Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
Correction (très rapide) des exercices de révision
Soit la fonction f dont le tableau de variations est donné : strictement supérieure au triple de l'aire du triangle AED ? 4. TRIGONOMETRIE :.
Traitement du signal
Figure 13 – Fonction sinus cardinal. 2.4 Échantillonnage et quantification du signal analogique. Les variations du signal analogique contiennent trop
Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés
Dresser le tableau de variations de la fonction k en s'aidant de la représentation graphique donnée. On considère un triangle ABC rectangle en A tel que.
Fonctions
Donner le sens de variation de chacune des fonctions 1 Calculer en fonction de x les périmètres P1 P2 et P3 du triangle AEF et des quadrilatères EFCB ...
Théorie du signal
Définition 1.1.1 (Signal) vient du latin signum : signe; variation d'une Notons que l'aire de la fonction triangle unité vaut 1 et que la largeur de son ...
GELE2511 - Chapitre 1
La fonction triangulaire est un triangle équilatéral centré `a l'origine signal d'entrée produit une même variation d'amplitude `a la sortie.
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
En particulier on attend d'une fonction dérivable qu'elle soit continue. • La dérivée doit permettre d'étudier les variations de f localiser et étudier les
Méthode des éléments finis : élasticité plane
24 mars 2006 5.1 Calcul des variations . ... o`u ?T est la variation de température. ... Figure 10 – Triangle `a 3 nœuds : fonctions d'interpolation.
Variation dans un triangle isocèle
- utiliser les tableurs pour automatiser les calculs. - tracer la fonction sur GeoGebra
Seconde 1 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.frClasse de Seconde
Fonctions
1. Ensemble de définition 1
2. Fonction : antécédents 1
3. Fonction : coefficients 2
4. Fonctions : parité (c) 2
5. Fonctions : parité 2
6. Questions (c) 3
7. Fonctions affines et linéaires 3
8. Lecture graphique 5
9. Lecture graphique 6
10. Lecture graphique : paraboles 6
11. Tableau de variation 7
12. Fonction : symétrie centrale 7
13. Fonction : quotient 1 7
14. Fonction : quotient 2 8
15. Fonction : quotient 3 8
16. Fonction : quotient 4 8
17. Fonction : quotient 5 8
18. Fonction : quotient 5 9
19. Fonction : quotient 6 9
20. Fonction : quotient 7 9
21. Fonction : quotient 8 9
22. Fonction : quotient 9 10
23. Fonction : quotient 10 10
24. Fonction : quotient 11 10
25. Fonction : quotient 12 11
26. Fonction : Mise en équation 11
27. Fonction : 2nd degré 11
28. Fonction : 2nd degré 12
29. Fonction : 2nd degré (c) 12
30. Fonction : 2nd degré et valeur absolue 14
31. Fonction : 2nd degré 14
32. Fonction : 2nd degré et droite (c) 14
33. Fonction : valeur absolue 16
34. Fonction : 2nd degré (c) 16
35. Fonction : 3ème degré 19
36. Fonction : fraction continue 19
37. Fonction : optimisation 19
38. Fonction : résolution d"équation 20
39. Distance d"un point à une droite (c) 20
40. Courbe, équation, inéquation 21
41. Tableau de variation,inéquation 21
42. Courbe, équation, inéquation 21
43. Fonction affine par morceaux 22
44. Fonction : inéquations (voir également équations-
inéquations) 2345. Fonction : inéquations et degré 3 (c) 23
46. Similitude (c) 26
47. Fonction : inéquations 27
48. Tangente à la parabole et à l"hyperbole (c) 28
49. Fonctions et inéquations 1 (c) 29
50. Fonctions et inéquations 2 (c) 31
51. Triangle et 2nd degré (c) 35
52. Aire d"un triangle rectangle (1) 36
53. Aire d"un triangle rectangle (2) 37
54. Yin et Yang 37
55. Trapèze (1) 38
56. Trapèze (2) 38
57. Triangle et rectangle 39
58. Distance d"arrêt d"une automobile (c) 39
59. Poitiers - Paris - Strasbourg 40
60. Etude de fonction et application à la physique.
4161. Arc et flèche (Bac pro Aménagement finition,
France 06/07) (c) 42
1. Ensemble de définition
Déterminer l"ensemble de définition des fonctions suivantes :3 2( ) 2 4 2f x x x= - + 2
1 2( )21g xxx= +-+
1( ) 3 2h x xx= - 4 2( ) 4 3 1k x x x= + +
Trouver l"ensemble de définition de la fonction21( ) 4
1 2f x xx= - +-
Déterminez l"ensemble de définition de
24( ) 91f x x
x x= - +-. f est elle paire, impaire, rien ?2. Fonction : antécédents
Soit la fonction 2( ) 2 1f x x= - +.
