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Définition de Fonction

On trouve dans les livres d'histoire des mathématiques, des tables de valeurs qui montrent une relation. On peut dire que l'idée de relation fonctionnelle en termes de tableaux de valeurs ont apparu tôt dans le développement de la mathématique. Par exemple, avec la culture Babylonienne 2000 ans avant J.C.

Différents représentations avaient été utilisé par les mathématiciens en différents

époques : Thomas Bradwardine, 1328 ; Nicole Oresme, 1323-1382 ; René

Descartes, 1596-1650).

Newton, 1671/1736, dans sa " methodus fluxionum » fait usage de " relata quantitas », notion très proche de la notion de fonction. Leibnitz 1673 ; utilisait l'expression " functionem faciens » ou en abrégé " functio » pour designer les grandeurs, celles-ci varient en même temps que l'abscisse ou l'ordonné de ce point. Mais c'est avec un travail de Bernoulli (1718) que l'on trouve la première définition de fonction. Définition: On appelle fonction d'une variable une quantité composée de n'importe quelle forme par cette variable et par constantes.

La notion de fonction chez Euler

Nous résumerons brièvement et analyserons l'idée mathématique de fonction dans le travail de Léonard Euler (1748), dans son Introduction à l'Analyse Infinitésimale (traduction du latin au Français, 1796). Euler (1748/1796, p. 1-2) a changé le mot quantité dans la définition de Bernoulli par expression analytique, et il a essayé d'éclaircir l'idée de quantité constante et de quantité variable.

1. Une quantité constante est une quantité déterminée, qui conserve toujours la même

valeur.

2. Une quantité variable est une quantité indéterminée, ou, si l'on veut, une quantité

universelle, qui comprend toutes les valeurs déterminées. 2

3. Une quantité variable devient déterminée, lorsqu'on lui attribue une valeur déterminée

quelconque.

4. Une fonction de quantité variable est une expression analytique composée, de quelque

manière que ce soit, de cette même quantité et de nombres, ou de quantités constantes.

5. Une fonction d'une variable est donc aussi une quantité variable.

Dans la première définition d'Euler, il y a un élément qui peut nous aider à comprendre ses idées sur le sujet : l'idée du temps " physique » est au moins implicite dans la définition (" qui conserve toujours »). La présence du temps chez Euler va jouer un rôle important parce que derrière cette notion, on va trouver la continuité. Le continu restera dans un domaine physique puisque la droite réelle n'existe pas sous forme numérique dans ces travaux (la droite numérique achevée est du XIXe siècle). D'un point de vue didactique, il est important d'analyser les exemples de définitions fournis par Euler, ainsi que ses exemples de 'fonctions apparentes qui ne sont pas des fonctions'. Euler écrit : Ainsi, toute expression analytique, soit de la variable z et contenant des quantités constantes, est une fonction de z. Par exemple: a+3z; az-4zz; az+b aa-zz ; cz ; & c, sont des fonctions de z. ... Au reste, il n'est pas rare de rencontrer des expressions qui ne sont que des fonctions apparentes; car, quelque valeur qu'on donne à la variable, elles conservent toujours la même valeur, comme z°; 1 z aaaz az . Ces expressions, sous la forme apparente de fonctions de variables, sont réellement des quantités constantes. (p. 3) Les exemples de fonctions fournis par Euler font partie de notre spectre actuel de fonctions. Mais la remarque 5 d'Euler avait pour conséquence l'exclusion des fonctions constantes. L'élimination des fonctions constantes est une nécessité pour Euler, puisque, dans le chapitre suivant, il va travailler sur la composition des fonctions. En résumé, nous pouvons dire qu'une fonction au sens d'Euler est une fonction de la variable réelle, non constante, définie par une expression analytique.

Le XXe siècle.

En 1939, on trouve dans les structures fondamentales de l'Analyse, de Bourbaki la définition suivante : " Soient E et F, deux ensembles distincts ou non, une relation entre 3 une variable x de E et une variable Y de F est dite relation fonctionnelle en y, ou relation fonctionnelle de E vers F, si pour tout x appartenant à E, il existe un seul y appartenant à F, qui soit dans la relation considérée avec x. Dans les années 1960 à 1970, avec le mouvement appelé " Mathématiques modernes » dirigé par un groupe de mathématiciens qui voulaient pousser l'apprentissage de la mathématique, une définition plus formelle a fait son apparition dans les manuels scolaires. En mathématiques, une relation binaire est simplement un ensemble de paires ordonnées. Il s'ensuit qu'une "relation" peut être définie à l'aide de l'unique notion primitive d'ensemble. Si R est une relation telle que, pour tout u, v, y, on ait: Si (u, v) ∈ R et (u, y) ∈ R, alors v = y, la relation R est appelée "fonction". L'approche " moderne » de l'enseignement des mathématiques (1960-1970) a provoqué une réaction en contre de ce mouvement de la part des enseignants, parents et de quelques mathématiciens. C'est à partir de cette époque que la didactique de mathématique est apparue dans le monde de façon systématique, et les nouveaux manuels ont fait marche arrière pour retrouver des définitions plus adéquates pour l'enseignement de la mathématique. Page 3 Réflexions mathématiques 436, Tome 1 (1996). Il est fréquent d'établir une relation entre les éléments de deux ensembles. Si cette relation associe à chaque élément de l'ensemble de départ au plus un élément de l'ensemble d'arrivé, cette relation est qualifiée de fonctionnelle.

Généralement, dans une situation fonctionnelle, c'est-à-dire dans une fonction, il existe un

lien de dépendance entre les variables. La variation de l'une des variables entraîne la variation de l'autre. Généralement, dans une fonction, la dépendance des variables s'exprime par une règle ou une équation qui permet d'associer au plus une valeur de la variable dépendante à chaque valeur de la variable indépendante. Domaine : Ensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction. C'est aussi l'ensemble des valeurs qui ont une image par la fonction. Le domaine d'une fonction f est noté dom f. De façon formelle, on écrit : dom f = { x  (x, f(x)) ∈ f } Codomaine ou image : ensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction. C'est l'ensemble des images des éléments du domaine. Le codomaine d'une fonction f est noté codom f ou ima f.

De façon formelle, on écrit :

codom f = { f(x)  (x, f(x)) ∈ f }

Ou ima f = { f(x)  (x, f(x)) ∈ f }.

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