[PDF] 1) Fractions = = . 2) Puissances entières 3) Racines carrées

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1) Fractions

Vocabulaire et

existence

Egalité de fractions Addition et

soustraction

Multiplication et

division

ƒ Si ܾ

fraction ௔ ௕ existe. numérateur de la fraction, ܾ dénominateur.

ƒ Si ܽ et ܾ

premiers entre eux, alors la fraction ௔ est irréductible.

Pour simplifier une

fraction, on doit avoir un facteur commun au numérateur et au dénominateur. On utilise la propriété :

ƒ Fractions de

mêmes dénominateurs

ƒ Fractions de

dénominateurs différents

On réduit au même

dénominateur :

ƒ Multiplier deux

fractions ܽ

ƒ Diviser par un

nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :

Exemple 1 :

Dans la fraction ଷ

௫ିଵ , le dénominateur est ݔെͳ. Cette fraction existe pour tous les réels ݔ

tels que ݔെͳ്-. Or : ݔെͳൌ- ֞ différents de ͳ.

Exemple 2 :

La fraction ଷାହ ൈ ହ

Exemple 3 :

௫ , pour tout ݔ non nul.

Exemple 4 :

2) Puissances entières

Définition Puissance d'un

produit ou d'un quotient

Produit et quotient

de puissances

Puissance d'une

puissance

ƒ Pour ݊ entier

naturel non nul et ܽ réel :

ƒ Pour ്ܽ-, ܽ

Pour ݊ un entier

relatif et ܽ et ܾ réels non nuls :

Pour ݊ un entier

relatif et ܽ non nul :

Pour ݊ et ݌ deux

entiers relatifs et ܽ un réel non nul :

Exemple 1 : Puissances de 10

Exemple 2 : Puissances de 1

Exemple 3 : Calculs et simplifications

3) Racines carrées

Définition et

existence

Produit Quotient Somme

Pour ܽ positif, ξܽ

est le nombre positif dont le carré est

égal à ܽ

ƒ Pour ܽ et ܾ

positifs :

ƒ Pour ܽ

ƒ Pour ܽ

Pour ܽ et ܾ

positifs et ܾ

Pour ܽ et ܾ

strictement positifs

Exemple 2 : ξ͹ͷൌξ-ͷ ൈ ͵ൌξ-ͷ ൈ ξ͵ൌͷξ͵.

Il ne faut pas confondre ξͻ൅ͳ͸ avec ξͻ൅ξͳ͸.

Exemple 4 :

4) Calcul littéral

Distributivité Identités remarquables

produit somme

CarrĠ d'une somme

CarrĠ d'une

différence

Différence de deux

carrés produit : ܽ ൈ ܾ, d'un carrĠ ܽ

ƒ Certaines expressions algébriques peuvent être transformées en développant, factorisant

ou en réduisant au même dénominateur. termes, le facteur ݔ apparaît ; c'est un facteur commun, on peut donc factoriser par ࢞ :

ƒ Pour développer ou factoriser, on utilise la distributivité (simple ou double), les identités

remarquables...

ܽൌͷ et ܾ

ݔ൅ͳ est une somme de deudž termes dont l'un des termes est LE CALCUL LITTERAL SERT A RESOUDRE DES EQUATIONS !! (entre autres...)

Exemple :

La seconde égalité est impossible, il reste donc à résoudre : -ݔൌെ͵ ֞ - . Cette

équation admet une unique solution.

Cette équation admet deux solutions.

5) Inégalités et intervalles

Règles sur les inégalités Intervalles

ƒ Pour tout réel ܿ strictement négatif, ܽ ܾ équivaut à ܽ ൈ ܿ൐ܾ ൈ ܿ

ݔ tels que ܽ൑ݔ൑ܾ

réels ݔ tels que ݔ൒ܽ membres de l'inĠgalitĠ. par le nombre négatif െ-, on change le sens de l'inĠgalitĠ.

Exemple 4 : െ͵ݔ൑͸ ֞

le nombre négatif െ͵, on change le sens de l'inĠgalitĠ. ON PEUT AINSI DETERMINER LE SIGNE D'UNE EyPRESSION SUR UN INTERVALLE. Pour trouǀer le signe d'une edžpression, on commence par reconnaŠtre la forme de cette expression, puis on applique la règle adaptée après transformation de la forme initiale si besoin. On peut donner le résultat dans un tableau de signes. ƒ Si une edžpression se prĠsente sous la forme d'une somme de termes tous positifs, alors cette somme est positive. tout réel ݔ. ƒ Si une expression est de la forme ܽݔ൅ܾ

recherche la valeur ݔ଴ qui annule ܽݔ൅ܾ, puis on observe le signe du coefficient ܽ

Exemple 2 : െͷݔ൅͵ est de la forme ܽݔ൅ܾ avec ܽൌെͷ et ܾ

-ǡ͸. Puisque ܽ ƒ Si une expression est un produit, on recherche le signe de chacun des facteurs de ce sur la première ligne du tableau les valeurs qui annulent chacun des facteurs. ƒ Si une expression est un quotient, on commence par rechercher les valeurs interdites, c.a.d les valeurs qui annulent le dénominateur, puis on détermine le signe du numérateur et du dénominateur. Dans le tableau de signes, on place une double barre à la verticale des valeurs interdites.

