Méthode des éléments finis : élasticité plane PDF

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a

Correction (très rapide) des exercices de révision

Soit la fonction f dont le tableau de variations est donné : strictement supérieure au triple de l'aire du triangle AED ? 4. TRIGONOMETRIE :.

Traitement du signal

Figure 13 – Fonction sinus cardinal. 2.4 Échantillonnage et quantification du signal analogique. Les variations du signal analogique contiennent trop

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés

Dresser le tableau de variations de la fonction k en s'aidant de la représentation graphique donnée. On considère un triangle ABC rectangle en A tel que.

Fonctions

Donner le sens de variation de chacune des fonctions 1 Calculer en fonction de x les périmètres P1 P2 et P3 du triangle AEF et des quadrilatères EFCB ...

Théorie du signal

Définition 1.1.1 (Signal) vient du latin signum : signe; variation d'une Notons que l'aire de la fonction triangle unité vaut 1 et que la largeur de son ...

GELE2511 - Chapitre 1

La fonction triangulaire est un triangle équilatéral centré `a l'origine signal d'entrée produit une même variation d'amplitude `a la sortie.

Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

En particulier on attend d'une fonction dérivable qu'elle soit continue. • La dérivée doit permettre d'étudier les variations de f localiser et étudier les

Méthode des éléments finis : élasticité plane

24 mars 2006 5.1 Calcul des variations . ... o`u ?T est la variation de température. ... Figure 10 – Triangle `a 3 nœuds : fonctions d'interpolation.

Variation dans un triangle isocèle

- utiliser les tableurs pour automatiser les calculs. - tracer la fonction sur GeoGebra

Yves Debard

24 mars 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Rappels

1.1 Hypothµese contraintes planes

1 3 4 5 7 7 8 8 9

4.5 Problµemes particuliers

4.5.1 Problµeme stationnaire

4.5.2 Modes propres de vibration

11 11 12

5.1 Calcul des variations

12 5.2 13 14 15 6.1 15 15

6.1.2 Maillage conforme

16 16 17

6.2.1 Triangle µa 3 n¾uds

6.2.2 Triangle µa 6 n¾uds

6.2.3 Quadrangle µa 4 n¾uds

6.2.4 Quadrangle µa 8 ou 9 n¾uds

20 21
21
21
6.3.3 22

6.3.4 Calcul des matrices

6.3.5 Calcul des vecteurs

23
25

A Programmes Maple

A.1 tri3

int : triangle µa 3 n¾uds 27

A.2 tri6

int : triangle µa 6 n¾uds 27

A.3 quad4

int : quadrangle µa 4 n¾uds 28

A.4 quad8

int : quadrangle µa 8 n¾uds 28

A.5 quad9

int : quadrangle µa 9 n¾uds 29
29
30
32

Introduction

ments ¯nis.

Nous adopterons les hypothµeses suivantes :

1 Rappels

1.1 Hypothµese contraintes planes

Figure 1{

Un solide (¯gure

1 repµerefO;x;y;zg, tel qu'en tout pointMdu solide, le tenseur des contraintes soit de la forme :

T(M;~{)~T(M;~|)~T(M;~k)

composantes sur8 ~k2 4¾ xx¾xy0 yx¾yy0

0 0 03

5 (1.1)

Dans la formule (

1.1 ~T(M;~n)est le vecteur contrainte sur la facette~nenM. ["(M)] =2 4" xx1 2

°xy0

1 2

°xy"yy0

0 0"zz3

5 avec"zz=¡º E (¾xx+¾yy) +®¢T(1.2) f¾g= [D](f"g ¡ f"thg)(1.3) oµu : f"g=8 xx yy xy= 2"xy9 =8 >>>>>:@u @x @v @y @u @y +@v @x 9 >>>>>;(1.4)

La ¯gure (

Figure 2{

Transformation d'un rectangle in¯niment petit

f¾gest le vecteur contrainte : f¾g=8 xx yy xy9 (1.5) [D] =E

1¡º22

41º0

º1 0

0 0

1¡º

2 3 7

5(1.6)

f"thg=®¢T8 :1 1 09 (1.7) u(x;y;t) v(x;y;t)¾ (1.8) 8 :u(x;y;t) v(x;y;t) 09 (1.9) ["(M)] =2 4" xx1 2

°xy0

1 2

°xy"yy0

0 0 03

5 (1.10) Le tenseur des contraintes est alors de la forme : [¾(M)] =2 4¾ xx¾xy0 xy¾yy0

0 0¾zz3

5 avec¾zz=º(¾xx+¾yy)¡E ®¢T(1.11) f¾g= [D] (f"g ¡ f"thg)(1.12) oµu : f"g=8 xx yy xy= 2"xy9 =8 >>>>>:@u @x @v @y @u @y +@v @x 9 >>>>>;(1.13) f¾gest le vecteur contrainte : f¾g=8 xx yy xy9 (1.14) [D] =2

4¸+ 2¹ ¸0

¸ ¸+ 2¹0

0 0¹3

5 ; ¸=Eº (1 +º)(1¡2º); ¹=E

2(1 +º)(1.15)

f"thg=®¢T8 :1 1 09 (1.16) un champ de forces volumiques :ffVg=½fV x f

V y¾

v P¾ des forces surfaciques sur la frontiµere :S¾=S¡Su:ff¾g=½f¾x f

¾y¾

Figure 3{

Charges et conditions aux limites

fu(x;y;t)g=½u(x;y;t) v(x;y;t)¾ (2.1a) tel que : 8 @2u @t

2=@¾xx

@xquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Yves Debard

24 mars 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Rappels

1.1 Hypothµese contraintes planes

4.5 Problµemes particuliers

4.5.1 Problµeme stationnaire

4.5.2 Modes propres de vibration

5.1 Calcul des variations

6.1.2 Maillage conforme

6.2.1 Triangle µa 3 n¾uds

6.2.2 Triangle µa 6 n¾uds

6.2.3 Quadrangle µa 4 n¾uds

6.2.4 Quadrangle µa 8 ou 9 n¾uds

6.3.4 Calcul des matrices

6.3.5 Calcul des vecteurs

A Programmes Maple

A.1 tri3

A.2 tri6

A.3 quad4

A.4 quad8

A.5 quad9

Introduction

Nous adopterons les hypothµeses suivantes :

1 Rappels

1.1 Hypothµese contraintes planes

Figure 1{

Un solide (¯gure

T(M;~{)~T(M;~|)~T(M;~k)

0 0 03

Dans la formule (

°xy0

°xy"yy0

0 0"zz3

La ¯gure (

Figure 2{

Transformation d'un rectangle in¯niment petit

1¡º22

41º0

º1 0

1¡º

5(1.6)

°xy0

°xy"yy0

0 0 03

0 0¾zz3

4¸+ 2¹ ¸0

¸ ¸+ 2¹0

0 0¹3

2(1 +º)(1.15)

V y¾

¾y¾

Figure 3{

Charges et conditions aux limites

2=@¾xx