Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
3.1 Fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction
FONCTION DERIVÉE
Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. Pour h ? 0 : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Fonctions dérivables
Aux points (?1) et 1 le graphe admet une tangente verticale
Dérivation des fonctions
Fonctions à valeurs complexes. 2. Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle.
Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
- La fonction x est continue sur [0 ;+õ[ ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur
Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée dune fonction
FONCTIONS DERIVABLES. 1. La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit.
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
Chapitre10 : Propriétés des fonctions dérivables
fonctions dérivables. Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle de R. I Extremums de fonctions dérivables. Proposition : Soit f : I Ñ R
APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE
Définition 1. Soit I ? R un intervalle ouvert et soit f : I ? R une fonction. (1) Si f est continue on dit que f est de classe C0. (2) Si f est dérivable
Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
Dérivées des fonctions usuelles Intervalles de dérivabilité ... (1) Une fonction constante est représentée par une droite de coefficient directeur ...
Dérivation des fonctions
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée3Dérivation d"ordre supérieurDérivées successives
ClasseCnOpérations
4Convexité d"une fonction
Fonctions convexes
Point d"inflexion
5Compléments
Règle de L"Hospital
Sommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Dans ce qui suit, sauf indication contraire,Idésigne un intervalle deRnonréduit à un point,fune application deIdansRetx0un point deI.Définition 1.1 (Dérivabilité)
Pour tout x?I\{x0}, on appelletaux d"accroissement defffentrex0x0x0etxxx le rapportτx0(x) =f(x)-f(x0)x-x0. On dit que f estdérivable enx0x0x0si l"applicationτx0admet une limitefinieen x0.On note alors cette limite f
?(x0)f?(x0)f?(x0)et on l"appelle lenombre dérivé defffenx0x0x0: f ?(x0) = limx→x0x?=x0f(x)-f(x0)x-x0= limh→0 h?=0f(x0+h)-f(x0)h Si x0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une
limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.11. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Corollaire 1.2 (Dérivabilité=?=?=?continuité)Si une fonction f estdérivableen x0alors f estcontinueen x0.
Attention, laréciproquede cette implication estfausse. Par exemple, pourf(x) =|x|et x0=0, la fonction f estcontinuemaispas dérivableen x0.Exemple 1.3 (Fonction puissance)
Soitn?N,f(x) =xnetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) =nxn-1 0:0-→x→x0nxn-1
0; f(x0+h)-f(x0)h =(x0+h)n-xn0h =n 1 x n-1 0+n 2 x n-20h+···+n
n h n-1-→h→0nxn-10.Exemple 1.4 (Fonction sinus)
Soitf(x) = sinxetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) = cosx0.En effet, à l"aide delimh→0sinhh
=1 etlimh→0cosh-1h =0 : f(x)-f(x0)x-x0=sinx-sinx0x-x0=2cosx+x02 sinx-x02 x-x0-→x→x0cosx0; +cosx0sinhh h→0cosx0.21. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite
Définition 1.5 (Dérivabilité à gauche, à droite) On dit que f estdérivable à gauche enx0x0x0(resp.dérivable à droite enx0x0x0) lorsque x0admet une limitefinieà gauche en x0(resp. une limitefinieà droite en x0).On note alors f
?g(x0) = lim x→x-0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim
x→x+0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6
Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:
f estdérivableen x0ssi f estdérivable à gauche et à droiteen x0et f ?g(x0)=f?d(x0).On a alors f
?(x0) =f?g(x0) =f?d(x0).Exemple 1.7 (Valeur absolue)Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.
On a f(x)-f(0)x +1 six>0 -1 six<0puislim x→0+f(x)-f(0)x =+1,lim x→0-f(x)-f(0)x =-1. Ainsifest dérivableà droite et à gaucheen 0 :f?d(0) = +1 etf?g(0) =-1, maisf?g(0)?=f?d(0)doncfn"estpasdérivable en 0.31. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Définition 1.8 (Tangente)
On munit le plan d"un repère orthonormal.