Exemple 4 : ௫

6) Généralités sur les fonctions

Courbe représentative Sens de variation Résolutions graphiques

La courbe représentative

d'une fonction ݂ dans un repğre est l'ensemble des points ܯ l'ensemble de dĠfinition de

ƒ ݂ est croissante sur

l'interǀalle ܫ tout ܽ et ܾ de ܫ

ƒ ݂ est décroissante sur

l'interǀalle ܫ tout ܽ et ܾ de ܫ

Soit ࣝ la courbe

représentative de ݂. des points d'intersection

éventuels de la courbe ࣝ et

relation est l'équation de la courbe représentative de ݂. graphique de ݂. Or : െ-ݔ൅͵ൌͺ ֞ െ-ݔൌͷ ֞ appartient donc à la représentation graphique de ݂.

Exemple 2 :

à 3.

7) Fonctions de référence

Fonction carrée Fonction inverse

ƒ La fonction carrée

est la fonction définie sur Թ par

ƒ La fonction

inverse est la fonction définie sur ݔ. ƒ Sens de variation : la fonction carrée est

ƒ S a représentation graphique est une

ordonnées et admettant comme sommet l'origine du repğre.

ƒ Sens de variation : la fonction inverse est

ƒ Sa représentation graphique est une

hyperbole symétrique par rapport à l'origine du repğre.

Fonction affine Fonction racine carré

ƒ Une fonction affine est définie sur Թ par

Si ܾ

ƒ Sens de variation

Si ܽ

sur Թ.

Si ܽ

décroissante sur Թ.

Si ܽ

sur Թ. fonction affine est une droite non parallèle

ă l'adže des ordonnĠes.

linĠaire est une droite passant par l'origine du repère. ƒ La fonction racine carré est définie sur

ƒ Sens de variation

: la fonction carrée est croissante sur

ƒ Sa représentation graphique est

symétrique par rapport à la droite d'équation ݕൌݔ de la représentation

8) Proportionnalité

Deux grandeurs sont

proportionnelles si les

ǀaleurs prises par l'une

s'obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs prises par l'autre par un même nombre non nul

Un tableau de

proportionnalité est tel que les nombres d'une ligne s'obtiennent en multipliant ceudž de l'autre ligne par un même nombre non nul ݇.

݇ est appelé le coefficient de

proportionnalité.

Si le tableau ci-dessus est un

tableau de proportionnalité, alors on peut calculer l'un des nombres à partir des trois autres grâce à l'ĠgalitĠ : ܽ ൈ ݀ൌܾ ൈ ܿ

Par exemple, si on connaît

ܾ, ܽ et ܿ avec ܽ

peut trouver ݀ : ݀ൌܾ ൈ ܿ

9) Pourcentages

Ecrire un nombre sous la

forme d'un pourcentage, c'est l'Ġcrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 100.

Soit ݌ un nombre positif.

Calculer ݌й d'un nombre ܰ

c'est multiplier ce nombre ܰ par ௣

Soit ݌ un nombre positif.

ƒ Augmenter de ݌% une

cette quantité par le nombre ͳ൅݌

ƒ Diminuer de ݌% une

cette quantité par le nombre ͳെ݌ Exemple 1 : Dans une classe de 24 élèves, 3 sont gauchers. La proportion de gauchers est

égale à ଷ

classe. Exemple 2 : Si dans cette même classe 62,5% des élèves sont des filles alors le nombre de

ͳ--ൌͳͷ c.a.d 15 filles.

Exemple 3 : Un amateur de BD a achetĠ 6 albums d'une collection. Cet achat reprĠsente

37,5% des BD de la collection. On calcule le nombre total ݊ d'albums de la collection en

résolvant : ଺ ଵ଴଴ donc ݊ൌ͸ ൈ ͳ--

10) Statistiques

Effectif cumulé - Fréquence Médiane Quartiles

ƒ L'effectif cumulĠ croissant de

la valeur ݔ௜ est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à ݔ௜. cette ǀaleur par l'effectif total

ƒ La médiane partage la

série ordonnée dans l'ordre croissant en deudž parties de même effectif.

Si l'effectif total de la sĠrie

est impair, la médiane est la valeur centrale.

Si l'effectif total de la série

est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.

