RAPPELS SUR LES FONCTIONS PDF 6. III.5 Equations trigonomé

Chapitre 5 – Fonctions linéaires et affines

On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé

VARIATIONS DUNE FONCTION

Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg On dit que 625 est le maximum de la fonction .

FONCTIONS AFFINES – Chapitre 1/2

Partie 1 : Fonction affine fonction linéaire

Fonctions Fonctions linéaires affines et constantes

La première catégorie est constituée par les fonctions linéaires. Le nombre s'appelle le facteur de linéarité (ou coefficient de linéarité).

Fonctions affines inverse et carrée

Il s'agit du coefficient directeur m. Remarque : Cette formule du taux de variation est pratique pour calculer le coefficient directeur d'une fonction affine

Thème 3: Fonctions affines équations du 1er degré

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite comme nous allons l'observer sur l'exemple qui suit. Modèle 1 : Représenter graphiquement la

RAPPELS SUR LES FONCTIONS

6. III.5 Equations trigonométriques . La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine une équation de cette droite est y = ax + ...

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -

Programme de mathématiques de première générale

compétences réaliste et ambitieux

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RAPPELS SUR LES FONCTIONS

Table des matières

I Fonctions affines2

I.1 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

I.2 Signe deax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Tableaux de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

II Fonctions de référence3

II.1 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3

II.2 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3

II.3 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

II.4 Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4

IIIFonctions sinus et cosinus5

III.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

III.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

III.3 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3.1 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6

III.3.2 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

III.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 6

III.5 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 7

IVFonction polynôme7

IV.1 Fonction polynôme de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

IV.3 Racine d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8

IV.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8

IV.5 Identification des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

V Second degré9

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I Fonctions affines

I.1 Variations

Définition 1

aetbsont deux réels donnés. La fonction définie surRparf(x) =ax+best appelée fonction affine

, une

équation de cette droite esty=ax+boù :

Propriété 1

©Sia >0,fest croissante surR.

©Sia <0,fest décroissante surR.

©Sia= 0,fest constante surR.

Exemple 1

ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) = 3x+ 2est croissante. ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) =-2x+ 3est décroissante. ÔLa fonctionfdéfinie parf(x) = 5est constante.

I.2 Signe deax+b

Suivant le signe du coefficient directeura, on obtient lestableaux de signes suivants : a >0 x-∞ -b a+∞ signe deax+b-0 + a <0 x-∞ -b a+∞ variations+ 0-

I.3 Tableaux de signes

On utilise un tableau de signeslorsque l"on veut résoudre une inéquations composée d"unproduitou d"un

quotientde facteurs dans la première colonne, on met les différents fac- teurs de l"inéqua- tionon place en abscisses les solutions des équations x-∞ -5 2 +∞

2x-4-|-0 +

-x-5+ 0-|- (2x-4)(-x-5)-0 + 0- pour déterminer les co- lonnes, on résout les

équations

2x-4 = 0??x= 2

-x-5 = 0??x=-5

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles

S=]- ∞;-5]?[ 2;+∞[

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II Fonctions de référence

II.1 Fonction carré

Propriété 2

La fonction carré

définie surRparf(x) =x2de dérivéef?(x) = 2xest strictement décroissante sur ]- ∞;0] et strictement croissante sur [0;+∞[.

Tableau de variations :

x-∞0 +∞ f?(x)-0 + f? ? 0

Dans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représentative de la fonction carré est une parabolede sommetOqui

admet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire

II.2 Fonction inverse

Propriété 3

La fonction inverse

définie surR?parf(x) =1xde dérivéef ?(x) =-1xest strictement décroissante sur ]- ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.

Tableau de variations :

x-∞0 +∞ f?(x)--

0+∞

f?? -∞0

Dans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbolequi admet

l"origineOdu repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire

II.3 Fonction cube

Propriété 4

La fonction cube

définie surRparf(x) =x3, de dérivéef?(x) = 3x2est strictement croissante surR. http://nathalie.daval.free.fr-3-

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Tableau de variations :

x-∞0 +∞ f?(x)+ f0

La courbe de la fonction cube dans un repère orthogonal est une cubique, cette fonction est impaire.

II.4 Fonction racine carrée

Propriété 5

La fonction racine carrée

définie surR+parf(x) =⎷x, de dérivéef?(x) =-12⎷xest strictement croissante sur [O;+∞[.

Tableau de variations :

x0 +∞ f?(x)+ f? 0

II.5 Représentation graphique

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

12345678

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 f(x) =x2 f(x) =1x f(x) =x3 f(x) =⎷x http://nathalie.daval.free.fr-4-

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III Fonctions sinus et cosinus

III.1 Défintions

Définition 2

Soitxun réel, il lui correspond un unique pointMde(C)tel quexsoit une mesure en radians de(?-→OA,--→OM).

dex, notécosx, est l"abscisse deMdans le repère(O;-→i;-→j). dex, notésinx, est l"ordonnée deMdans le repère(O;-→i;-→j). cosxetsinxsont donc respectivement l"abs- cisse et l"ordonnée du pointMdans le repère (O;-→i;-→j)

On note :M

?cosx sinx M x cosxsinx

0-→

j -→i

Propriété 6

©cos

2x+ sin2x= 1

III.2 Valeurs remarquables

0 6 4 3 2 5π 6 3π 4 2π 3 7π 6 5π

44π

33π

11π

6 7π

45π

3 1

2⎷2

2⎷

3 20-1 2- ⎷2 2- ⎷3 21

2⎷

3 2 -1 2 ⎷2 2- ⎷3 2 x0π 6 4 3 2π sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 210
cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 201
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III.3 Variations et courbe représentative

III.3.1 Fonction sinus

Tableau de variations sur l"intervalle [0;π] de la fonction sinus et représentation graphique surR:

x0π2π 1 sin(x)? ? 0 0 1 -1 2πquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Table des matières

I Fonctions affines2

II Fonctions de référence3

IIIFonctions sinus et cosinus5

IVFonction polynôme7

V Second degré9

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I Fonctions affines

I.1 Variations

Définition 1

équation de cette droite esty=ax+boù :

Propriété 1

©Sia >0,fest croissante surR.

©Sia <0,fest décroissante surR.

©Sia= 0,fest constante surR.

Exemple 1

I.2 Signe deax+b

I.3 Tableaux de signes

2x-4-|-0 +

équations

2x-4 = 0??x= 2

S=]- ∞;-5]?[ 2;+∞[

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II Fonctions de référence

II.1 Fonction carré

Propriété 2

La fonction carré

Tableau de variations :

II.2 Fonction inverse

Propriété 3

La fonction inverse

Tableau de variations :

0+∞

II.3 Fonction cube

Propriété 4

La fonction cube

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Tableau de variations :

II.4 Fonction racine carrée

Propriété 5

La fonction racine carrée

Tableau de variations :

II.5 Représentation graphique

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

12345678

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III Fonctions sinus et cosinus

III.1 Défintions

Définition 2

On note :M

0-→

Propriété 6

©cos

2x+ sin2x= 1

©-1?cosx?1 et-1?sinx?1

III.2 Valeurs remarquables

44π

33π

11π

45π

2⎷2

2⎷

2⎷

2⎷

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III.3 Variations et courbe représentative

III.3.1 Fonction sinus