1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite
d"équation y=f?(x0)(x-x0) +f(x0)est appeléetangenteà la courbe représentative de f au point d"abscisse x 0.C"est la position limite descordesreliant
un point de la courbe M(x,f(x))au point M0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x
0xf(x0)f(x)M
0MDans le cas d"unedérivabilitéde f
uniquementà gauche ou à droiteen x0, on parle dedemi-tangente.2Dans le cas oùlim x→x-0ou x+
0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative
de f admet unedemi-tangente verticaleen x0.3Si f estcontinueen x0etdérivable à gauche et à droiteen x0avec f?g(x0)?=f?d(x0)
on dit que la courbe représentative de f admet unpoint anguleuxen x0.41. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Proposition 1.9 (Approximation affine)
Supposons fdérivableen x0. Alors il existe une applicationεdéfinie dans un voisinage de x0aveclimx0ε=0telle que
au voisinage de x0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x
0M0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f
0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C
fT La droiteTd"équation y=f(x0) +f?(x0)(x-x0)est latangenteà la courbe représentativeCfde f (cf. Définition1.8 ). Remarque :la relation f(x) =x→x0f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x)est appelée développement limité d"ordre 1 defffenx0x0x0(cf. chapitre " Développements limités »).51. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Exemple 1.10 (Raccord dérivable)
Soitf(x) =(
x2six61, -x2+4x-2 six>1. fest continue surR; on af(x)-f(1)x-1=( x+1 six<1, -x+3 six>1, puislimx→1 x<1f(x)-f(1)x-1= limx→1 x>1f(x)-f(1)x-1=2; doncfest dérivable à droite et à gauche en 1 et f ?g(1)=f?d(1)=2. Ainsifest dérivable en 1 etf?(1)=2; la courbe admet la droite d"équationy=2x-1 pourtangenteau point de coordonnées(1,1).xf(x)11 Exemple 1.11 (Fonctions non dérivables en un point)1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x
donc la courbe admet unetangente verticaleen l"origine.xy y=3px2Soith(x) =|sinx|. On alim
x→0±h(x)-h(0)x =±1 donc la courbe admet unpoint anguleuxen l"origine.xy y=jsinxj 61. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes
On peut étendre la notion de dérivabilité aux fonctions definies surRà valeursdansCen utilisant les limites complexes des fonctions deRdansC.Proposition 1.12 (Dérivée d"une fonction à valeurs complexes)
Soit f une fonction de I dansCtelle que f(x) =f1(x) +if2(x), où f1et f2sont deux fonctions de I dansRet x0?I.La fonction f est dérivable en x
0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors
f ?(x0) =f?1(x0) +if?2(x0).Proposition 1.13 (Dérivation de l"exponentielle complexe) Rappelons que pour tout z=a+ib?C,ez=ea(cosb+isinb)(exponentielle complexe). Soitλ?Cet f définie par?x?R,f(x) =eλx. Alors ?x?R,f?(x) =λeλx.7Sommaire
1Dérivabilité en un point
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Définition 2.1 (Dérivabilité sur un intervalle) On dit qu"une fonction f estdérivable sur un intervalle Ilorsque f est dérivable en tout point de I. On note f?lafonction dérivéede f qui à tout x?I associe f?(x).Proposition 2.2 (Addition, multiplication, division)
Soit f et g deux fonctionsdérivablessur un intervalle I etλ?R. Les fonctionsλf , f+g, f×g sont alorsdérivablessur I et l"on a :Si g ne s"annule pas sur I,
fg est aussidérivablesur I etfg =f?g-fg?g2.Exemple 2.3 (Fonctions homographiques)
Soita,b,c,d?R,cétantnon nul.On définit la fonctionfpar f(x) =ax+bcx+d.Son ensemble de définition estDf=R\{-dc
La fonctionfestdérivablesurDfcomme quotient de fonctions dérivables et f ?(x) =ad-bc(cx+d)2. Remarque :fest constante ssi les couples(a,b)et(c,d)sont proportionnels.82. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Proposition 2.4 (Composition)
Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dansR. Si f estdérivablesur I et g estdérivablesur J alors g◦f estdérivablesur I et l"on a laformule de dérivation d"une fonction composée: (g◦f)?=f?×(g?◦f).Exemple 2.5 (Composées usuelles)Lorsque les conditions le permettent, on a :
•(ef)?=f?ef•(ln|f|)?=f?f •(fα)?=αf?fα-12fRemarque 2.6
Les conditionsfetgdérivables sontsuffisantesmaisnon nécessairespour queg◦fsoit dérivable.Par exemple, soitaetbdeux réels et
f(x) =axsix60 bxsix>0etg(x) =bxsix60 axsix>0. La fonctionh=f◦g=g◦fest définie parh(x) = (ab)x. Ainsi, lorsquea?=b,fetgnesontpasdérivables en 0 alors quehl"est.xyy=f(x)y=g(x)y=(gf)(x)O 92. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque
Théorème 2.7 (Dérivation d"une bijection réciproque) Soit f une applicationcontinue et strictement monotonesur un intervalle I. Elle induit unebijectionde I sur f(I)que l"on notera encore f .xy ax0bf(a)y
0f(b)f
0(x0)ax
0b f(a)y0f(b)1
f 0(x0) y=f(x)y=f1(x)1Supposons fdérivableen x0?I.Si f?(x0)?=0alors f-1estdérivable
en y0=f(x0)et l"on a
f-1?(y0) =1f ?(x0)=1f ?(f-1(y0)).Si f?(x0) =0alors f-1n"estpas
dérivableen y0=f(x0)et sa courbe représentative présente une (demi-)tangente verticaleau point d"abscisse yAlors f
-1est dérivable en y0=f(x0), (f-1)?(y0) =0et sa courbe représentative présente unetangente horizontaleau point d"abscisse y0.102. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque
Exemple 2.8 (Fonctions trigonométriques réciproques) arcsinest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arcsin?(x) =1⎷1-x2. arccosest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arccos?(x) =---1⎷1-x2. arctanest dérivable surRet ?x?R,arctan?(x) =11+x2.xy 22y= tanx
2 2 y= arctanxxy 11 y= cosx11y= arccosxxy
2 211y= sinx
2 211y= arcsinx11
2. Dérivabilité sur un intervallec) Extremum d"une fonction
Définition 2.9 (Extremum)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0?I.1On dit que f admet unmaximum local(resp. unminimum local) en x0s"il
existe un réelα >0tel que : ?x?]x0-α,x0+α[∩I,f(x)6f(x0) (resp.f(x)>f(x0))Un maximum ou un minimum local est appelé unextremum local.2On dit que f admet unmaximum global(resp. unminimum global) sur I en
x0lorsque :?x?I, f(x)6f(x0)(resp. f(x)>f(x0)).Proposition 2.10 (Condition nécessaire d"extremum)
Soit f une fonctiondérivablesur un intervalle I et x0?I quin"estpasune borne de I. Sif possède unextremum localen x0alorsf?(x0) =0.Remarque 2.11 (Point critique) Lorsquef?(x0) =0 on dit quex0est unpoint critiquede f. Attention, laréciproquede la proposition2.10 est fausse : un point critiquen"est pas nécessairementun extremum.Par exemple,f(x) =x3etx0=0.xx
3 122. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Théorème 2.12 (Théorème de Rolle)
Soit f: [a,b]-→Rune fonction telle que
f estcontinuesur[a,b]; f estdérivablesur]a,b[; f(a) =f(b).Alors?c?]a,b[tel que f?(c) =0.xf(x)abcf(a)=f(b)
Remarque 2.13
Les hypothèses "festcontinuesur[a,b]etdérivablesur]a,b[» sont équivalentesà "fdérivablesur]a,b[etcontinueenaetb.»
•Il n"est pas nécessaire de supposer fdérivable enaou/etb.xf(x)cabf(a)=f(b)Il peut y avoir une infinité de réelsc
tels quef?(c) =0.xf(x)abf(a)=f(b) 132. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Remarque 2.14 (Contre-exemples)
Le théorème peut être mis en défaut lorsqu"une hypothèse n"est pas satisfaite.xf(x)abf(a)=f(b)
fdiscontinueaux bornes de l"intervalle,f?ne s"annule pas.xf(x)abf(a)=f(b) fnon dérivableen un point à l"intérieur de l"intervalle,f?ne s"annule pas.Remarque 2.15 Le théorème de Rollenes"étendpasaux fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonctionf:[0,2π]-→Cdéfinie parf(t)=eitest dérivable sur[0,2π], satisfaitf(0) =f(2π)alors que sa dérivée,f?(t) =ieit, ne s"annule pas.142. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle
Théorème 2.16 (Théorème de Rolle généralisé(facultatif))1Soit f:[a,+∞[-→Rune fonction telle que
f estcontinuesur[a,+∞[;quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les fonctions dérivés
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