Déterminer les images par f des nombres -1, 10, -101,2 et - 2.
Seconde 2 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr Déterminer si ces nombres ont des antécédents ?
A quelle condition un nombre y a-t-il des antécédents ?3. Fonction : coefficients
1. Soit la fonction ( )x af xx b
+=+ où a et b sont deux réels inconnus (pour l"instant...). Peut on trouver a et b pour que f(-2)=0 et que -1 soit valeur interdite de f ?2. On prend a=2, b=1 ; tracez la fonction obtenue sur l"intervalle [-5, +5].
3. Dressez le tableau de variations de f.
4. Résoudre graphiquement l"inéquation
5. On veut résoudre l"inéquation
( )f x x≥. Proposez une méthode et appliquez la.4. Fonctions : parité (c)
On définit la fonction suivante : ² 1( )xf xxQuel est son ensemble de définition ?
Cette fonction est-elle paire ? impaire ? rien de particulier ?Correction
f(x) =² 1x
x-. 21x- doit être positif ou nul et x doit être non nul. On résout donc 21 0x- ≥ avec 0x≠.
Ceci donne (x - 1)(x + 1)
0≥et le tableau ci-après.
On en déduitla solution
]][[; 1 1;-∞ - ? +∞ et comme 0 (la valeur interdite du dénominateur) n"appartient pas à cet intervalle, ]][[Def ; 1 1;= -∞ - ? +∞. On constate que cet ensemble est symétrique par rapport à zéro . f peut éventuellement être paire ou impaire. On a ( )² 1² 1 ² 1( ) ( )( )x x xf x f xx x x- - - -- = = = - = -- - : f est donc une fonction impaire.5. Fonctions : parité
1. Remplir ce tableau :
Propriété algébrique Propriété graphique f est une fonction paire f est une fonction impaire f est ni paire, ni impaire2. Dire pour chacune de ces fonctions si elle est paire, impaire ou non. En déduire des propriétés pour leur
représentation graphique. : 3 f x x g x x- 3 : 2 ² : 3 h x x i x x x3. a. Compléter la courbe ci-contre en rouge pour que la courbe alors obtenue soit représentative d"une
fonction paire, que l"on notera f. x -∞ -1 1 +∞ x + 1 - + + x - 1 - - +P + - +
Seconde 3 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr b. Etablir le tableau de variations de f.6. Questions (c)
Traduire à l"aide d"écritures simples les phrases suivantes : a. La courbe de la fonction f passe par le point A(3 ; -1). b. L"ordonnée du point d"abscisse 2 de la courbe C de g vaut 1.c. La représentation graphique de la fonction h coupe l"axe des ordonnées au point d"ordonnée 3.
d. La courbe représentant la fonction k passe par l"origine.e. La courbe C" représentant la fonction m est au-dessus de l"axe des abscisses entre les points d"abscisse
-5 et 4.Correction
a. La courbe de la fonction f passe par le point A(3 ; -1) : (3) 1f= -. b. L"ordonnée du point d"abscisse 2 de la courbe C de g vaut 1 : (2) 1g=.c. La représentation graphique de la fonction h coupe l"axe des ordonnées au point d"ordonnée 3 :
(0) 3h=. d. La courbe représentant la fonction k passe par l"origine : (0) 0k=.e. La courbe C" représentant la fonction m est au-dessus de l"axe des abscisses entre les points d"abscisse
-5 et 4 : []( ) 0 5 ;4m x x≥ ? ? -.7. Fonctions affines et linéaires
1. Remplir le tableau suivant :
Vrai Faux Sûr Pas sûr
2( )3f x= est une fonction affine.
