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Exercice 1 : 1. Rappeler les définitions de la convergence en loi en probabilité
Convergences
Que dire de la convergence en loi et de la convergence en moyenne quadratique ? Exercice 5. On consid`ere une suite de variables aléatoires indépendantes Xj de
EXERCICES SUR LES MOYENNES
est leur moyenne géométrique. (g vérifie g × g = a × b). •. 2. 2. 2 b a q. +. = est leur moyenne quadratique. (q vérifie q² + q² = a² + b²).
Exercices corrigés
On cherche donc à minimiser l'erreur quadratique moyenne entre Y et son estimé Yab
EI-SE3 / Probabilités / Contrôle 2
Exercice 1 [7 points]. Soit (Xn) une suite de variables en moyenne d'ordre r pour tout r ? 1. Probabilités ... pas convergence en moyenne quadratique.
Corrigé 9 – Gaz parfaits
Exercices. 1ère année. Premier Semestre. Exercice 10-34. (a) La vitesse quadratique moyenne des molécules est reliée à l'énergie cinétique moyenne par.
18.5 - Vitesse de libération et vitesse quadratique moyenne
Corrigé de l'exercice 18.5. Vitesse de libération et vitesse quadratique moyenne. La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut donner à une
Probabilités 17-18 TD8 : Convergence de suites de variables
TD8 : Convergence de suites de variables aléatoires-Corrigé-. Exercice 1. 1) Montrer que Xn converge en moyenne quadratique vers a.
Corrigés des exercices
quadratique moyenne T est meilleur le gain de variance étant supérieur `a la perte due au biais. Exercice 6.7. Comme vu `a l'exercice 5.4
Recueil dexercices et de problèmes
Problème 5 – Pesées et moyenne géométrique (2). • Problème 6 – Plaques moyennes et moyenne quadratique. • Problème 7 – Vitesse et moyenne harmonique.
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Montrer que l'une de ces quatre moyennes est elle- même la moyenne (préciser laquelle) de deux de ces moyennes Correction des exercices d'utilisation : a)
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Problème 5 – Pesées et moyenne géométrique (2) • Problème 6 – Plaques moyennes et moyenne quadratique • Problème 7 – Vitesse et moyenne harmonique
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Exercice 1 : 1 Rappeler les définitions de la convergence en loi en probabilité presque sûre et en moyenne quadratique — On dit que Xn converge en loi
moyenne quadratique exercice corrigé - PDFprof
PDF Télécharger EXERCICES SUR LES MOYENNES moyenne quadratique exercice corrigé moyenne arithmétique géométrique harmonique quadratiquemoyenne harmonique
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?n est un estimateur de ? convergent en moyenne quadratique alors il est asymp- totiquement sans biais Ex 3 On dispose d'un n-échantillon (X1··· Xn)
LES différents calculs de moyennes en statistiques_ corrigé des
exercices types ( niveau 4 ) – classe de seconde – première Calculer l moyenne arithmétique et la moyenne quadratique de la série de nombres suivante
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Selon la série de données il peut y avoir plusieurs modes Exercice 1 3 Utilisez les touches spéciales de votre machine pour calculer la moyenne et l'écart-
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31 22 ? 5 59 Exercice Mener les calculs de la variance et de l'écart-type pour les trois premières distributions Corrigé On trouve : Moyenne
Comment calculer la moyenne quadratique ?
La moyenne quadratique est la racine carrée de la somme des carrés divisé par la quantité de données.Comment calculer la moyenne quadratique d'une série statistique ?
Pour une série avec un effectif (ou nombre de valeurs) de n, la moyenne quadratique est égale à la racine carrée de la moyenne des carrés des valeurs de la série.Quand on utilise la moyenne quadratique ?
