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Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 1

I. Expressions algébriques, équations

a) Développement - factorisation

Développer

Développer un produit, c"est l"écrire sous forme d"une somme. Réduire une somme, c"est l"écrire avec le moins de termes possibles.

Exemple :

Développer et réduire l"expression A(x) = 4

5 )))x - 1

2 (x - 2)

A(x) =

4 5 )))x² -2x - x

2 + 1 = 4

5 )))x² - 5x

2 + 1 = 4

5 x²- 2x + 4 5

Factoriser

Factoriser une expression, c"est l"écrire sous forme d"un produit.

Exemple :

Factoriser l"expression B(x) = (3x - 1)(2x + 4) - (x - 5)(3x - 1)

B(x) = (3x - 1)(2x + 4 - x + 5) = (3x - 1)(x + 9)

Identités remarquables

on développe (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a - b)(a + b) = a² - b² on factorise

Exemples :

1. Développer à l"aide d"une identité remarquable :

Développer C(

x) = (2x + 4)² - (4x - 6)(4x + 6). C(x) = 4x² + 16x + 16 - 16x² + 36 = - 12x² + 16x + 52

2. Factoriser à l"aide d"une identité remarquable :

Factoriser D(

x) = (x - 1)² - 9 puis E(x) = 2x² + 8x + 8

D(x) = (x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)

E(x) = 2(x²+4x+4)=2(x+2)²

Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 2

3. Ecrire sous la forme d"un quotient :

F(x) =

x + 3 x - 1 - x + 1 x + 2 On réduit les fractions au même dénominateur : un dénominateur commun à (x - 1) et (x + 2) est (x - 1)×(x + 2).

Donc F(x) =(x + 3)×(x + 2)

(x - 1)(x + 2) - (x + 1)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

F(x) =

x² + 2x + 3x + 6 (x - 1)(x + 2) - x² - 1 (x + 2)(x - 1)

F(x) =

x² + 5x + 6 - x² + 1 (x - 1)(x + 2)

F(x) =

5x + 7

(x - 1)(x + 2) b) Equations

Egalité

Une égalité est une affirmation utilisant le signe " = » et qui ne peut être que vrai ou

fausse. Les identités remarquables sont des égalités.

Equation

Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu. Résoudre une équation, c"est trouver toutes les valeurs possibles de l"inconnue telles que l"égalité soit vraie.

On détermine ainsi l"ensemble des solutions.

Exemple

: 6 est solution de l"équation 2 + x = 8 car l"égalité 2 + 6 = 8 est vraie.

Résolution algébrique d"une équation

Règle du produit nul

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l"un des facteurs est nul : A

´ B = 0 ÛA = 0 ou B = 0

Règle du quotient nul

Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul, mais pas le dénominateur : N D = 0 ÛN = 0 et D ≠ 0 Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 3

Exemples :

Résoudre (x + 4)(5 -7x) = 0

x + 4 = 0 ou 5 - 7x = 0 x = -4 ou x = 5 7 S = ???-4; 5 7

Résoudre

4x + 1

x + 2 = 0

4x + 1 = 0 et x + 2

¹ 0

x = - 1 4 et x = -2 S = ???- 1 4 Résolution d"une équation du premier degré

Règles

Lorsqu"on ajoute ou que l"on retranche un même réel aux deux membres d"une équation, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions. Lorsqu"on multiplie ou que l"on divise chaque membre d"une équation par un même réel différent de 0, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions.

Exemple :

Résoudre l"équation : 3

x - 4(3 + x) + 5(2x - 1) = 5 - x

3x -12 - 4x + 10x - 5 = 5 - x

9x - 17 = 5 - x

9x + x = 5 + 17

10x = 22

x = 2,2 Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 4

II Définir une fonction

a) Ensemble ? et intervalles L"ensemble des abscisses des points d"une droite graduée est appelée l"ensemble des nombres réels. On note ? l"ensemble de tous ces nombres.

Remarques

· On note ? l"ensemble des nombres entiers naturels (positifs). · On note ? l"ensemble des nombres entiers relatifs (positifs ou négatifs). Certaines parties de ? sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets. a et b sont deux réels tels que a < b. Le tableau ci-dessous résume les différents types d"intervalles.

L"intervalle noté

est l"ensemble des réels x tels que ...