ƒ Le premier quartile ܳ

ordonnée est la plus petite valeur de la série telle données soient inférieures ou égales à ce nombre ܳ

ƒ Le troisième quartile ܳ

ordonnée est la plus petite valeur de la série telle données soient inférieures ou égales à ce nombre ܳ Exemple 1 : Le tableau ci-dessous donne les notes d'une classe :

Notes 3 5 7 8 10 11 13 15 17

Effectif 2 1 4 4 4 5 4 3 3

ƒ L'effectif total est ܰ

ƒ La fréquence de la valeur 7 est égale à ସ

ƒ La moyenne de cette série est 10,6.

On peut obtenir ce résultat avec la calculatrice en mode Statistique ou en appliquant la formule de la moyenne pondérée par les effectifs ou par les fréquences :

Exemple 2 : On peut compléter le tableau précédent avec les effectifs cumulés croissants :

Notes 3 5 7 8 10 11 13 15 17

Effectif 2 1 4 4 4 5 4 3 3

ECC 2 3 7 11 15 20 24 27 30

ƒ L'effectif total est ܰ

(10) et de la 16e valeur (11). On a donc ܯ ସൌ͹ǡͷ donc le premier quartile ܳ ସൌ--ǡͷ donc le troisième quartile ܳ Diagramme en bâtons Histogramme Diagramme circulaire

Les hauteurs des bâtons sont

proportionnelles aux effectifs des catégories représentées.

Lorsque les classes on la même

amplitude, chaque rectangle a une hauteur proportionnelle à ces classes.

Les mesures des angles

sont proportionnelles aux fréquences des catégories représentées.

ƒ La distribution des

fréquences associée à un

échantillon est la liste des

fréquences des issues de cet

échantillon.

ƒ Soient plusieurs

échantillons de même taille

d'une edžpĠrience alĠatoire.

La distribution des

Ġchantillon ă l'autre ͗ c'est

la fluctuation d'Ġchantillonnage.

Soit un caractère dont la

proportion dans la population donnée est ݌.

Lorsque ݊൒-ͷ et

-ǡ-൑݌൑-ǡͺ, il y a environ

95% des échantillons de

taille ݊ issus de cette population qui sont tels que la fréquence ݂ du caractère dans l'Ġchantillon appartient à un intervalle de la forme

Soit un caractère dont la

proportion dans la population donnée est ݌.

L'interǀalle

est l'interǀalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95% pour un

échantillon de taille ݊.

Exemple : Une caisse contient 100 cubes : 40 verts et 60 bleus.

y On s'intĠresse ă des Ġchantillons de taille ݊ൌ-ͷ obtenus en effectuant 25 tirages

successifs au hasard et aǀec remise d'un cube de cette caisse. caractère " le cube est vert » appartient à cet intervalle.

12) Probabilités

ƒ La probabilité ܲ

événement ܣ

des probabilités des issues qui le réalisent. Elle est

ƒ Pour deux événements ܣ

ƒ Pour deux événements

contraires ܣ et ܣ

Sous l'hypothğse

Exemple : On lance un dé bien équilibré et on appelle : y ܣ y ܥ

ƒ L' événement ܦ

13) Travail dans un repère

CoordonnĠes d'un point Coordonnées du milieu d'un segment

Distance entre deux points

tout point ܯ repéré par un couple de coordonnées.

ݔ est l'abscisse du point.

ݕ est l'ordonnée du point.

Soient ܣ

plan.

Les coordonnées du milieu

orthonormé : coordonnées : c.a.d ܫ Si le repère est orthonormé, la distance AB est égale à :

14) Droites dans le plan

parallğle ă l'adže des ordonnées

Equation de droites

particulières

Coefficient directeur d'une

droite non parallğle ă l'adže des ordonnées de la droite

ƒ Axe des abscisses : ݕൌ-

ƒ Axe des ordonnées : ݔൌ

ƒ Droite parallğle ă l'adže des

abscisses : ݕൌ݇, où ݇ réel

ƒ Droite parallğle ă l'adže des

ordonnées : ݔൌܿ, où ܿ

Soient ܣ

plan avec ݔ஺്ݔ஻.

Le coefficient directeur de la

est égal à : cette droite c.a.d : െͳൌͷ ൈ -൅ܾ ֞ ܾ Exemple 2 : On peut déterminer une équation de droite connaissant son coefficient directeur et les coordonnĠes d'un de ses points. une équation de la forme : ݕൌ͵ݔ൅ܾ

Le point ܥ

15) Vecteurs du plan

Rappels

Un vecteur admet une infinité de représentants que ܯܣ parallélogramme)

Produit d'un vecteur par un réel

Vecteurs colinéaires

Remarques : 2 vecteurs colinéaires ont la même direction, le même sens si si ݇൐- et le

Déterminant de deux vecteurs :

ܾቁ et ݒԦቀܿ

݀ቁ deux vecteurs du plan

Vecteurs colinéaires

2 vecteurs du plan sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

Equation cartésienne d'une droite

Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ܽݔ൅ܾݕ൅ܿൌ- avec ܽ

ܾ et ܿ

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