VARIATIONS DUNE FONCTION
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par ...
Rappels – Tableaux de signes Terminale STMG Signe dune
Soit f (x) = mx + p une fonction affine de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p. Cas 1 : Si m > 0. La fonction affine f (x) = mx + p est
2nde : correction du TD1 sur les fonctions affines
h est linéaire (fonction affine particulière) ? est une fonction affine constante. ... Donner le tableau de signe des fonctions affines suivantes :.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant on pourra en déduire le.
Rappels – Tableaux de signes Terminale STMG Signe dune
Soit f (x) = mx + p une fonction affine de coefficient directeur m et d'ordonnée à l'origine p. Cas 1 : Si m > 0. La fonction affine f (x) = mx + p est
FONCTIONS AFFINES
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière . Ces tableaux sont appelés tableaux de signes de f ( x ) = a x + b. Attention :.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par
2020 Fonctions affines 2nde I Généralités (séance 1 : environ 1h) 1
si b = 0 la fonction f est dite linéaire. Exemple 6 : : Donner le tableau de signe de la fonction affine f définie par f(x)= 2x ? 3.
Chapitre 7 : Les fonctions affines
Tableau de signe. A) Signe d'une fonction affine. L'objectif est d'étudier l'évolution du signe des fonctions affines de la forme ( ) = + .
Fonctions de référence
Conséquence graphique et tableau de variation : • Si a > 0 la droite D « monte ». • Si a < 0
[PDF] Tableaux de signes
Tableaux de signes 1) Signe d'une fonction affine Soit f une fonction affine définie sur telle que f(x)= mx + p On distingue 2 cas:
[PDF] FONCTIONS AFFINES - Pierre Lux
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière Ces tableaux sont appelés tableaux de signes de f ( x ) = a x + b Attention :
Dresser un tableau de signes (en Seconde) - Maths-coursfr
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite On dresse le tableau de signes en inscrivant la solution trouvée sur la première ligne
[PDF] Chapitre 5 – Fonctions linéaires et affines
On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante Ce nombre a est alors appelé
[PDF] Chapitre 5 : Fonctions affines et études de signes
Variations suivant le signe de (par le calcul et graphiquement) • Relier sens de variation signe et droite représentative d'une fonction affine
[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques
https://www maths-et-tiques fr/telech/Algo_Extrem pdf 3 Tableau de variations Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant
[PDF] Fonctions de référence I Fonctions affines fonctions linéaires
Donner le tableau de signes de variation de la fonction et sa courbe représentative ? a s'appelle le coefficient de la fonction affine ou linéaire;
[PDF] Notion de fonction Résolution graphique Fonction affine
À partir de la courbe on peut répondre à plusieurs types de questions : variation de la fonction f résolution d'équations résolution d'inéquation signe d'
[PDF] Une fonction affine scra définic par une expression du type f(x) = ax
Chaque signe final s'obtient en respectant la règle des signes du produit de deux nombres !! Exemple 1 On va donner le tableau de signes de la fonction définie
1 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur
l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0
On pose :
- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.9 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction inverseVidéo https://youtu.be/7K0171Zj5Rw
Résoudre l'inéquation suivante pour tout strictement positif : 4 +2<5Correction
4 +2<5 4 <5-2 4 <3 1 3 4 1 4 3 4 3 4 3 ;+∞W3. Variations de la fonction racine carrée
Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/1EUTIClDac4
On pose :
Soit et deux nombres réels positifs tels que <. 1 0 31/4 0 3 /4 0 0 /4 0 /'0 /4 0 Or >0 et ->0. Donc >0
Donc
Ce qui prouve que f est croissante sur l'intervalle0;+∞
← On divise de part et d'autre par 4. ← On applique la propriété donnée plus haut.10 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Si et sont deux nombres réels positifs, on a alors : En effet, la fonction racine carrée étant croissante, l'ordre est conservé.4. Variations de la fonction cube
Vidéo https://youtu.be/PRSDu_PgCZA
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.Propriété : <éà
En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé. Méthode : Ordonner des nombres avec la fonction cubeVidéo https://youtu.be/8h8uAq0wH1A
Sans calculatrice, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : 1 8 4 -5 Z 2 3 1 8Correction
On a :
1 8 1 2 1 2 =Z 1 2 -5 =(-5) 1 8 =Z- 1 2La fonction cube conserve l'ordre.
Donc, pour ranger dans l'ordre croissant les nombres : Z 1 2 4 (-5) Z 2 3 Z- 1 2 il suffit de ranger dans l'ordre croissant ces nombres sans l'exposant 3.Soit, à ranger :
1 2 4-5 2 3 1 2 Or :11 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr -5<- 1 2 1 2 2 3 <4Donc :
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