Dans l"équation de droite y cx d= +, d est le coefficient directeur et c l"ordonnée à l"origine. La représentation graphique d"une fonction constante est une droite parallèle à l"axe des ordonnées. ( )g x ax= où a??, est l"expression d"une fonction linéaire. La représentation graphique d"une fonction linéaire est une droite parallèle à l"axe des abscisses.2. Fonctions affines
a. Donner les expressions des fonctions affines1 2 3, ,f f fdont les représentations graphiques sont
respectivement les droites1 2 3, ,d d d tracées dans le repère (O, I, J) ci-dessous
Seconde 4 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr b. Tracer la droite4d représentative de la fonction 4fdéfinie par ( )4112f x x= - dans le même repère.
c. Donner le sens de variation de chacune des fonctions1 2 3 4, , ,f f f f.
d. Calculer l"expression de la fonction affine k sachant que k(3) = 1 et k(2) = 5.3. a. Donner l"expression de la fonction affine f dont la représentation graphique est la droite ci-dessous.
b. Tracer sur le même repère les représentations graphiques des fonctions g et h définies par
( )32g x= et
( )122h x x= - +.c. Calculer l"expression de la fonction affine k sachant que k(-1) = 4 et k(1) = 2. Déterminer le sens de
variation des fonctions f, g, h, k.4. Soit f la fonction définie par
()( ) 2 3 1f x x= - + pour tout réel x. O I J 1dSeconde 5 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr a. Quelle est le nom d"une telle fonction ? b. Quel est le sens de variation de f (justifier) ?
c. Déterminer l"image de2 par f.
d. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de3 1- par f.
e. Tracer sa courbe représentative dans un repère (); ,O i j? ? orthonormé. f. Résoudre graphiquement l"équation f(x) = 4.8. Lecture graphique
-5-4-3-2-1012345 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 xy Le graphique ci-dessus représente une fonction f sur l"intervalle [-3 ; 6].1. Dresser le tableau de variations de f sur [-3 ; 6].
2. Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
3. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant
votre réponse : a. f est négative sur ]-2 ; 1[. b. Si on a pour deux nombres a et b tels que c. L"équation f(x) = 2 a 4 solutions sur [-3 ; 6]. d. On a f(-3) < f(5) car f est croissante sur l"intervalle [-3 ; 5].Seconde 6 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr 9. Lecture graphiqueLes courbes représentées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions de références
suivantes : la fonction carrée, cube, valeur absolue, inverse, racine et une fonction affine.Attribuer à chaque courbe la fonction de référence correspondante et préciser le nom de cette courbe
lorsqu"il existe.10. Lecture graphique : paraboles
On donne ci-dessous les représentations graphiques de six fonctions que l"on peut considérer comme
déduites de la fonction carré :21:f x x-? ; 221:2f x x? ; 23: 1f x x+? ; ( )2
4: 2f x x-? ; 25: 1f x x- -? ; 26: 2 3f x x x- +?.
1. Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond. On notera P
1 la parabole représentant f1 , P2
celle représentant f2 , ...
2. Quelle transformation géométrique permet de passer de la parabole représentant la fonction carré à la
parabole représentant chacune des fonctions f1 , f3 , f4 , f5 , f6 ?
Seconde 7 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr11. Tableau de variation
f est une fonction paire définie sur[]6 ;6-dont on connaît une partie du tableau de variations :
x -6 0 2 5 6 f(x)5 3
2 01. Compléter ce tableau de variations.
2. Tracer une représentation graphique de f en utilisant que des segments de droite.
3. Existe-t-il d"autres fonctions paires ayant le même tableau de variations que f ?
12. Fonction : symétrie centrale
Montrer que le point A de coordonnées (2, 1) est le centre de symétrie de la courbe représentative de la
fonction3( ) 2 32f x xx= - +-.
13. Fonction : quotient 1
Soit g la fonction définie sur ][][; 3 3 ;-∞ - ? +∞ par : ( )( 3)( 1)² 2 ( 3)4 ( 3)
x x x xg xx x+ + - +=+.1. Montrer que
( )² 1 4 xg x x += pour tout ][][; 3 3 ;x? -∞ - ? +∞.2. Quel est le plus grand ensemble sur lequel la fonction g pourrait être définie ? (c"est à dire quels sont les
x pour lesquels g(x) peut être calculé).3. Etudier la parité de la fonction g.
4. Quelle propriété la courbe représentative de g possède-t-elle ?
Seconde 8 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr 5. Existe-t-il un ou des antécédent(s) de 0 par g ?
