustre le phenomene d'une facon legerement dierente : pour la vache, les photons ne se rencontrent plus enb. En mecanique non-relativiste la vache verrait les photons se deplacer a des vitessesVtrain+cetVtraincet ils se rencontreraient enb, comme pour le passager du train.cc a b d ab d ccV train Pour un passager du train. Pour la vache (on a legerement decale le point b vers le haut pour ameliorer la

lisibilite du schema).On doit donc redenir la notion de simultaneite : deux evenements sont simultanes dans un

referentiel si des rayons lumineux issus de chacun sont detectes ensemble au point milieu 1. De m^eme, deux horloges immobiles l'une par rapport a l'autre sont synchronisees si elles indiquent la m^eme heure lorsqu'elles sont atteintes par des rayon lumineux emis simultanement par un point situe a mi chemin entre elles.1. Milieu geometrique des deux parties spatiales. 1 I.2 Transformation speciale de Lorentz (\Lorentz boost") On considere deux referentiels inertiels :R=fO;x;y;z;tg\immobile" etR0=fO0;x0;y0;z0;t0g

\en mouvement". Le boost de Lorentz correspond a l'arrangement :la vitesse deR0par rapport aRestV~ex,Vest algebrique, mais nous allons raisonner dans la

conguration ouV >0. On a choisi les reperes spatiaux de sorte que les points origines et les 3 axes des deux reperes soient confondus a l'instantt= 0 =t0. Les lois de transformation associees au boost de Lorentz sont lineaires

2et peuvent donc s'ecrire sous la forme :

ct0 x 0 =A B C D ct x :(I.1) Si maintenant on changexenxetx0enx0, c'estRqui bouge a vitesseV >0 par rapport aR0 le long du nouvel axe horizontal (maintenant oriente vers la gauche). On doit donc avoir : ct x =A B C D ct0 x0 ;soitct x =A B C D ct0 x 0 :(I.2) En inversant la matrice de l'expression de droite dans ( I.2 ) on obtient ct0 x 0 =1AD BC D B C A ct x :(I.3)

Si l'on compare cette expression avec (

I.1 ) on arrive a la conclusion queA=DetA2 BC= 1. La trajectoire deO0(represente dans le dessin ci-dessus) impose que six0= 0 alorsx=V t(8t0),

soitx=(ct) =V=c. En reportant dans la relation de droite de (I.2) cela donneC=A.Remarquons au passage que la mecanique de Galilee verie bien-s^ur toutes ces contraintes

et correspond at0=t, c.a.d. aB= 0 etA=D= 1 et doncC=(c.a.d.x0=xV t).Selon le second postulat d'Einstein six=ctalorsx0=ct0(trajectoire horizontale d'un photon

qui part de l'origine a l'instant origine). En inserant dans ( I.1

) (avecA=DetC=A) cela2. Une transformation nonlineaire serait irrealiste parce qu'un mouvement uniforme dans un systeme de coor-

donnees appara^trait accelere dans un autre. 2 donnect0= (A+B)ctetx0= (A+A)ct: puisqu'on doit avoirx0=ct0cela impose donc B=A(dierent de Galilee, c'est normal). La contrainteA2 BC= 1 (avecB=C=A) s'ecrit doncA2(12) = 1. Cela impose2<1 et3A= 1=p12. D'ou les relations ct0 x 0 ct x ou=Vc et =1p12:(I.4)

Le facteur

(1) est appele facteur de Lorentz. La loi de transformation (I.4) est obtenue de maniere geometrique (et plus physique) dans l'annexe I.6.a

I.2.a Contraction des longueurs

Considerons une regle horizontale, immobile dansR0dont une des extremites concide avecO0. On noteDson autre extremite. DansRces points ont une loi horaire :xO0=V tetxD=V t+L, ouLest la longueur de la regle dansR. Ces mouvements sont representes dans le \diagramme de Minkowski" (ou diagramme \d'espace-temps") ci-dessous (gure de gauche). Les trajectoires representees dans ce type de diagramme sont les \lignes d'univers".x Ltx

O0=V tx

D=V t+L dansRx

0L 0= Lt 0x

0O0= 0x

0D=

LdansR0!

