[PDF] Fonctions dérivables Aux points (?1) et 1





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Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

3.1 Fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction



FONCTION DERIVÉE

Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. Pour h ? 0 : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.



Fonctions dérivables

Aux points (?1) et 1 le graphe admet une tangente verticale



Dérivation des fonctions

Fonctions à valeurs complexes. 2. Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle.



Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

- La fonction x est continue sur [0 ;+õ[ ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur 



Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction

FONCTIONS DERIVABLES. 1. La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit.



Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??



Chapitre10 : Propriétés des fonctions dérivables

fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle de R. I Extremums de fonctions dérivables. Proposition : Soit f : I Ñ R



APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE

Définition 1. Soit I ? R un intervalle ouvert et soit f : I ? R une fonction. (1) Si f est continue on dit que f est de classe C0. (2) Si f est dérivable 



Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

Dérivées des fonctions usuelles Intervalles de dérivabilité ... (1) Une fonction constante est représentée par une droite de coefficient directeur ...

Fonctions dérivables

Peter Haïssinsky, Université d"Aix-Marseille

2015-2016

1 Introduction

La notion de dérivée permet de répondre à la question suivante : peut-on remplacer une fonction

numériquefpar une fonction affine au voisinage d"un point et avoir une bonne approximation? Soientf: I!Rune application définie sur un intervalle ouvert et prenonsa6=bdansI. Letaux d"accroissemententreaetbest définie par a;bf=f(b)f(a)ba:

On dit quefest dérivable au pointasi

lim b!aa;bfexiste; dans ce cas on écritf0(a)la limite : c"est ladérivée defau pointa.

Supposonsfdérivable enaet posons

"(h) =f(a+h)f(a)h f0(a):

On a donclimh!0"(h) = 0.

On obtient en re-écrivant cette identité

f(a+h) =f(a) +f0(a)h+h"(h): Réciproquement, s"il existe une constanteAet une fonction"telles quelimh!0"(h) = 0etf(a+h) = f(a) + Ah+h"(h)alors lim h!0f(a+h)f(a)h = limh!0(A +"(h)) = A:

On a montré :

Fait 1.1.-Une applicationfest dérivable au pointasi et seulement s"il existe une constanteAet une fonction"telle quelimh!0"(h) = 0et f(a+h) =f(a) + Ah+h"(h):

Dans ce cas, on af0(a) = A.

La droite passant par(a;f(a))et(b;f(b))a pour équation y=f(b)f(a)ba(xa) +f(a):

En faisant tendrebversa, la dérivabilité au pointaentraîne que la droite limite sera d"équationy=

f

0(a)(xa) +f(a).

Graphiquement, si la fonction est dérivable en un pointx0, on trace la droite d"équationy=f(x0)+

f

0(x0)(xx0)et on considère, pour" >0fixé les deux droites d"équationsy=f(x0)+(f0(x0)")(xx0)

qui forment un (double)-cône contenant la tangente. La dérivabilité au pointx0signifie que pourxassez

proche dex0, le graphe defest situé dans ce cône. 1 Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité2 Définition 1.2.-On dit quef: I!Rest dérivable surIsifest dérivable en tout point deI. On obtient alors une fonctionf0: I!R. On dit quefest continûment dérivable (ouC1) au pointa2Isi fest dérivable au voisinage deaetf0est continue au pointa. On dit quefest de classeC1dansIsif est continûment dérivable en chaque point deI.

1.1 Exemples

1.Sifest constante, alorsfest dérivable, mêmeC1, etf0(a) = 0.

En effet, on af(a+h) =f(a) + 0 + 0.

2.Sifest la restriction d"une application affinef(x) =ax+b, alorsfest de classeC1etf0(x) =a

pour toutx2U.

En effet, on af(x+h) =ax+b+ah+ 0, doncf0(x) =a.

3.Sif:x7!1=xsurRn f0g, alorsfest de classeC1etf0(x) =1=x2.

