FONCTIONS EXPONENTIELLES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS. EXPONENTIELLES. I. Fonction exponentielle de base q. 1) Définition.
FONCTION EXPONENTIELLE
Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ? telle que et . On note cette fonction exp. Conséquence : Avec la calculatrice
Les Exponentielles
Les Exponentielles. I. La fonction exp. Dans cette partie on s'intéresse `a une fonction un peu particuli`ere : la fonction exponentielle. 1) Définition.
FONCTIONS EXPONENTIELLES
Définition Une fonction exponentielle de base Une propriété très utile pour les calculs sur les fonctions exponentielles: Définition et propriétés.
T ES Fonction exponentielle
Le fonction exponentielle notée exp
Les fonctions exponentielles
La fonction exponentielle en base a a étant un nombre réel strictement positif Point particulier à toutes les fonctions exponentielles : (0;1).
Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle
Tout d'abord apprendre les formules de dérivation avec les fonctions exponentielles. ( ) . ?. = x x e.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES A. Etude de la fonction exponentielle ... La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui à tout ...
Les fonctions exponentielles
une approche plus continue où la croissance exponentielle est décrite en terme de variation : à la propriété des dérivées des fonctions exponentielles.
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
( ) = avec ??. Méthode : Dériver une fonction exponentielle. Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk. Dériver les fonctions suivantes
Didactique mathématique
Maggy SCHNEIDER
Les fonctions exponentielles
François BERTRAND
Il existe deux types de formulation des problèmes faisant apparaître une croissance exponentielle :
une approche plus discrète où la progression géométrique est immédiate : le rapport des images est
donné pour un intervalle de temps. Exemple : Une population de bactéries triple tous les deux jours.
une approche plus continue où la croissance e xponentielleest décrite en terme de v ariation: référence
à la propriété des dérivées des fonctions exponentielles. Exemple : La variation de charge par unité de
temps est proportionnelle à la quantité de charge encore présente dans le condensateur.Ces deux problématiques sont assez différentes mais décrivent un même type de fonctions; dans
l"enseignement usuel, elles sont souvent peu mises en évidence d"emblée.La question est d"orchestrer un cours autour de ces deux formulations en les articulant à un moment
donné et en évitant de recourir à la simple constatation des tableaux numériques.AESS en sciences mathématiques
2014-2015
Les fonctions exponentielles
Deux scientifiques observent la reproduction de bactéries en laboratoire. Le premier constate que,
toutes les heures, la quantité de bactéries est multipliée par un facteur k. Le second observe que l"aug-
mentation du nombre de bactéries au cours d"un intervalle de temps est proportionnelle tant à la durée
de l"intervalle qu"au nombre de bactéries relevé au début de l"intervalle. Qui a raison? Déterminez la
fonction décrivant l"évolution du nombre de bactéries au cours du temps et représentez là graphiquement
si k=1;25. Observations du premier scientifique :A partir des observations du premier scientifique, on aN(t) =kN(t1)oùN(t1)etN(t)représentent le nombre de bactéries à deux heures consécutives.Or,N(t1)est lui-même égal àkN(t2). D"oùN(t) =kkN(t2)N(t) =k2N(t2)Ainsi, en remontant les pas de temps jusqu"à l"instant initial, on a alors
N(t) =ktN(tt)N(t) =ktN(0)NotonsN0le nombre de bactéries à l"instant initial.Le nombre de bactéries au tempsten heures est alors donné par :N(t) =N0ktOn calcule quelques valeurs de la fonction en vue de la représenter graphiquement :
N(0) =N01;250=N0en définissantk0=1pour respecterN(0) =N0.N(1) =N01;251=1;25N0N(2) =N01;252=1;5625N02
Si au lieu de chaque heure, on voulait connaître le nombre de bactéries à chaque minute?Considérons alorsN(tmin)représentant le nombre de bactéries au tempsten minutes :N(tmin) =N0(kmin)tminComme une heure vaut 60 minutes, il faut nécessairement que
N(t) =N(60tmin)On en déduit que :
(kmin)60=kD"où k min=60pk=k160En effet,k=k601=60=k1=60+1=60+1=60+=k1=6060Donc
N(tmin) =N0
k160 tminAinsi, par exempleN(tmin=30) =N0
k16030=N0k3060
=N0k12Et commetmin=30 correspond àt=12
, l"expressionN(t) =N0ktreste donc valable pour des valeurs fractionnaires det.N(1=2) =N01;251=21;1180N0N(2=3) =N01;252=31;1604N0En fait, physiquement, une fraction de la variabletpourrait être vue comme entièredans une autre unité de référence. Le changement d"unités modifie alors le rapportkobservé entre deux temps entiers consécutifs dans l"unité considérée.
