[PDF] Pré-rentrée calcul 11 sept. 2020 D'aprè





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Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 1 ***IT. Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes : 1. x ?? sin(arcsinx). 2. x ?? arcsin(sinx)



Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

x ?? sin(x) est bijective. arcsin : [-11] ? [- ?. 2.



Fonction arcsin.

S = {arcsin(a) + k2? ; k ? Z}?{? ? arcsin(a) + k2? ; k ? Z}. (ii) Soit a ? R tel que



Section 8 Inverse Trigonometric Functions

For trigonometric functions for instance the graph of y = sin x restricted y = sin x defined only for x on [¡ ... arcsin (sinx) = x for x in [¡.



Lecture 6 : Inverse Trigonometric Functions Inverse Sine Function

Inverse Sine Function (arcsin x = sin?1x). The trigonometric function sinx is not one-to-one functions hence in order to create an inverse



Formule trigonometrice 1. sin? = a c ; cos? = b c ; tg ? = a b ; ctg ?

42. arcsin(sinx) = x x ? [? ?. 2. ; ?. 2] . 43. cos(arccosx) = x



Corrigé de la Feuille 7. Fonctions trigonométriques et

sin(arcsin(x)) : arcsin est la fonction réciproque de la fonction sin de l'in- tervalle [?1;1] dans [? 2] arcsin(sin(x)) = x et ?x ?.



Correction de la feuille 6 : Fonctions circulaires réciproques

arcsin(sin(x)) = (?1)[x/?+1/2](x ? ?[x/? +. 1. 2. ]). (10). Avec la formule (9) la question posée est maintenant très simple. On calcule: 61 = 12 



Pré-rentrée calcul

11 sept. 2020 D'après la définition de la fonction arc-sinus arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [??.



2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

la fonction x sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle [? ?. 2. ?. 2 ]. On définit alors son inverse



[PDF] Cours magistral 4 : Réciproques des fonctions trigonométriques

1 Représentez la fonction x ?? arcsin(sin(x)) 2 Représentez la fonction x ?? sin(arcsin(x))





[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

I La fonction arcsin: la fonction x sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle [? ? 2 ? 2 ] On définit alors son inverse arcsin:[ 



[PDF] [PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes : 1 x ?? sin(arcsinx) 2 x ?? arcsin(sinx) 3 x ?? cos(arccosx) 4 x ?? arccos(cosx)



[PDF] Pré-rentrée calcul - Ceremade

11 sept 2020 · D'après la définition de la fonction arc-sinus arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [??



[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 2 Propriétés

1 mar 2017 · arcsin( ? 3 2 ) = 2?/3 mais = ?/3 Démonstration de la proposition : ? ??/2 ? x ? ?/2 sin x = cosx ? 0 > 0 si ??/2



[PDF] Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin( ) ?



[PDF] Fonction arcsin - Université de Poitiers - Mathématiques

arcsin(sinx) = x ?x ? [? ? 2 ? 2 ] Attention : l'expression sin(arcsinx) n'est définie que pour x ? [?11] en revanche l 



[PDF] Fonctions trigonométriques réciproques

sin(x) Alors cette fonction " sin " est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc sinus ainsi : arcsin : [-1;1] ? [-



[PDF] 2 Fonctions trigonométriques - Université de Rennes

sin(2x) = sin x ?? 2 sin x cos x = sin x ?? 2 sin x cos x ? sin x = 0 ?? sin x(2 cos x ? 1) et arcsin(sin(?)) = arcsin(sin(? ? 2?)) = ? ? 2?

  • Comment calculer arcsin SINX ?

    arcsin(sinx) = arcsin(sin(x?2k?)) = x?2k?. arcsin(sinx) = arcsin(sin(? ?x+2k?)) = ? ?x+2k?. arccosx existe si et seulement si x est dans [?1,1].

  • Comment calculer l'arc sinus ?

    La règle de la fonction arc sinus de base est f(x)=arcsin(x). f ( x ) = arcsin ? On note aussi cette fonction f(x)=sin?1(x).

  • Quand utiliser Arc sinus ?

    Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés. Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre gr? aux relations trigonométriques.
  • La dérivée f' de la fonction f(x)=arcsin x est : f'(x) = 1 / ?(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Pré-rentrée calcul

Deuxième partie

11 septembre 2020

Théorème et définition 2.19 - fonctionarcsin : [1;1]!R

Pour toutt2[1;1], il existe un unique réelx22

;2 tel quesin(x) =t. On note ce réelarcsin(t). Cela définit une fonction qu"on appelle "arc-sinus".

Valeurs numériques :

arcsin(1) =?

Ce nombre est la seule solutionxdans2

;2 de l"équation sin(x) =1:

Cette solution estx=2

Doncarcsin(1) =2

arcsin(0) = 0 arcsin(1=2) =6 arcsin(p3=2) =3 arcsin(1) =2

Proposition 2.21 :

1. Soity2[1;1]quelconque. Que vautsin(arcsin(y))?

D"après la définition de la fonction arc-sinus,arcsin(y)est la seule solutionxdans l"intervalle2 ;2 de l"équation sin(x) =y:

Doncsin(arcsin(y)) =y.

2. Soitx22

;2 quelconque. Que vautarcsin(sin(x))? 1 D"après la définition de la fonction arc-sinus,arcsin(sin(x))est la seule solutionzdans l"intervalle2 ;2 de l"équation sin(z) = sin(x): (Attention, ici,xest fixé; l"inconnue estz.) Orz=xest solution de cette équation etxappartient à2 ;2

Doncxest la solution dans2

;2 etarcsin(sin(x)) =x.

Attention

Dans la proposition précédente, la deuxième propriété est valableseulement pour lesx22 ;2

Par exemple,arcsin(sin(2)) = arcsin(0) = 06= 2.

Proposition 2.22 - dérivée dearcsinet propriétés importantes :

La fonctionarcsinest définie de[1;1]dans2

;2 . Elle est continue, impaire et strictement croissante sur[1;1]. De plus, elle est dérivable sur]1;1[et, pour touty2]1;1[, arcsin

0(y) =1p1y2:

Attention

La fonctionarcsinest définie en1et en1mais elle n"y est pas dérivable. Théorème et définition 2.23 - fonctionarccos : [1;1]!R Pour toutt2[1;1], il existe un unique réelx2[0;]tel quecos(x) =t. On note ce réelarccos(t). La fonction ainsi définie est appelée "arc-cosinus".

Proposition 2.25 -arccos(y)

Pour touty2[1;1], on a

arccos(y) =arccos(y): Explication: pour touty2[1;1],arccos(y)est le seul réelxdans[0;]tel que cos(x) =y: D"après les propriétés usuelles decos, sicos(x) =y, cos(x) =cos(x) =y: 2 De plus, sixest compris entre0et,xest aussi compris entre0et.

Doncxest la solutionzdans[0;]de l"équation

cos(z) =y:

Ainsi,arccos(y) =x=arccos(y).

Proposition 2.26

1. Pour touty2[1;1],cos(arccos(y)) =y.

2. Pour toutx2[0;],arccos(cos(x)) =x.

Proposition 2.27 - dérivée dearccoset propriétés importantes La fonctionarccosest définie de[1;1]dans[0;]. Elle est continue et strictement décroissante sur[1;1]. De plus, elle est dérivable sur]1;1[et, pour touty2]1;1[, arccos

0(y) =1p1y2:

Théorème et définition 2.28 - fonctionarctan :R!R:

Pour toutt2R, il existe un unique réelx22

;2 tel quetan(x) =t. On note ce réelarctan(t). La fonction ainsi définie est appelée "arc-tangente".

Proposition 2.30 :

1. Pour touty2R,tan(arctan(y)) =y.

2. Pour toutx22

;2 ,arctan(tan(x)) =x. Proposition 2.31 - dérivée dearctanet propriétés importantes :

La fonctionarctanest définie deRvers2

;2 . Elle est continue, strictement croissante surRet impaire. Elle admet les limites suivantes : arctan(x)x!1! 2 arctan(x)x!+1!2

Elle est dérivable surRet, pour touty2R,

arctan

0(y) =11 +y2:

3

Exercice 2.23 :

Résoudre dansRles équations suivantes.