On calcule

x;x+hf=1x+h1x h =hh(x+h)x=1(x+h)x donc lim h!0x;x+hf=1x 2:

2 Propriétés locales

Après avoir mis en places des moyens pour établir la dérivabilité de fonctions compliquées, on étudie

quelques propriétés, notamment liées au problème du calcul des extrema.

2.1 Stabilité de la dérivation

Théorème 2.1.-Sif,gsont des fonctions continues et dérivables définies sur des intervallesIetJ

alors

1.pour tous;2R.f+gest dérivable de dérivéef0+g0surI\J;

2.fgest dérivable de dérivéefg0+f0gsurI\J;

3.gfest dérivable surI\f1(J)de dérivée(g0f)f0;

4.f=gest dérivable sur(I\J)n fx; g(x) = 0gde dérivée

f

0gfg0g

2;

5.pour tout entier relatifn2Z, la fonctionfnest dérivable de dérivée

nf0fn1;

Ce théorème implique notamment que tout polynôme est dérivable, ainsi que toute fraction ration-

nelle (rapport de polynômes), là où le dénominateur ne s"annule pas.

Démonstration. -

1.On écrit

(f+g)(a+h) =f(a+h) +g(a+h) =f(a) +f0(a)h+h"f(h) +g(a) +g0(a)h+h"g(h) = (f+g)(a) + (f0(a) +g0(a))h+h("f(h) +"g(h)):

Donc(f+g)0(a) =f0(a) +g0(a).

Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité3

2.On écrit

(fg)(a+h) = (f(a) +f0(a)h+h"f(h))(g(a) +g0(a)h+h"g(h)) = (fg)(a) +f(a)g0(a)h+g(a)f0(a)h+h[(f(a) +f0(a)h)"g(h)) + (g(a) +g0(a)h)"f(h))]:

3.On écrit

f(a+h) =f(a) +h(f0(a) +"f(h)) de sorte que (gf)(a+h) =g(f(a) +h(f0(a) +"(h))) = (gf)(a) +g0(f(a))h(f0(a) +"f(h)) +h(f0(a) +"f(h))"g(h(f0(a) +"f(h))) = (gf)(a) +g0(f(a))f0(a)h+h["f(h) + (f0(a) +"f(h))"g(h(f0(a) +"f(h)))]:

On vérifie que

limh!0"f(h) + (f0(a) +"f(h))"g(h(f0(a) +"f(h))) = 0:

4.Pourf=g, on applique la formule du produit et la formule de composition àx7!(1=x)etg. Du coup

fg 0 (a) =f0(a)g(a)+f(a)1g 0 (a) =f0(a)g(a)+f(a)g0(a)g(a)2 =f0(a)g(a)f(a)g0(a)g(a)2:

5.On considère l"applicationg(x) =xnet on montre par récurrence surjnjqueg0(x) =nxn1. Le cas

n= 0etjnj= 1ont déjà été traité. Si la formule est vrai au rangn,n1, alors dx (n+1)dx =dxndx x1+xndx1dx =nxn1x1+xn(1)x11=(n+ 1)x(n+1)1:

Par la formule de composition, on obtient donc

dfndx =nf0fn1:2.2 Autres propriétés élémentaires Soientf:R!Rune fonction numérique eta2D(f). On appelledérivées à droite et à gauche, quand elles existent, les limites 8>>>< >>:f

0d(a) = lim

h!0+f(a+h)f(a)h f

0g(a) = lim

h!0f(a+h)f(a)h

Par exemple, la fonctionf:x7! jxjn"est pas dérivable en zéro, mais admet des dérivées à droite et

à gauche :8>>><

>>:lim h!0+f(h)f(0)h = lim h!0+hh = 1 lim h!0f(h)f(0)h = lim h!0hh =1:

Proposition 2.2.-Une fonction est dérivable au pointasi et seulement si les dérivées à droite et à

gauche existent et coïncident. Dans ce cas, on af0(a) =f0d(a) =f0g(a).

