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Chapitre : Puissances et racines

I Les puissances

Définition des puissances : Considérons un nombre x et un nombre entier n. On a : x n = x × x × .... × x × x se lit " x puissance n" ou " x exposant n" avec n " x " x 4 = x × x × x × x se lit " x puissance 4 " ou " x exposant 4" x 3 = x × x × x se lit " x au cube " ou " x puissance 3 " x ² = x × x se lit " x au carré " ou " x puissance 2 " x 1 = x x 0 = 1 x - 1 = 1 x x - 2 = 1 x × x = 1 x ² x - 3 = 1 x × x × x = 1 x 3 x - n = 1 x × x × ..... × x × x = 1 x n avec n " x "

Exemples

: 2 10 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024 9,4

0 = 1 ( - 3,41 ) 1 = - 3,41

10

5 = 100 000 c"est un 1 suivi de 5 zéros 10 - 5 = 0,000 01 c"est un 1 précédé de 5 zéros

5 - 2 = 1

5 × 5 = 1

25 = 0,04 1

x - n = 1 : 1 x n = 1 × x n

1 = x n

7 4

7² = 7 × 7 × 7 × 7

7 × 7

Remarque

: Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations.

Exemple

: ( 7 - 10 ) 4 - 8² + 12 × 5 = ( - 3 ) 4 - 8² + 12 × 5 = 81 - 64 + 12 × 5 = 81 - 64 + 60 = 77

Remarque

: Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des exemples simples.

Ecriture scientifique

: Tout nombre décimal peut s"écrire comme le produit d"un nombre n"ayant qu"un seul chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d"une puissance de dix. Cette écriture s"appelle une écriture scientifique.

Exemples

: 54 000 000,0 = 5,4 × 107 0,000 005 78 = 5,78 × 10 - 6

7 chiffres 6 zéros

0,0265 × 10

8 = 2,65 ´ 10 - 2 × 108 = 2,65 × 10 6

Le rayon d"un atome d"hydrogène est d"environ 0, 000 000 005 3 mm = 5,3 × 10 - 8 mm

L"étoile polaire est à 6 × 10

18 m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)

Règles des puissances : x et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a :

1° ) x

m ´ x n = x m + n 2° ) x m x n = x m - n 3° ) x n y n = ( x y ) n

4° ) x

n ´ y n = ( x × y ) n 5° ) ( x m ) n = x m × n

× x

: x

× 1

x

II Les racines carrées

Définition des racines carrées

: Considérons un nombre x positif. On note x et on lit "racine carrée de x " le nombre positif dont le carré est x.

Pour la calculer, on utilise la touche "

" de la calculatrice.

Exemples

: 49 = 7 10 » 3,16 0 = 0 1 = 1

Remarques

: - Puisqu"un carré est toujours positif, la racine carrée d"un nombre négatif n"existe pas.

- On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée". - Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs.

Exemple

: 5 × 36 + ( 8² - 100 ) : 9 = 5 × 36 + ( 64 - 10 ) : 9 = 5 × 6 + 54 : 9 = 30 + 6 = 36

D"autre part on a :

1,44 = 1,2 car 1,2 ² = 1,44

Remarque

: Pour prouver que x = y il suffit de vérifier que y ² = x x 8 11 x x ² 64 121 x On a donc x ² = x et ( x ) ² = x = x × x

Preuve

: 1° ) déjà vu.

2° ) car (

x × y ) ² = ( x ) ² × (y ) ² = x × y et c"est donc bien vérifié d"après la remarque précédente.

3° ) car (

x y ) ² = x ² y² = x y et c"est donc bien vérifié d"après la remarque précédente.