La moyenne quadratique est à utiliser lorsque l'on cherche à moyenner une quantité qui influe au carré dans un phénomène. C'est le cas, par exemple, pour la vitesse de particules dans un milieu. Chaque particule pi se déplace à la vitesse vi et produit une énergie cinétique égale à 1? 2mvi2.- La moyenne est un indicateur qui présente l'intérêt de résumer une série par une valeur. L'apprenti économiste est amené à calculer plusieurs types de moyennes : moyenne arithmétique simple, moyenne pondérée, ou encore taux de croissance annuel moyen.
Sorbonne Université Année 2023/2024
M2 Statistique Premier semestre
Feuille de TD 1
Correction
Exercice 1 :
1. Rappeler les définitions de la conver genceen loi, en pr obabilité,pr esquesûr eet en moyenne quadratique . On dit que Xnconverge en loi versXsi pour toute fonction continue bornéej, E [j(Xn)]converge versE[j(X)]. On dit que Xnconverge en probabilité versXsi pour toute>0, P [jXnXj>e]!n!¥0.On dit que Xnconverge presque sûrement versXsi
P n limn!¥Xn=Xo =Pn w2W,Xn(w)!n!¥Xo =1. On dit que Xnconverge en moyenne quadratique versXsi E hXnX)2i
!n!¥0. 2. Montr erque la conver genceen moyenne quadratique implique la conver genceen probabilité. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires convergeant en moyenne quadratique versX. Soite>0, grâce à l"inégalité de Markov, P [jXnXj>e]Eh jXnXj2ie
2!n!¥0.
3. Soit aune constante et(Xn)une suite de variables aléatoires. Montrer que si(Xn)converge en loi versa, alors(Xn)converge en probabilité versa. Comme on a la convergence en loi, on a en particulier que pour tout point de continuitéx deF,FXn(x)converge versF(x). On obtient donc, pour toute>0, P [jXnaje]=P[Xne+a]+P[Xnae] =1FXn(e+a)+FXn(ea) n!¥1Fa(e+a) +Fa(ea)OrFa(x) =0 six0,
lim n!¥P[jXnXje]!n!¥11+0=0. Attention, les inégalités précédentes ne sont vraies que si les variables aléatoiresXnsont
continues (sinon il faut rajouter un termeP[Xn=e+a]). 4. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires convergeant en loi vers une constanteaet soit h:R!Rune fonction continue. Montrer queh(Xn)converge en probabilité versh(a).1ere version :Comme la convergence en loi vers une constante implique la convergence
en probabilité, il suffit de montrer la convergence en loi deh(Xn)versh(a). Commehest continue, pour toute fonction continue bornéej, la fonctionjohest une fonction continue et bornée, et commeXnconverge en loi versa, E2ème version :Soite>0. Commehest continue, il existeh>0 telle pour tout
x,jxaj h, on aitjh(x)h(a)jEtudier la conver gencede la suite
(Xn)dans chacun des cas suivants : -Xn=1/n. La suite est déterministe et converge vers 0, on a donc tous les types de convergence. -Xn= (1)n. La suite est déterministe et ne converge pas, on n"a donc aucun type de convergence. -Xn=1AnoùAnest une suite d"évènements etP[An]converge vers 0. On aEX2n=P[An]!0, et donc convergence en moyenne quadratique, en probabilité et en loi. En revanche, on n"a pas nécessairement la convergence presque sûre. On construit des ensemblesAnde la façon suivante : -A1= [0,1]On coupe A1en deux :A2= [0,1/2]etA3= [1/2,1]
On coupe A2etA3en deux :A4= [0,1/4],A5= [1/4,1/2],A6= [1/2,3/4], A7= [3/4,1].
On considère l"espace probabilisé
(W,F,P)=([0,1,],B([0,1]),Leb[0,1]), et on a P [An]= (1/2)log2n!0. Or pour toutw2[0,1],Xn(w)n"admet pas de limite. -Xn=Zn1BnoùZnconverge en loi vers une variable aléatoireZetP[Bn]converge vers 1. On la convergence en loi grâce au théorème de Slutsky. Par contre, on n"a pas nécessairement la convergence en probabilité. Il suffit de considérerBn=Wet de reprendre l"exemple du cours,Xn=X N(0,1). Exercice 2 :SoitXune variable aléatoire suivant une loi uniforme sur[0,1]. 1.Donner la loi de Z=log(X).