Démonstration. -Sifest dérivable au pointa, alors on a bienf0(a) =f0d(a) =f0g(a). Réciproque-

ment, si les dérivées à droite et à gauche existent et coïncident, alors la limite du taux d"accroissement

existe etf0(a) =f0d(a) =f0g(a). Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité4 Proposition 2.3.-Une applicationf: I!Rqui est dérivable au pointaest aussi continue au point a.

Démonstration. -En effet, on a

jf(x)f(a)j (jf0(a)j+j"(xa)j) jxaj:Définition 2.4 (extremum local).-Soientf:R!Rune fonction eta2D(f). Le pointaest un

maximum local s"il existe >0tel que, pour toutx2D(f)\]a;a+[, on af(x)f(a); on parle de maximum local strict sif(x)< f(a)pourx6=a. De même, le pointaest un minimum local s"il existe >0tel que, pour toutx2D(f)\]a;a+[, on af(x)f(a); on parle de minimum local strict si f(x)> f(a)pourx6=a. Un extremum local est un maximum ou minimum local. Proposition 2.5.-Sif: I!Radmet un extremum local au pointa2Iet sifest dérivable au point aalorsf0(a) = 0. Démonstration. -Sans perte de généralité, on peut supposer queaest un maximum local. Du coup, il existe >0tel quef(x)f(a)pour toutx2]a;a+[. Si00, on obtient ainsi f

0(a) "(h). En prenant la limite à droite quandhtend vers zéro, il vientf0(a)0. En considérant

h <0, on montre de mêmef0(a)0. Par conséquent,f0(a) = 0.3 Propriétés globales

Les propriétés globales des fonctions dérivables reposent essentiellement sur le théorème des accrois-

sements finis qui relient taux d"accroissement et dérivées. On applique ce théoème aux variations et on

étudie les fonctions réciproques.

3.1 Théorème des accroissements finis

Théorème 3.1 (Rolle).-Soienta;b2Rtels quea < betf: [a;b]!Rune application continue, dérivable sur]a;b[. Sif(a) =f(b)alors il existec2]a;b[tel quef0(c) = 0. Démonstration. -Comme[a;b]est compact, la fonctionfatteint ses bornes. Si elle est constante, n"importe quel pointc2]a;b[convient; sinon, commef(a) =f(b)un des extrema def, que l"on notera

c, n"est nianib. Doncc2]a;b[etf0(c) = 0d"après la proposition 2.5.Théorème 3.2 (des accroissements finis).-Soienta;b2Rtels quea < betf: [a;b]!Rune

application continue, dérivable sur]a;b[. Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba).

Démonstration. -On applique le théorème de Rolle à la fonction auxiliaireg: [a;b]!Rdéfinie par

g(t) =f(t)(ba)(f(b)f(a))t.Corollaire 3.3 (inégalités des accroissements finis).-Soitf: [a;b]!Rune application continue

sur[a;b]et dérivable sur]a;b[,a < b.

1.S"il existeM2Rtelle quef0(x)Mpour toutx2]a;b[alorsf(b)f(a)M(ba).

2.S"il existem2Rtelle quef0(x)mpour toutx2]a;b[alorsf(b)f(a)m(ba).

3.S"il existek0telle quejf0(x)j kpour toutx2]a;b[alorsjf(b)f(a)j k(ba).

Démonstration. -Le théorème des accroissements finis implique l"existence dec2]a;b[tel que f(b)f(a) =f0(c)(ba).

1.S"il existeM2Rtelle quef0(x)Mpour toutx2]a;b[alorsf0(c)Metf(b)f(a)M(ba).

2.S"il existem2Rtelle quef0(x)mpour toutx2]a;b[alorsf0(c)metf(b)f(a)m(ba).