On utilise les lois de transformation (

I.4 ) pour obtenir les lois horaires dansR0. On obtient immediatement :x0O0= 0 etx0D= L. Les lignes d'univers correspondantes sont tracees dans le diagramme ci-dessus (gure de droite). La longueur de la regle est plus petite dansRque dans le referentielR0ou elle est au repos : c'est le phenomene de contraction des longueurs (dont une autre derivation est presentee en I.6.b

I.2.b Lois de transformation

En re echissant un peu (cf. section I.6.c ), il est facile de se convaincre quey0=yetz0=z. On noteXe= (ct;~r) = (X0=ct;X1=x;X2=y;X3=z) = (X0;~X) et alors X e0= ()Xe;avec =0 B B@ 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 11

C

CA;ou=V=cet

= (12)1=2:(I.5)3. Convainquez-vous que l'ambigute sur le signe deAest levee par l'etude du cas= 0. 3 On appelle la transformation (I.5) une \transformation de Lorentz" et est une matrice de Lorentz. Il est facile de verier que pour inverser la relation entreXeetXe0il sut de changer le signe de dans ( I.5 A partir de l'expression (I.5) qui correspond au cas particulier du boost de Lorentz, on peut construire une version generale de la transformation, cf. annexe I.6.e

I.2.c Conservation de l'intervalle

Soient deux evenements de coordonnees (t1;~r1) et (t2;~r2) dansR(leurs coordonnees seront aublees d'une apostrophe dansR0). On denit l'intervalle entre ces deux evenements comme la quantite (s)2=c2(t2t1)2 j~r2~r1j2:(I.6) (s)2peut ^etre positif ou negatif. Il est clair que si sest nul alors les deux evenements peuvent ^etre relies par la trajectoire d'un photon, et donc dansR0on aura egalement s0= 0. Mais on a mieux : (s)2est invariant par changement de referentiel, comme on peut le verier facilement pour la transformation speciale de Lorentz.

I.2.d Dilatation des durees

Pour l'observateur en mouvement (par exemple celui situe a l'origine dansR0:xO0=V tO0, x 0 O0= 0), d'apres la relation (I.18) le \temps propre" estt0

O0=tO0=

:t0

O0< tO0le temps s'ecoule

plus lentement, on parle de dilatation des durees 4. En utilisant la notion d'intervalle, on peut generaliser cette propriete au cas d'une trajectoire

~r(t) quelconque : on considere une succession de \referentiels comobiles a l'instantt" dans lesquels

la particule est au repos entretett+ dt. En calculant l'intervalle (ds)2entre les quadri-positions Xe(t) etXe(t+dt) dansRet dans le referentiel comobile, on peut denir le temps propre innitesimal d=dsc = dtr1v2(t)c

2ou~v=d~rdt:(I.7)

I.2.e Composition des vitesses

En dierenciant (

I.5 ) on obtient facilement v

0xdef=dx0dt0=vxV1vxV=c2; v0ydef=dy0dt0=vy

(1vxV=c2); v0zdef=dz0dt0=vz (1vxV=c2):(I.8)

Il est plus naturel de raisonner en exprimant~ven fonction de~v0; pour inverser les relations (I.8) il

sut de changer le signe deV. On obtient ensuite : siv0x=c(v0y=v0z= 0) alorsvx=c. Siv0y=c (v0x=v0z= 0) alorsv2x+v2y+v2z=c2. Siv0x= 0:9c(v0y=v0z= 0) etV= 0:9c, alorsvx=1:81:81c < c: en composant des vitesses proches de celle de la lumiere, on ne depasse jamaisc. On va donc se cantonner aux vitesses sub-luminales