4° ) On a :

x ² × y = x ² × y d"après 2° ) = x y d"après 1° )

Exemples

3 ² = 3 ( 7 ) ² = 7 (2 6 ) ² = 2² ( 6 ) ² = 4 × 6 = 24

2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4 25 × 9 = 25 × 9 = 5 × 3 = 15 2516 = 25

16 = 5

4 18

50 = 3² × 2

5² × 2 = 3 2

5 2 = 3 5

Remarque

: On doit avoir ( x 0,5 ) ² = x 0,5 × 2 = x 1 = x donc x

0,5 est un nombre dont le carré est x : c"est donc x . On a ainsi x 0,5 = x .

C"est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance.

Application à la simplification des racines

: Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et obtenir des racines carrées "irréductibles".

Exemples

: 18 = 3² × 2 = 3 2 (on a utiliser la propriété 3) 5

32 = 5 4² × 2 = 5 × 4 2 = 20 2

75 + 3 12 = 5² × 3 + 3 2² × 3 = 5 3 + 3 × 2 3 = 5 3 + 6 3 = 11 3

Exemple de développement

( 7 +

3 ) ( 3 - 5 ) + 12 = 7 3 - 35 + 3² - 5 3 + 2 ² × 3

= 7

3 - 35 + 3 - 5 3 + 2 3

= 4

3 - 32

Propriété des racines carrées : x et y étant des nombres positifs, on a :

1° )

x ² = ( x ) ² = x 2° ) x × y = x × y 3° ) x y = x y 4° ) x ² × y = x y x² x penser à : la racine carrée est l"inverse du carré donc f aire une racine carrée puis un carré revient à ne rien faire !!

Exercice 1 : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche " ^ » ou " x y » de ta calculatrice.

A = 2

5 B = ( - 4 ) ² C = - 4 ² D = 10 6 E = 400 0 F = 5 - 1

G = 2 - 2 H = 10 - 3 I = 8,36 × 10 3 J = 50 1 K = 0 10 L = 1 - 7

M = 3 ² + 4 ² N = ( 3 + 4 ) ² P = 10 × ( - 3) 3 Q = 2 × 7 - 7 ² R = 3 - 5 (4 - 7 ) ² + 2 3 × 5

S = 8,01 × 10

4 T = 7 × 10 - 3 U = 9,1 × 10 5 V = 8,31 × 10 - 6 W = 1,1 × 10 - 1 X = 6,75 × 10 9

Exercice 2 : Ecris avec des puissances.

A = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 B = ( - 4 ) × ( - 4 ) C = - 4 × 4 × 4 D = 1

7 × 7 × 7 × 7

E = 0,000 1

Exercice 3

: Ecris avec que des multiplications et des divisions. A = 7

4 B = 10 - 1 C = 6 - 3 D = 3 ² × 6 5 E = 7 3 × 5 - 2

F = - 5 4 G = ( - 5 ) 4 H = 12

0 × 8 3

6 1 I = 1

7 - 3 J = 2

3 × 5 - 2

9 4 × 7 - 3

Exercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante :

Exemple Règle

x 3 × x 2 = ... × ... × ... × ... × ... = x ... x m × x n = x ......... x 3 x 2 = ... × ... × ... ... × ... = x ... x m x n = x .......... x 2 y 2 = ... × ... ) ... x n y n = (...

x 2 × y 2 = ... × ... × ... × ... = ( ... × ... ) ×( ... × ... ) = ( ... ×... ) ... x n × y n = ( ....×... ) ...

( x 3 ) 2 = ...... × ...... = ...... ( x m ) n = ... ...... Exercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a n. A = 7

3 × 7 2 B = 8

5

8 2 C = 5 4 × 5 - 6 D = 10

3

107 E = 20

7 5 7 F = 3 ² × 5 ² G = ( 9 3 ) ² H = 7 4 × 7 2 × 7 - 5 I = 7

3 × 5 4

7 × 5² J = 4

3 4 - 2

Exercice 6 : Trouve l"écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice).