Pour toutx2R+,
FZ(x) =P[log(X)X]=1P[Xexp(x)]=1exp(x)
etZsuit donc une loi exponentielle de paramètre 1. 2. Soit Z1,...,Zndes variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de même loi queZ. Donner la normalité asymptotique deZ n.LesZisont i.i.d etE[Z1]=V[Z1]=1, donc (TLC)
pn Z n1L!n!¥N(0,1). 3.En déduir ela normalité asymptotique de
Y n=1(Õni=1Xi)1/n.
On remarquera que
log (Yn)=1n nå i=1log (Xi)=Z n.On a doncYn=expZ
n, et la fonctiong:x7!exp(x)est dérivable en 1, par la delta méthode, on obtient doncpn (Yne)L!n!¥N0,e2 Exercice 3 : (Inégalité de Hoeffding simplifiée)SoientX1,...,Xndes variables aléatoires indépendantes et centrées. L"objectif est de montrer que si jXnjMp.s, alors pour toutx>0, P X n>xexp nx22M2 etPX n>x2exp nx22M2 1.Soit l>0 etx2[M,M], montrer que
exp(lx)Mx2Mexp(lM)+x+M2Mexp(lM).La fonctionx7!exp(lx)est convexe, et on a donc
exp (lx)=expMx2M(lM)+M+x2MlMMx2Mexp(lM)+x+M2Mexp(lM)
2. Sachant que pour tout u>0, cosh(u)exp(u2/2), en déduire que pour touti, E [exp(lXi)]cosh(lM)expl2M2/2.On a, comme lesXisont centrés,
E [exp(lXi)]ME[Xi]2Mexp(lM)+E[Xi]+M2Mexp(lM) =cosh(lM) 3.Montr erque pour tout l>0 etx>0,
P X n>xexp nl2M22 lx et conclure.On a, par indépendance et en utilisant Markov
P X n>x=PexpnlX n>exp(nlx)EexpnlX nexp(nlx) nÕ i=1E [exp(lXi)]! exp (nlx) nÕ i=1expl2M22 exp (nlx) =exp nl2M22 lx La majoration précédente est minimisée pourl=xM2et on obtient le résultat. De plus, P X nLa fonctionl7!Eh
lXY)2i est un polynôme de degré 2, positif, et dont le discriminant4E[XY]24EX2EY2
est toujours négatif ou nul. On obtient donc l"inégalité de Cauchy Schwarz. (b) Soit (Xn)et(Yn)deux suites de variables aléatoires convergeant à l"ordre 4 vers 0. En déduire queXnYnconverge en moyenne quadratique vers 0.C"est une application direct de Cauchy-Shwarz.
2. (a)Soient a,b0 etp,q>0 tels que1p
+1q =1. Montrer que ab1p ap+1q bq. Option 1 :Pour toutb, on considère la fonctiongb:a7!1p ap+1q bqab. On a g0b(a) =ap1b
et le minimum de la fonction est donc atteint enb1p1. De plus, commeq=pp1 g 0b b1p1 =1p bpp1+1q bpp1b1p1+1=1p +1q 1 bpp1=0.Option 2 :On a
log(ab) =log app bqq =1p log(ap)+1q log(bq)Comme la fonction log est concave, on obtient
log(ab)1p log(ap)+1q log(bq)log1p ap+1q bq et on obtient obtient le résultat en passant à l"exponentiel. (b) E [jXYj](E[jXjp])1p (E[jYjq])1qEn prenant
a=jXj(E[jXjp])1p
etb=jYj(E[jYjq])1q
on obtient j Xj(quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] moyenne géométrique exemple
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