5.4. La relation est bien-s^ur symetrique : si l'on considere l'observateur immobile a l'origine dansR(xO= 0), on

trouvex0

O=V t0

OettO=t0

O=

5. L'existence de particules aux vitesses supralumineuses (des \tachyons") a ete suggeree dans plusieurs contextes

theoriques, sans jamais induire de consequences enthousiasmantes. 4 I.3 Dierents types d'intervalle. Causalite. C^one de lumiere On se place du point de vue de l'observateur situe a l'origine des coordonnees. Soit un evenement Pe= (ct;~r) tel ques2=c2t2~r2>0 : on dit que l'intervalle entre l'origineOeetPeest de \genre temps". On peut trouver un referentiel dans lequelOeetPeont la m^eme position : il sut de con- siderer la transformation de Lorentz avec ~V=~r=t(a 1+1 dimensionV=x=t). Mais par contre, si t >0,Pesera toujours dans le futur deOe. En eet on a6(en prenant~r=x~ex, avecx >0) : ct > x > xV=c(8V < c) donct0= (tV x=c2)>0:(I.9) Pour les intervalles de \genre espace" (s2<0) la situation est renversee : on peut trouver des referentiels dans lesquelsOeetPesont simultanes (en prenantV=c2t=x)7mais aucun dans lequel ils ont la m^eme position. Lorsques2= 0 on dit que l'intervalle est de \genre lumiere". Revenons sur la chronologie entre deux evenements : on dira queOeprecedePesit >0et si s

2>0 (cette derniere condition est absente en physique non relativiste).

Ci-contre : representation (en 1+1 dimension) du

\c^one de lumiere" dans un diagramme de Min- kowski.Pe1est simultane dansRavec l'origine. Si par exemplex1= 150106km = distance Terre-

Soleil, l'intervalle entreOeetPe2(x2=x1ett2= 8

mn) est de genre lumiere.Pe3est dans le futur de Oe: il peut y avoir un lien de causalite entreOeet Pe3. Le futur et le passe sont a l'interieur du c^one de lumiere, cf. illustration en 2+1 dimensions sur la page de couverture.passé ailleurs futurx t t

2x=ctO

ePe1P e2P e3 Il va sans dire que les transformations de Lorentz, conservant la valeur d'un intervalle, ne changent pas son genre.

I.4 Formalisme (uber

ussige Gelehrsamkeit?)

I.4.a Groupe de Lorentz

Soit la matrice metrique (g) = diag(1;1;1;1). On denit le pseudo produit scalaireXeYe tXe(g)Ye(l'indicetnote la transposition). AinsiXe2= (ct)2~r2=s2. Le groupe des transformations

qui conservent l'intervalle (et donc le pseudo produit scalaire) correspond a l'ensemble des matrices

44 qui verient

t)(g)() = (g):(I.10)6. La demonstration qui suit est faite pour une transformation speciale de Lorentz, mais elle se generalise a toutes

les transformations entre deux referentiels inertiels.

7. On peut m^eme changer l'ordre chronologique entreOeetPe, mais cela ne viole pas la causalite car ces 2

evenements ne peuvent pas ^etre relies par un signal se propageant a une vitesse sub-luminale. 5 Il est facile de verier qu'il s'agit d'un groupe (non commutatif) : le groupe de LorentzO(3;1). De ( I.10 ) on tire que det =1. De la il vient que l'element de volume de l'hyper-espace d4X= dX0dX1dX2dX3est invariant par transformation de Lorentz (on dit que c'est un \invariant de

Lorentz"), puisque d

4X0=jdetjd4X. Les transformations de Lorentz conservent donc l'hyper-

volume. En pratique on ne considere que le \groupe de Lorentz restreint" qui conserve l'orientation de l'espace et la direction du temps mais cette remarque n'a pas d'incidence dans le suite du cours. Le lectorat interesse par les aspects plus mathematiques pourra lire l'annexe

I .6.f

I.4.b Notion de quadri-vecteur

Un quadri-vecteur est un vecteur a 4 composantes qui se transforme selon la loi generique ( I.5 lors d'un changement de referentiel. Les evenementsXe= (ct;~r) sont bien-s^ur des quadri-vecteurs. On denit egalement la quadri-vitesse et la quadri-impulsion d'une particule de massemqui a une trajectoire~r=~(t) dansR: e(t) = (ct;~(t)) et U e=d ed=1p1~v2=c2(c;~v(t));ou~v(t) =d~dt:On aUe2=c2:(I.11)

La quadri-impulsion est

Pe=mUe:On aPe2=m2c2:(I.12)

Pour une particule de trajectoire~r=~(t) et de chargeqon peut denir la distribution de charge(~r;t) et la densite de courant~J(~r;t) : (~r;t) =q (3) ~r~(t) ;et~J(~r;t) =qd~dt(3) ~r~(t) :(I.13)

L'objet

J e(~r;t) = c(~r;t);~J(~r;t) =q (3) ~r~(t)d edt=(~r;t)dXedt(I.14) est un champ quadri-vectoriel : le quadri-courant.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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