3.S"il existek0telle quejf0(x)j kpour toutx2]a;b[alorsjf0(c)j ketjf(b)f(a)j k(ba).

Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité5Corollaire 3.4.-Soienta;b2Rtels quea < betf: [a;b]!Rune application continue sur[a;b]et

dérivable sur]a;b[. Sif0(x) = 0pour toutx2]a;b[alorsfest constante.

Démonstration. -Le théorème des accroissements finis implique l"existence pour toutx2[a;b]de

c2]a;x[tel quef(x)f(a) =f0(c)(xa) = 0. Doncf(x) =f(a)etfest constante.Remarque 3.5.-Ce corollaire s"applique en particulier sous la forme suivante : sif;g: I!Rsont

des fonctions dérivables définies sur un intervalleIcontenant un pointaet sif0g0alorsf(x)f(a) =

g(x)g(a)pour toutx2I. Théorème 3.6 (Darboux).-Sif: I!Rest dérivable, alorsf0(I)est un intervalle. Démonstration. -Rappelons que l"ensemblef0(I)est un intervalle s"il contient[;]dès que;2 f

0(I), avec < . Soienta < bdeux points deI. On va montrer quef0(I)contient toutes les valeurs

comprises entref0(a)etf0(b).

Le théorème des accroissements finis nous dit que tout taux d"accroissement est la valeur def0en

un point donné. Cela nous permet de palier au manque de continuité def0par la continuité du taux

d"accroissement.

Posons d"abord

'(t) =f(t)f(a)ta qui est bien définie et continue sur]a;b]. Commefest dérivable au pointa, on a lim t!a+'(t) =f0(a) donc on peut prolonger continûment'au pointaen posant'(a) =f0(a). Comme'est continue sur

[a;b], le théorème des valeurs intérmédiaires implique que'([a;b])est un intervalleJaqui contientf0(a)

et(a;b)f. Or le théorème des accroissements finis affirment que chaque point deJaest la dérivée defen

un point de[a;b]impliquantJaf0([a;b]).

De même, posons

(t) =f(b)f(t)bt qui est bien définie et continue sur[a;b[et qui se prolonge en une application continue : [a;b]!R

en posant (b) =f0(b)carfest dérivable au pointb. Comme est continue sur[a;b], le théorème des

valeurs intérmédiaires impliquent que ([a;b])est un intervalleJbqui contientf0(b)et(a;b)fet qui est

contenu dansf0([a;b]).

Par conséquent,

1.Ja[Jbest un intervalle puisqu"ils ont(a;b)fen commun;

2.il contient toutes les valeurs entref0(a)etf0(b)puisquef0(a);f0(b)2Ja[Jb.Remarque 3.7.-Comme la dérivée d"une fonction dérivable n"est pas forcément continue (pensez à

x7!x2sin(1=x)prolongée par0en0), on en déduit qu"une application qui vérifie le théorème des valeurs

intermédiaires n"est pas forcément continue.

3.2 Variations d"une fonction dérivable

Une applicationf: I!Rest croissante sixx0entraînef(x)f(x0). On dit quefest strictement

croissante si on a des égalités strictes. De même,fest décroissante sixx0entraînef(x)f(x0). On

dit quefest strictement décroissante si on a des égalités strictes. Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité6 Proposition 3.8.-Soitf: I!Rune application continue et dérivable.

1.La fonctionfest croissante si et seulement sif0(x)0pour toutx2I. Sif0>0, alorsfest

strictement croissante.

2.La fonctionfest décroissante si et seulement sif0(x)0pour toutx2I. Sif0<0, alorsfest

strictement décroissante.

