Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1 ***IT. Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes : 1. x ?? sin(arcsinx). 2. x ?? arcsin(sinx)
Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
x ?? sin(x) est bijective. arcsin : [-11] ? [- ?. 2.
Fonction arcsin.
S = {arcsin(a) + k2? ; k ? Z}?{? ? arcsin(a) + k2? ; k ? Z}. (ii) Soit a ? R tel que
Section 8 Inverse Trigonometric Functions
For trigonometric functions for instance the graph of y = sin x restricted y = sin x defined only for x on [¡ ... arcsin (sinx) = x for x in [¡.
Lecture 6 : Inverse Trigonometric Functions Inverse Sine Function
Inverse Sine Function (arcsin x = sin?1x). The trigonometric function sinx is not one-to-one functions hence in order to create an inverse
Formule trigonometrice 1. sin? = a c ; cos? = b c ; tg ? = a b ; ctg ?
42. arcsin(sinx) = x x ? [? ?. 2. ; ?. 2] . 43. cos(arccosx) = x
Corrigé de la Feuille 7. Fonctions trigonométriques et
sin(arcsin(x)) : arcsin est la fonction réciproque de la fonction sin de l'in- tervalle [?1;1] dans [? 2] arcsin(sin(x)) = x et ?x ?.
Correction de la feuille 6 : Fonctions circulaires réciproques
arcsin(sin(x)) = (?1)[x/?+1/2](x ? ?[x/? +. 1. 2. ]). (10). Avec la formule (9) la question posée est maintenant très simple. On calcule: 61 = 12
Pré-rentrée calcul
11 sept. 2020 D'après la définition de la fonction arc-sinus arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [??.
2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
la fonction x sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle [? ?. 2. ?. 2 ]. On définit alors son inverse
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1 Représentez la fonction x ?? arcsin(sin(x)) 2 Représentez la fonction x ?? sin(arcsin(x))
[PDF] Tableaux (formulaires fonctions usuelles dérivées primitives - 2013
%2520d%25C3%25A9riv%25C3%25A9es
[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
I La fonction arcsin: la fonction x sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l'intervalle [? ? 2 ? 2 ] On définit alors son inverse arcsin:[
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Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes : 1 x ?? sin(arcsinx) 2 x ?? arcsin(sinx) 3 x ?? cos(arccosx) 4 x ?? arccos(cosx)
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11 sept 2020 · D'après la définition de la fonction arc-sinus arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [??
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1 mar 2017 · arcsin( ? 3 2 ) = 2?/3 mais = ?/3 Démonstration de la proposition : ? ??/2 ? x ? ?/2 sin x = cosx ? 0 > 0 si ??/2
[PDF] Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques
Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin( ) ?
[PDF] Fonction arcsin - Université de Poitiers - Mathématiques
arcsin(sinx) = x ?x ? [? ? 2 ? 2 ] Attention : l'expression sin(arcsinx) n'est définie que pour x ? [?11] en revanche l
[PDF] Fonctions trigonométriques réciproques
sin(x) Alors cette fonction " sin " est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc sinus ainsi : arcsin : [-1;1] ? [-
[PDF] 2 Fonctions trigonométriques - Université de Rennes
sin(2x) = sin x ?? 2 sin x cos x = sin x ?? 2 sin x cos x ? sin x = 0 ?? sin x(2 cos x ? 1) et arcsin(sin(?)) = arcsin(sin(? ? 2?)) = ? ? 2?
Comment calculer arcsin SINX ?
arcsin(sinx) = arcsin(sin(x?2k?)) = x?2k?. arcsin(sinx) = arcsin(sin(? ?x+2k?)) = ? ?x+2k?. arccosx existe si et seulement si x est dans [?1,1].Comment calculer l'arc sinus ?
La règle de la fonction arc sinus de base est f(x)=arcsin(x). f ( x ) = arcsin ? On note aussi cette fonction f(x)=sin?1(x).Quand utiliser Arc sinus ?
Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés. Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre gr? aux relations trigonométriques.- La dérivée f' de la fonction f(x)=arcsin x est : f'(x) = 1 / ?(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .
Trigonométrie hyperbolique
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :1.x7!sin(arcsinx),
2.x7!arcsin(sinx),
3.x7!cos(arccosx),
4.x7!arccos(cosx),
5.x7!tan(arctanx),
6.x7!arctan(tanx).
2.Calculer arctan x+arctan1x
pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).Rsin2x
0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt.
1.f1(x) =arcsinxp1+x2
2.f2(x) =arccos1x21+x2
13.f3(x) =arcsinp1x2arctan
q1x1+x4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x
12 +arctan15 +arctan182+arctan22
2+:::+arctan2n
(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.Quel est l"ensemble de définition Ddef?
2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.Dresser le tableau de v ariationde f.
2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 22.cos (2arccosx),
3. sin2arccosx2
4. ln (px2+1+x)+ln(px
2+1x),
5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).
Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]
et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6xDe plus, on ak6x2p+14
Pour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp
0(x) =1p1x21p1x2=0:
Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p28x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2
:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,
arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p22.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x
.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x211+1x
2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur
]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,8x2R;arctanx+arctan1x
p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):42èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2
telquex=tanqà savoirq=arctanx. Mais alors,
arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2
;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),
cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)
existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2
[p2 ;p2 [p2 ;p.1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2
;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2
[p2 ;p.Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2
et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.En résumé,
arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5Deux démonstrations :
chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathbaprès division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,
on obtient :8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :
chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch2x=ch(2x)+12
et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt.
La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry0arcsinpt dtest définie et dérivable
sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction
x7!Rsin2x0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].
Donc, la fonctiony7!Ry
0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest
définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x0arccospt dtest définie et
dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f0(x) =2sinxcosxarcsin(psin
2x)2sinxcosxarccos(pcos
2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=20arcsinpt dt+R1=2
0arccosptdt=R1=2
0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,8x2R;Rsin2x
0arcsinpt dt+Rcos2x
0arccospt dt=p4
:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px2+1>px
2=jxjet donc1 2+1<1. Ainsif1est définie et
dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f 01(x) =1px
2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q 1x21+x2=11+x2=arctan0(x):
Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6 8x2R;arcsinxpx
2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx 2+1=tanqp1+tan2q=pcos
2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)
=sinq et doncquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
2+1<1. Ainsif1est définie et
dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f01(x) =1px
2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q1x21+x2=11+x2=arctan0(x):
Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 68x2R;arcsinxpx
2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx2+1=tanqp1+tan2q=pcos
2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)
=sinq et doncquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] arctan formule
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