[PDF] CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

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CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

Objectifs :

Fonction linéaire

•[3.120] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction linéaire.

•[3.121] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul

et de son image. •[3.122] Représenter graphiquement une fonction linéaire.

•[3.123] Lire la représentation graphique d'une fonction linéaire (image, antécédent, coefficient directeur).

•[3.128] Connaître et utiliser la caractérisation graphique de la proportionnalité dans un plan repéré.

Fonction affine

•[3.124] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction affine.

•[3.125] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de

leurs images. •[3.126] Représenter graphiquement une fonction affine.

•[3.127] Lire la représentation graphique d'une fonction affine (image, antécédent, coefficient directeur,

ordonnée à l'origine).

Pourcentages

• [3.129] Établir le lien entre appliquer un pourcentage et multiplier par le coefficient correspondant.

I. Fonctions linéaires - Proportionnalité a) Définition

Une fonction linaire f est un procédé qui à un nombre x associe le nombre ax, où a est un nombre donné.

Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.

Exemple : La fonction qui, à un nombre x associe son double est une fonction linéaire notée :

L'image du nombre 5 par cette fonction est notée f(5) et vaut f(5)=2×5=10 b) Lien avec la proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la

première ligne par une fonction linéaire.

Exemple :

×2x01248

f(x)024816 Ce tableau traduit la fonction linéaire définie par f(x)=2x.

II. Fonctions affines

a) Définition

Une fonction affine f est un procédé qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b, où a et b sont des nombres

donnés. Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.

3x + 5 ou f(x) = 3x + 5.

L'image du nombre 2 par cette fonction est notée f(2) et vaut f(2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11. b) Tableau de valeurs On peut regrouper les images de certains nombres par la fonction affine f définie par f(x)=2x+3.

On obtient alors un tableau de valeurs.

x- 4- 3- 1015

4f(x)- 5- 313511

2 Il s'établit en calculant les images de chaque valeur de x par la fonction f. f0=2×03=3f 5

4=2×5

43=5

23=56

2=11 2 c) Cas particuliers

La fonction linéaire définie par

fx=ax est une fonction affine pour laquelle b = 0.

En effet, fx=ax0.

La fonction constante définie par

fx=b est une fonction affine pour laquelle a = 0.

En effet,

fx=0xb.

Exemples :

fx=4x est une fonction linéaire. fx=5 est une fonction constante.

III. Représentation graphique

a) Fonction linéaire

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

C'est la droite d'équation y=ax où a est le coefficient directeur de la droite.J I 1 1 Oxx' y y' dExemple : Représentation graphique de la fonction linéaire f définie par f(x)=2x. Si x = 0, y = 0 => ce sont les coordonnées du point O, origine du repère. Si x = 1, y = 2 => ce sont les coordonnées d'un point

A(1 ;2) de la droite.

b) Fonction affine La représentation graphique d'une fonction affine définie par

fx=axb est une droite d'équation y=axb, où a est le coefficient directeur de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine.

J I 1 1 Oxx' y y' y=ax+b b J I 1 1 Oxx' y y' b fx=axb avec a > 0fx=axb avec a < 0 x'x y y' J I 11 by=b fx=axb avec a = 0

IV. Proportionnalité des accroissements

Soit f une fonction affine définie par f

x=axb. Il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et les accroissements de x. Si x1 et x2 sont deux nombres distincts, alors on a : a=fx2-fx1 x2-x1 x'x y y' x1x2 f(x1) f(x2)

V. Fonction croissante, décroissante

Une fonction est croissante si f(x) augmente quand x augmente (cad si a > 0). Une fonction est décroissante si f(x) diminue quand x augmente (cad si a < 0). f est croissantef est décroissante

Activité pourcentage

VI. Pourcentages

ÉnoncéCalculExemple

Calculer a % d'un nombre xy=a

100xUn village de 250 habitants voit sa population

augmenter de 2%. Combien d'habitants y a-t- il en plus ? y=2

100×250=5.

Il y a 5 habitants en plus.

Augmenter un nombre x de a %

y=1a

100xUn article de 300 € augmente de 6%. Quel est

son nouveau prix ?

Le prix est passé de x à 1,06x.

Donc y=1,06×300=318.

Le nouveau prix est 318 €.

Diminuer un nombre x de a %

y=1-a

100xL'effectif d'un club sportif de 350 membres

diminue de 4%. Quel est sont nouvel effectif ?

L'effectif est passé de x à 0,96x.

Donc y=0,96×350=336.

Le nouvel effectif du club est de 336

membres. x'x y y' x f(x) x'x y y' x f(x)quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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