Représentation

de cet intervalle sur une droite graduée [a ; b] a £ x £ b ]a ; b[ a < x < b ]a ; b] a < x £ b [a ; b[ a £ x b

Vocabulaire:

[a ; b], ]a ; b[,]a ; b] et [a ; b[ sont des intervalles d"extrémités a et b (a b). Le centre de l"intervalle est le nombre a + b

2, et sa longueur est b - a.

Remarques :

-¥ (moins l"infini) et +¥ (plus l"infini) ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Du côté de - ¥ et de +¥, le crochet est toujours ouvert, par convention.

L"ensemble des réels ? se note aussi ]-

[a ;a] = {a} ]a ;a[ =

AE (ensemble vide)

Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 5

Réunion et intersection d"intervalles

L"intersection de deux intervalles est l"ensemble des nombres réels appartenant à la fois aux deux intervalles. Le symbole utilisé pour l"intersection de deux intervalles est ?. L"intersection des intervalles A et B se note A ? B (on lit "A inter B"). La réunion de deux intervalles est l"ensemble des nombres réels appartenant à l"un ou l"autre de ces intervalles (les éléments de l"intersection appartiennent aussi à la réunion). Le symbole utilisé pour la réunion de deux intervalles est ?. La réunion des intervalles A et B se note A ? B (on lit "A union B"). x ? A ? B ? x ? A et x ? B x ? A ? B ? x ? A ou x ? B

Exemples :

· [2 ; 5] ∩ [4 ; 6] = [4 ; 5] et [2 ; 5] ? [4 ; 6] = [2 ; 6].

· ]-¥ ; 2] ∩ [-1 ; +¥[ = [-1 ; 2] et ]-¥ ; 2] ? [-1 ; +¥[ = ]-¥ ; +¥[ = 3

b) Vocabulaire des fonctions

D est une partie de l"ensemble des réels.

Lorsque, à chaque réel x de D on associe un seul réel y, on définit une fonction sur l"ensemble D.

Vocabulaire et notation

o D est l"ensemble de définition de la fonction f. o x est la variable. o L"image d"un réel x de D est notée f(x) (lire " f de x »). o x est un antécédent de y

Exemple :

f est la fonction définie sur

Y par f(x) = x² - 3

o 5 a pour image f(5) = 25 - 3 = 22 o -3 a pour image f(-3) = 9 - 3 = 6 Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 6 Exemple 1 : Une fonction f définie par un graphique L"ensemble de définition de f est l"intervalle [-3;2].

Le nombre -3 a pour image -1, donc f(-3) = -1.

Exemple 2

: Une fonction g définie par un tableau

Nombre x -4 -1 0 2 3

Image g(x) 5 4 1 2 4

L"ensemble de définition de g est D = {-4;-1;0;2;3}.

Le nombre 0 a une seule image 0.

g(-1) = 4 et g(3) = 4 donc les antécédents de 4 par g sont -1 et 3.

Exemple 3

: Une fonction h définie par une formule La fonction h associe à un nombre réel x quelconque, le nombre h(x) = 2x² - 3.

L"ensemble de définition de h est ?.

On peut aussi écrire : h : x ? 2x² - 3.

Pour calculer l"image de -5, on remplace x par -5 dans l"expression de h(x) : h(-5) = 2×(-5)² - 3 = 47.

III Courbes et résolutions graphiques

a) Courbe représentative d"une fonction f est une fonction définie sur D. Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f est l"ensemble des points M(x ;y) tels que : o L"abscisse x décrit l"ensemble de définition D. o et l"ordonnée y est l"image de x par f.

Autrement dit, x Î D et y = f(x)

Vocabulaire

On dit que la courbe

C a pour équation y = f(x) dans le repère choisi. Seconde Cours fonctions, expressions algébriques 7 k

Exemple 1

f est la fonction définie par f(x) = -x² + 3x

Voici sa courbe

P représentée dans un repère.

Le point A(2;2) appartient à

P car f(2) = -2² + 3×2 = 2

Le point B(-1;-6) n"appartient pas à

P. car f(-1) = -(-1)² + 3×(-1) = -1 - 4 = -5

Exemple 2

g est la fonction définie sur ? par f(x) = k où k est un nombre donné.

Cette fonction affine est dite constante.

Sa courbe est la droite d"équation y = k représentée ci- contre. b) Résolution graphique d"équations Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.

Equation f(x) = k (avec k réel)

Les solutions sont les abscisses des

points d"intersection de C f avec la droite d"équation y = k. Equation f(x) = g(x)

Les solutions sont les abscisses des points

d"intersection des deux courbes C f et Cg.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46