[PDF] EI-SE3 / Probabilités / Contrôle 2

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EI-SE3 / Probabilit

es / Contr^ole 2

24 mai 2016

Exercice 1[7 points]

Soit (Xn) une suite de variables aleatoires independantes de loi uniforme sur [0;1].

On poseIn= min1inXietSn= max1inXi.

(a)[2]Donner la fonction de repartition puis la densite de la variable aleatoireIn.Solution :

Soitx2R.

P(Inx) =8

>>>>>>:0 six <0; P min

1inXix

= 1P(8i2[[1;n]]Xi> x) P min

1inXix

= 1(1x)nsix2[0;1]

1 six >1;

par hypothese sur lesXi(iid.). DoncfIn(x) =ddx

P(Inx) =n(1x)n11x2[0;1].

(b)[3]Etudier la convergence de la suite (In) en loi, puis pour les autres modes.Solution : Sur [0;1],FIn(x) = 1(1x)nconverge ponctuellement vers la fonction egale a

1 partout sauf en 0. DoncFInconverge ponctuellement vers1x>0. Cette derniere

fonction n'est pas continue a droite en zero, donc ne peut pas ^etre une fonction de repartition. Elle est cependant egale presque partout a1x0qui elle verie toutes les proprietes d'une fonction de repartition. On en deduit queInconverge en loi versX= 0. Soit"2]0;1[. P(In> ") = (1")n!0, donc il y a convergence en probabilite. La convergence presque s^ure est assuree par la convergence de la serieP+1 n=1P(In> ") =1"" <+1. Finalement,IrnInpourr1 carInest a support dans [0;1]; on a donc

E[Irn]E[In] =Z

1 0 nx(1x)n1=1n+ 1!0; apres calculs en remarquant que ddx (x(1x)n) =(1x)n+nx(1x)n1(ou en eectuant le changement de variabley= 1x). C'est-a-dire que l'on a convergence en moyenne d'ordrerpour toutr1.Probabilites EI-SE3 1 / 4 (c)[2]Etudier la convergence en loi de la suite (Yn=n(1Sn)).Solution : n(1Sn)0, donc le support est inclus dansR+. Soit alorsx2R+.

P(n(1Sn)x) = P

S n1xn = 1P S n<1xn = 1 1xn n !1exen utilisant la propriete rappelee au tableau On reconna^t la fonction de repartition de la loi exponentielle de parametre= 1 : n(1Sn) converge en loi versY E(1).

Exercice 2[2 points]

Soit la suite de variables aleatoires (Xn) denie pourn2Npar : 8>< :P(Xn= 0) = 11n

P(Xn=n) =1n

Montrer que la suite (Xn) converge en probabilite versX= 0 mais que (Xn) ne converge pas en moyenne quadratique.Bonus : qu'en est-il de la convergence presque s^ure?Solution :

Soit" >0. On remarque que P(Xn> ")P(Xn>0) =1n

!0, donc il y a conver- gence en probabilite. En revanche, E[X2n] =n2n =nqui ne converge pas, donc il n'y a pas convergence en moyenne quadratique. Concernant la convergence presque s^ure la condition susante P+1 n=0P(Xn> ")<+1 n'est pas veriee, donc il faut proceder autrement. On applique le lemme de Borel- Cantelli a la suite d'evenementsEn=fXn=ng: ceux-ci sont independants et l'on verieP n2NP(fXn=ng) = +1. Alors avec probabilite 1 une innite d'evenements E nse realisent, et on obtient pourn2N P sup

NnXN> "

= P(9Nn=XN=N) = P(9Nn=ENse realise) = 1 Il n'y a donc pas convergence presque s^ure.Probabilites EI-SE3 2 / 4

Exercice 3[4 points]

SoientXetYdeux variables aleatoires independantes suivant une loi de Bernoulli de m^eme parametrep. On noteU=X+YetV=XY. Determiner la loi du couple (U;V).UetVsont-elles independantes?Solution : Uest a valeurs dansf0;1;2getVa valeurs dansf1;0;1g. On remarque que la donnee deUetVdetermineXetYcar la matrice1 1 11 est inversible. Il sut donc de donner le tableau des probabilites en resolvant le systeme associe pour chaque couple de valeurs de (U;V).UnV-101

00(1p)20

1p(1p)0p(1p)20p

20 On remarque que P((U;V) = (0;1)) = 0, alors que P(U= 0)P(V=1) =p(1p)3>

0 : les variables aleatoiresUetVne sont pas independantes.

Exercice 4[7 points]

On denit un couple (X;Y) de variables aleatoires de densite de probabilitef: (f(x;y) =x+ysi (x;y)2[0;1]2

0 sinon

(a)[2]Calculer les densites marginalesfXetfYrespectivement deXetY. Ces variables aleatoires sont-elles independantes?Solution : f

X(x) =R1

y=0f(x;y)dy=x+12 . De m^eme,fY(y) =R1 x=0f(x;y)dx=y+12

On observe quefX(0)fY(0) =14

6= 0 =f(0;0), doncXetYne sont pas

independantes. (b)[3]Determiner la densite deZ=X+Y. Indication : dessiner la zone correspondant aZzen fonction des valeurs dez.Solution : Soitz2R. On calcule P(Zz). Siz <0 cette probabilite vaut 0, et siz >2 elle vaut 1 carX+Y2[0;2]. On peut donc supposerz2[0;2].Probabilites EI-SE3 3 / 4

P(X+Yz) =Z

[0;1]21x+yzf(x;y)dxdy On distingue alors les casz2[0;1] etz2]1;2] (le domaine d'integration change, faire un dessin pour s'en convaincre). Siz2[0;1] :

P(X+Yz) =Z

z x=0Z zx y=0(x+y)dxdy Z z x=0z 2x22 dx z33

Et siz2[1;2] :

P(X+Yz) =Z

1 x=0Z min(1;zx) y=0(x+y)dxdy Z 1 x=0xmin(1;zx) +min(1;zx)22 dx Z z1 x=0 x+12 dx+Z 1 x=z1z 2x22 dx =z213 (z3+ 1) On peut nalement donner la densite de la variable aleatoireZ: f

Z(z) =8

>>:0 siz <0; z

2siz2[0;1];

2zz2siz2[1;2];

0 siz >2;

(c)[2]Calculer la covariance du couple (X;Y).Solution :

Cov(X;Y) = E[XY]E[X]E[Y]:

On calcule alors E[X] =R1

0xx+12

dx=712 = E[Y] par symetrie des r^oles, puis

E[XY] =R1

x=0R 1 y=0xy(x+y)dxdy=13 , et enn

Cov(X;Y) =13

49144
=1144 :Probabilites EI-SE3 4 / 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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