A = 650 000 B = 0,004 7 C = 915,5 D = 984 000 000 000

E = 0,000 000 1 F = 8 × 10

5 × 10 6 G = 54 000 × 0,000 002 H = 7,1 × 10 4 × 2 × 10 - 6

Exercice 7 : Vue au brevet.

Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique.

A = ( - 2 ) × 10 - 3 × 25 × ( 10 ² ) ²

50 × 10

5 × ( - 0,1 ) × 10 - 3 B = 16 × 10

- 5 × 3 × 10 4

24 × 10 - 3 C = -3 ² - (-3) ² +10 5 × 10 - 3 + 3

10 3

D = 210 × 10

- 6 × 5 × 10 5

35 × 10 4 E = 7 × 10

15 × 8 × 10 - 8

5 × 10 - 4 F = 2,5 × 10

- 3 × 9 × 10 5

15 × 10 - 4

Exercice 8

: Complète les tableaux suivants Valeurs exactes Valeurs arrondies à 0,1 près

6 2,4

64 25 121 8 10 35 23,4 108,7

Exercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible. A =

8 ² B = 36 × 49 C = 3681 D = 4,2 ² × 100 E = 4 7 ²

F = 45

20 G = 8,1 × 10 H = 49

100 I = 40

810 J = 4 × 12 ²

K =

48 ²

6 ² L = 64 × 25 M = 2 × 18 N = 7 × 7 P = 7 8 2 - 2 5 5

x² x²

Exercices pour préparer le contrôle

Exercice 1 : Exercice de préparation au brevet (7 points)

Exercice 2

: On considère les expressions suivantes

A = 65 - ( 25 - 5 )

5 + 3,2 × 10 6 - ( 7 - 15 ) ² B = ( - 1 ) 702 - ( 7 - 8 ) - 47 + 0 124 - 1

C = 16

9 × 16 - 24 D = 12 ²

12 8 E = 9 7 × 4 7 F = ( 8 3 ) 5 G = 35

8

7 8 H = 3

6 × ( 3 4 ) 5

3 - 6 × 3 4 × 3 7

I = 0,000 000 000 010 8 J = 310 000 000 000 000

a ) Calcule A et B b ) Mets de C à H sous la forme a n c ) Ecris I et J en écriture scientifique

Exercice 3

: Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls)

A = 4

9² - 2 ( 8 ) ² - 19 B = 81 × 36 - 11 2 × 8 - 9 C = 4 50

32 - 4 D = 27

3 - 2 E = 4

45 + 81 - 3 20 - 6 5 - 8 F = 3 6 - 54 + 150 - 5 6 + 1

G = ( 5

3 + 7 ) ( 9 - 3 ) - 38 3 - 47 H = ( 3 5 - 2 ) ² - 48 + 12 5 I = ( 10 - 9 ) ( 10 + 9 )

Résultats des exercices de préparation au contrôle

Exercice 2

: On considère les expressions suivantes

A = 65 - ( 25 - 5 )

5 + 3,2 × 10 6 - ( 7 - 15 ) ²

A = 65 - 20

5 + 3 200 000 - ( - 8 ) ²

A = 64 - 3 200 000 + 3 200 000 - 64

A = 1

B = ( - 1 ) 702 - ( 7 - 8 ) - 47 + 0 124 - 1

B = 1 - ( - 1 )

- 47 + 0 - 1

B = 1 - ( - 1 ) + 0 - 1

B = 1 + 1 - 1 = 1

C = 16 9 × 16 - 24 = 16 - 15 D = 12 ²

12 8 = 12 - 6 E = 9 7 × 4 7= 36 7

F = ( 8 3 ) 5= 8 15 G = 35

8

7 8= 5 8 H = 3

6 × ( 3 4 ) 5

3 - 6 × 3 4 × 3 7 = 3

6 × 320

3 - 6 × 311 = 3

26

35 = 3 21

I = 0,000 000 000 010 8= 1,08 × 10 - 11 J = 310 000 000 000 000= 3,1 × 10 14

Exercice 3 : Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent

être nuls)