3.La fonctionfadmet un extremum local en un pointx02Is"il existe >0tel que]x0;x0+[I

et si les restrictionsf0j]x0;x0[etf0j]x0;x0+[sont de signe constant et opposé. Démonstration. -Soienta < bdeux points deI. Le théorème des accroissements finis implique l"existence dec2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba). Sif0(x)0pour toutx, alorsf(b)f(a)0doncfest croissante. De plus, sif0(x)>0pour toutx, alorsf(b)f(a)>0, doncfest strictement croissante. Réciproquement, supposonsfcroissante. Alors, sia < b, on af(a)f(b)donc f(b)f(a)ba0etf0(a) = limb!af(b)f(a)ba0: De même, sif0est de signe négatif ou sifest décroissante. Soitx02I. Supposons qu"il existe >0tel que]x0;x0+[Iet que les restrictions vérifient f

0j]x0;x0[0etf0j]x0;x0+[0. Dans ce cas,fest croissante sur]x0;x0[, doncf(x)f(x0)

pourx2]x0;x0[etfest décroissante sur]x0;x0+[, doncf(x0)f(x)pourx2]x0;x0+[. Par conséquent, on af(x)f(x0)pourx2]x0;x0+[etx0est un maximum local. Dans le cas contraire, on montre quex0est un minimum local.3.3 Fonctions réciproques Soitf: I!Rune fonction numérique définie sur un intervalleIque l"on suppose continue et

dérivable. Cette fonction est injective si elle est strictement monotone. Dans ce cas, elle définit une

bijectionf: I!J =f(I). Notonsg: J!Isa transformation réciproque.

Si le graphe defest

G f=f(x;f(x)); x2Ig; alors celui degest G g=f(f(x);x); x2Ig: il est donc symétrique par rapport à la droite d"équationy=x. On en déduit quegest continue. Par ailleurs, dire quefest dérivable en un pointx0signifie que G fadmet une tangente d"équation y=f(x0) +f0(x0)(xx0) qui est en particulier non verticale. Par conséquent, la fonctiongsera dérivable enf(x0)si la tangente au point(f(x0);x0)est non

verticale, ce qui, par symétrie, signifie que la tangente deGfau point(x0;f(x0))est non horizontale : la

fonctiongest donc dérivable enf(x0)si et seulement sif0(x0)6= 0. Dans ce cas, on trouve l"équation de

la tangente àGg, en manipulant celle deGf: x=yf(x0)f

0(x0)+x0:

En effectuant la symétrie par rapport à la première bissectrice, on trouve l"équation y=xf(x0)f

0(x0)+x0:

En particulierg0(f(x0)) = 1=f0(x0).

Par conséquent, on aurag0(x) = 1=f0(g(x))pour toutx2J. Nous avons établi : Université d"Aix-Marseille, 2015-2016, cours d"analyse 1, CUPGE, Dérivabilité7

Théorème 3.9.-Sif: I!Rest continue et dérivable, de dérivée ne s"annulant pas et de signe

constant, alors il existe une transformation réciproquef1:f(I)!I, continue et dérivable, de dérivée

(f1)0(x) =1f

0(f1(x)):

3.3.1 Fonction cosinus inverse

La fonctioncos : [0;]![1;1]définit une bijection. On notearccos : [1;1]![0;]son inverse. Elle est dérivable sur]1;1[et sa dérivée vérifie arccos

0x=1sinarccosx:

Orsin2+cos2= 1, donc

sin

2(arccosx) = 1cos2(arccosx) = 1x2:

Or, pourx2[0;], on asinx0, donc

sinarccosx=p1x2 et on trouve arccos(x) =1p1x2: Aux points(1)et1, le graphe admet une tangente verticale, doncarccosn"est pas dérivable. Attention. -La fonctionarccosne prend ses valeurs que dans l"intervalle[0;]. Donc pour toutx2 [1;1],cosarccos(x) =x, mais on n"a pas toujoursarccoscos(x) =x, seulement pour les valeurs dex dans[0;].

3.3.2 Fonction sinus inverse

La fonctionsin : [=2;=2]![1;1]définit une bijection. On notearcsin : [1;1]![=2;=2]quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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