Si je considère une unité d"une demi heure, alors le rapport entreN(t)etN(t1)n"est effectivement plus1;25mais bien1;2512
3Et si on veut connaîtretavant le moment initial? Soittnégatif.Cela reviendrait à calculer le nombre de bactéries à un temps positif
si le chronomètre avait été déclenché plus tôt.On souhaite par exemple connaîtreN(2), soitN(t=0) =N0si le temps avait été déclenché 2 secondes plus tôt.
Ainsi, ent=0,N0=N0k2puisquet=t+2. DoncN(2) =N(t=0) =N0=N0k2=N01k2En effet,k0=1=k22=k2k2L"expressionN(t) =N0ktreste donc valide pour des valeurs négatives det.N(2) =N01;252=N01=1;252=0;64N0N(2=5) =N01;252=50;9146N0L"allure du graphe exprimant le nombre de bactéries en fonction du temps est alors le suivant :
En considérant queN0est l"unité de référence pour dénombrer les bactéries (!N0=1),on a ainsi
N(t) =ktUn tempst0après le tempst, on aura :N(t+t0) =kt+t0=ktkt0=N(t)N(t0)Ainsi, si une bactérie en donneNaprès le tempstetN0après le tempst0,elle en donneraNN0après le tempst+t0. La croissance est dite exponentielle.4
La fonction qui vient d"être déterminée est de la formef(x) =ax; nous l"appelleronsfonction expo-
nentielleen basea(oukdans l"exemple). Cette expression est valable pour n"importe quelle valeur dex (soit n"importe quel temps dans l"exemple,t2R). La formef(x) =baxest un multiple d"une fonction exponentielle lorsqueb(soitN0dans l"exemple) n"est pas unitaire.La fonction exponentielle en basea,aétant un nombre réel strictement positif et différent de 1, est
notée exp aet est définie par8x2R:f(x) =ax=expax a2R+0nf1g
f(x) =axvérifief(x1+x2) =f(x1)f(x2)Ce type de fonction permet de décrire des phénomènes suivant une progression géométrique : un
facteur multiplicatif constant est observé sur des intervalles de temps égaux. A noter que le facteur mul-
tiplicatif estapour un intervalle unitaire.Dans le cas oùa>1, la fonction est strictement croissante. Pour 0 croissante. Le casa=1 conduirait à la fonction constante 1, elle n"est pas considérée comme fonction exponentielle. Ainsi, toute fonction exponentielle étant strictement croissante ou décroissante, elle établit une bijection entre les valeurs de la variablexet ses imagesy(à unxcorrespond un seulyet inversement). Observations du second scientifique :Considérons maintenant les observations faites par le second scientifique. est proportionnelle tant à la durée de l"intervalle qu"au nombre de bactéries relevé au début de l"intervalle. Traduit mathématiquement, on a sur un intervalle[t;t+t]:N(t+t)N(t) =CN(t)tOr, sittend vers 0, on alim Ainsi, le taux de variation d"une fonction exponentielle est directement proportionnel à l"image de la Cétant un nombre réel constant pour une même exponentielle.Il existe une fonction exponentiellefdont la base est telle quef0(x) =f(x). Cette fonction est0
8x2R: expa(x) =ax
dom exp a=R im exp a=R+0 Quel que soita, on a comme point particulier :(0;1) O xest une asymptote horizontale :AHy=0 Il n"y a pas d"autres asymptotes.
5 0
0(t) =CN(t)La question est donc de trouver une fonction vérifiant cette équation différentielle.
Et si les deux scientifiques avaient raison?
Alors, c"est que la fonction exponentiellef(x) =axvérifief0(x) =Cf(x).f 0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
=limh!0a x+haxh =limh!0a x(aha0)h =axlimh!0a ha0h =ax lim h!0f(0+h)f(0)h =axf0(0) =CaxC"est bien le cas! 2;71828
Cette expression est déduite de(ex)0=ex.
(ex)0=ex ,limh!0 ex+hexh =ex ,limh!0 e x(eh1)h =ex ,limh!0 eh1h =1 ,limm!+¥ e1m 11 m =1 ,limm!+¥e1m =limm!+¥1+1m ,e=limm!+¥ 1+1m m 7quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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