14. Fonction : quotient 2
Soit f la fonction définie sur ][][; 1 1;E= -∞ - ? + ∞ par ( )( 1) ² 2 12 ( 1)x x x xf xx x
1. Montrer que
( )1 2f xx -= pour tout x E?.2. Pouvez-vous trouver les images de -1 ?, 0 ?, 2 ?
3. Quel est le plus grand ensemble sur lequel la fonction f peut être définie ? (c"est à dire quels sont les x
pour lesquels le nombre f(x) peut être calculé).4. Montrer que la fonction f est impaire.
5. Quelle propriété la courbe représentative de f possède-t-elle ?
15. Fonction : quotient 3
On considère la fonction f définie par ( )2
1 xf xx=-.1. Déterminer l"ensemble de définition de f.
2. Déterminer les images de
37- et 5 par f (rendre rationnel le dénominateur).
3. Résoudre par le calcul :
4. Recopier sur la copie et compléter le tableau de valeurs suivant :
x -5 -4 -3 -2 -1 0 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 3 4 5 6 7 f(x)5. Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j? ?, unité = 1 cm, sur une feuille à part, tracer
D1 représentation graphique de 1x=,
D2 représentation graphique de 2y=,
D3 représentation graphique de 3y x= +,
C f représentation graphique de la fonction f pour []5 ;7x? -.6. Retrouver graphiquement les solutions de
16. Fonction : quotient 4
Soit g la fonction définie par 5 13( )3
xg x x1. Donner l"ensemble de définition Dg de g.
2. Trouver deux réels a et b tels que pour tout x élément de Dg,
( )3 bg x ax= ++.3. En déduire les variations de g.
17. Fonction : quotient 5
Soit f la fonction donnée sur [-10 ; 10] par 2( )3 xf x x1. Pour quelle valeur de x ne peut-on pas calculer f(x) ?
2. En déduire son ensemble de définition.
Seconde 9 F. Laroche
Exercices : fonctions http://laroche.lycee.free.fr 3. Quelle est l"image par f de : -5 ? 3 ? 3 4 ?4. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par f.
18. Fonction : quotient 5
Soit la fonction 2( )
3 xf xx -=+, C sa courbe représentative dans un repère orthonormé,1. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles les images par f sont positives ou nulles
2. Montrer que -1 n"a pas d"antécédent par f.
3. Trouver deux nombres a et b tels que
( )3 bf x ax= ++.4. Tracer la courbe C de f, ainsi que les droites (x = -3) et (y = -1).
5. Déterminer graphiquement la position de C par rapport à la droite y = x - 2, puis algébriquement.
19. Fonction : quotient 6
Soit la fonction 2 1( )1 3
xf x x +=-. On veut écrire f de manière différente. Pour cela on suppose que f peut s"écrire ( )1 3 bf x ax= +-.1. En choisissant deux valeurs de x et en remplaçant dans les deux formes de f, trouver un système satisfait
par a et b.2. Résoudre le système.
3. Vérifiez que votre résultat est correct....
4. Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variations.
20. Fonction : quotient 7
Soit la fonction 5( ) 13f xx= +-.
1. Déterminer son ensemble de définition. Etudier les variations et dresser le tableau de variations de f.
2. Tracer les droites (x = 3), (y = 1) et la courbe (C) dans un même repère.
3. Déterminer l"intersection si elle existe entre (C) et (y = 1).
4. Résoudre graphiquement puis algébriquement l"inéquation f(x) > -1.
21. Fonction : quotient 8
Soit la fonction 8 2( )3
xf xx1. Déterminer son ensemble de définition. Trouver les valeurs de a et b tels que
( )3 bf x ax= +-. Cette fonction est-elle paire ? impaire ?2. Déterminer le sens de variation de f. Dresser le tableau de variations de f.
3. Tracer les droites (x = 3), (y = 2) et la courbe (C) dans un même repère. Déterminer l"intersection si elle
existe entre (C) et (y = 2) .4. Pour quelles valeurs de x la courbe (C) est -elle au dessus de l"axe x"Ox ? La courbe (C) coupe-t-elle la
droite (y = 2) ?5. Résoudre graphiquement puis algébriquement l"inéquation f(x) > 4 - x.
6. Même question avec f(x) < x + 2.
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