On doit trouver A = B = C = D = E = F = G = H = I = 1 qui est bien de la forme a + b c car 1 = 1 + 0 0 A = 4

9² - 2 ( 8 ) ² - 19

A = 4 × 9 - 2 × 8 - 19

A = 36 - 16 - 19

A = 1 B = 81 × 36 - 11 2 × 8 - 9

B =

81 × 36 - 11 2 × 8 - 9

B = 9 × 6 - 11

16 - 9

B = 54 - 11 × 4 - 9 = 1

C = 4 50

32 - 4 = 4 5032 - 4 = 4 2516 - 4

C = 4 × 5

4 - 4 = 5 - 4 = 1 D = 27

3 - 2 = 27

3 - 2 = 9 - 2

D = 3 - 2 = 1

E = 4 45 + 81 - 3 20 - 6 5 - 8

E = 4

3² × 5 + 9 - 3 2² × 5 - 6 5 - 8

E = 12

5 + 9 - 6 5 - 6 5 - 8

E = 1 F = 3

6 - 54 + 150 - 5 6 + 1

F = 3

6 - 3² × 6 + 5² × 6 - 5 6 + 1

F = 3

6 - 3 6 + 5 6- 5 6 + 1

F = 1

G = ( 5 3 + 7 ) ( 9 - 3 ) - 38 3 - 47

G = 45

3 - 5 3² + 63 - 7 3- 38 3 - 47

G = 45

3 - 15 + 63 - 7 3- 38 3 - 47

G = 1 H = ( 3

5 - 2 ) ² - 48 + 12 5

H = 9

5² - 12 5 + 4 - 48 + 12 5

H = 45 + 4 - 48

H = 1 I = ( 10 - 9 ) ( 10 + 9 ) = 10² - 9² = 10 - 9 = 1 Devoir facultatif : racine nième et puissance rationnelle Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s"écrire m n où m et n sont des nombres entiers relatifs.

Définition

: Soient x un nombre et n un nombre entier positif.

On appelle "racine nième de x " et on note "

n x " le nombre positif qui à la puissance n donne x.

Exemple :

8256 = 2 car 28 = 256

Remarques

: - la "racine carrée" n"est autre que la "racine 2e" - la "racine 3 e" se dit plutôt la "racine cubique" - comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver

Exercice 1

: calcule A =

481 B = 38 C = 51024 D = 312,167 E = 81

On voudrait définir le nombre x

1

3 : on doit avoir ( x

1

3 ) 3 = x

1

3×3 = x 1 = x

Donc, x

1

3 est un nombre qui au cube donne x : c"est donc

3 x. Ainsi, x

1 3 = 3 x

Plus généralement, on a :

Définition

: Soient x un nombre et n un nombre entier positif. On définit x 1 n par x 1 n = n x

Exemple : 1 000

1 3 =

31 000 = 10

Exercice 2

: calcule en réécrivant d"abord l"expression avec des puissances nième

A = 64

1

3 B = 2187

1

7 C = 1 000 000

1

6 D = 625 0,25 E = 7776 0,2

On voudrait maintenant définir le nombre x

m n : on doit avoir ( x 1 n ) m = x 1 n × m = x m n

Définition

: Soient x un nombre et m, n des nombres entiers positifs.

On définit x

m n par x m n = ( x 1 n ) m

Exemple : 1 000

5 3 = (

31 000) 5 = 10 5 = 100 000

Remarque

: puisque tout nombre décimal peut s"écrire en écriture fractionnaire (exemple :

45,781 =

45 781

1000
), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimaux.

Exercice 3

: calcule

A = 1728

2

3 B = 512

10

9 C = 256

3

4 D = 441 1,5 E = 81 2,25

Remarques : · cette généralisation de la notion de puissance n"est pas vraiment terminée

car il faudrait vérifier qu"ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par exemple vérifier que x 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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