(b)sin(jarcsin(x)j) =x Cette équation a un sens lorsquexest dans le domaine de définition dearcsin, càd lorsquex2[1;1]. Cherchons les solutionsx2[1;1]telles quearcsin(x)0. [Remarque :arcsin(x)0si et seulement six2[0;1]. Justification : arcsin(0) = 0etarcsinest strictement croissante. Donc pour toutx2 [0;1],arcsin(x)arcsin(0) = 0et pour toutx2[1;0[,arcsin(x)< arcsin(0) = 0.]

Pour toutx2[0;1], puisquearcsin(x)0,

(sin(jarcsin(x)j) =x)()(sin(arcsin(x)) =x) ()(x=x)(Prop. 2.21) ()(x= 0):

Une seule solution sur[0;1]:0.

Cherchons les solutionsx2[1;1]telles quearcsin(x)<0. [Remarque :arcsin(x)<0si et seulement six2[1;0[.]

Pour toutx2[1;0[,

(sin(jarcsin(x)j) =x)()(sin(arcsin(x)) =x) ()(sin(arcsin(x)) =x) ()(sin(arcsin(x)) =x) ()(x=x)(Prop 2.21): L"équation(x=x)est satisfaite par tous les réelsxdans[1;0[.

Solutions sur[1;0[:[1;0[.

Conclusion: l"ensemble des solutions est

f0g [[1;0[= [1;0]: (c)arccos(sin(x)) =x Ici, raisonner par équivalence est difficile. On va plutôt raisonner paranalyse- synthèse. Analyse: on cherche des propriétés simples que doivent vérifier les solutions, pour restreindre l"ensemble des solutions possibles. 4 Soitx2Rsolution de l"équationarccos(sin(x)) =x. Alorscos(arccos(sin(x))) = cos(x). Donc, par la proposition 2.26,sin(x) = cos(x), càd tan(x) = 1: [On peut diviser parcos(x)carcos(x)6= 0: par l"absurde, sicos(x) = 0, sin(x) = 1ousin(x) =1doncsin(x)6= cos(x).]

L"équationtan(x) = 1a une seule solution sur2

;2 , qui est4 . Par- périodicité detan, puisquetan(x) = 1, alors x=4 +kpour un certaink2Z:

Fixonsk2Ztel quex=4

+k.

Puisquearccos(sin(x)) =x, on doit avoir

arccos sin4 +k =4 +k doncarccos (1)ksin4 =4 +k:

Donc, sikest pair,arccossin4

=4 +k. Orsin4 =1p2 donc arccossin4 = arccos 1p2 4 . Donc 4 =4 +k:

Donck= 0.

Maintenant, sikest impair,arccossin4

=4 +k. Or, d"après la proposition 2.25,arccossin4 =arccossin4 =4 =34

Donc34

=4 +k:

Donck= 1=2. Impossible puisquekest un entier.

La seule valeur possible pourkest0donc

x=4 +k=4 Nous avons donc montré que sixest une solution de l"équation, alorsx=4 Donc 4 est la seule solution possible.

Synthèse: on vérifie si

4 est solution. 5 arccos sin4 =4 doncx=4 est bien solution dearccos(sin(x)) =x.

Conclusion: l"ensemble des solutions est

4

Exercice 2.25 :

Dans cet exercice, on va montrer que pour touty2[1;1], cos(arcsin(y)) = sin(arccos(y)) =p1y2: Ce résultat pouvant servir à calculer les dérivées des fonctionsarccosetarcsin, nous n"utiliserons pas la dérivée de ces fonctions dans l"exercice.

1. (a) Montrer que, pour touty2[1;1], on acos2(arcsin(y)) = 1y2.

Pour touty2[1;1],

cos

2(arcsin(y)) = 1sin2(arcsin(y))

= 1(sin(arcsin(y))2 = 1y2: (b) En déduire que, pour touty2[1;1], on acos(arcsin(y)) =p1y2. Puisque(cos(arcsin(y)))2= 1y2,cos(arcsin(y)) =p1y2oup1y2. Pour montrer quecos(arcsin(y)) =p1y2, il suffit de montrer quecos(arcsin(y)) 0.

On sait quearcsin(y)22

;2 et quecosest positive sur2 ;2 . Donc cos(arcsin(y))0.

Donccos(arcsin(y)) =p1y2.

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