Chapitre 5 – Fonctions linéaires et affines
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé
Mathématiques
fonctions affines coefficient directeur
VARIATIONS DUNE FONCTION
Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg On dit que 625 est le maximum de la fonction .
FONCTIONS AFFINES – Chapitre 1/2
Partie 1 : Fonction affine fonction linéaire
Fonctions Fonctions linéaires affines et constantes
La première catégorie est constituée par les fonctions linéaires. Le nombre s'appelle le facteur de linéarité (ou coefficient de linéarité).
Fonctions affines inverse et carrée
Il s'agit du coefficient directeur m. Remarque : Cette formule du taux de variation est pratique pour calculer le coefficient directeur d'une fonction affine
Thème 3: Fonctions affines équations du 1er degré
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite comme nous allons l'observer sur l'exemple qui suit. Modèle 1 : Représenter graphiquement la
RAPPELS SUR LES FONCTIONS
6. III.5 Equations trigonométriques . La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine une équation de cette droite est y = ax + ...
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -
Programme de mathématiques de première générale
compétences réaliste et ambitieux
Fonctions affines, inverse et carrée
I Fonctions affines
Propriété :Variationsdes fonctions affines
Unefonction affineest définie parf:R-→R
x?-→mx+p. oùmetpsont des réels. ?mest appelécoefficient directeur. ?pest appeléordonnée à l"origine. ?Sim>0, elle eststrictementcroissantesurR. ?Sim<0, elle eststrictementdécroissantesurR. ?Sim=0, elle estconstantesur surR x mx+p m>0 -∞+∞x mx+p m<0-∞+∞ ?Sa courbe représentativeest unedroite. -4-3-2-1123 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 y=-2x+2y=1,5x+3Remarques :
?Sim=0, la fonction est constante. ?Sip=0, la fonction est ditelinéaire.Définition :Taux devariation
On appelletaux de variationd"une fonctionfentre deux nombresx1etx2le quotientf(x2)-f(x1)x2-x1.Pour une fonction affine, il est contant quels que soientx1etx2. Il s"agit du coefficient directeurm.
Remarque :
affine donnée graphiquement ou passant par des points particuliers.Exemple 1 :Étude d"une fonction affine
Soitfla fonction affine dont la courbe représentativepasse par les pointsA(5;10) etB(9;-2). Donner l"expression algébriquede cette fonction puis étudier ses variations et son signe.Correction :
La fonctionfest affine donc son expression algébriqueest de la forme :f(x)=mx+p.Il faut trouvermetp.
Pour trouver rapidement le coefficient directeurmon utilisela formule du taux de variation : m=f(x2)-f(x1) x2-x1oùx1=5 etf(x1)=10 et de mêmex2=9 etf(x2)=-2.Ainsi,m=-2-10
9-5=-124=-3.(Voir ce calcul sur le graphique suivant.)
1Fonctions affines, inverse et carrée
Il reste à trouverp:
L"expression algébrique defestf(x)=-3x+p.
On sait que la courbe représentative defpasse par le pointA(5;10). Cela signifie quef(5)=10.On obtient donc une équation : 10=-3×5+p.
10=-15+p
10+15=p
25=pAinsi, l"expression algébriquedefest :f(x)=-3x+25. Pour les variations, lecoefficient directeur est négatif doncfest décroissantesurR: x -3x+25 Pour le signe, il faut calculer l"antécédent de 0 : f(x)=0 -3x+25=0 -3x=-25 x=-25 -3=253. -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. -5. 5. 10. 15. 20. 25.
30.
0 4 -12A B Puisquefest décroissante, on obtient le tableau de signe suivant : x signe def(x)-∞253+∞ +0-
II Fonction inverse
Propriété :Variationsde la fonction inverse
Lafonction inverseest définie parf:R?-→R
x?-→1 x. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[. x 1 x -∞0+∞ ?Elle est symétrique par rapport à l"origine du repère. ?Sa courbe représentatives"appelle unehyperbole. -5-4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 02Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction inverse possède une valeur dite"interdite». La division par 0 étant impossible, 0 ne fait
pas partie de l"ensemble de définitionde la fonction inverse.2) Autre formulationde la variation de la fonction inverse :
Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.Six1 x1>1x2 Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire. Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
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Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d.Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7?Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite.Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carréeLafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 03Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire.Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR.Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 01. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoùCette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations.4Fonctions affines, inverse et carrée
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