[PDF] Chapitre7 : Coniques I Ellipses hyperboles

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P 2

a 2+y2 b 2= 1 %x=aθ y=bθ, θP[´π,π] O y x B 1 A 1 B A b a A,B,A

1,B1 O

(AA1) (BB1) a Ǘ b Ǘ a

2´y2

b 2= 1 xě0$ %x=at %x=´at y=bt tPR O x y A 1 A a b x a ˘y b = 0 %x=t2 2p y=ttPR O x y

O p ĕ

C ax2+ 2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0 (a,γ,b,c,d,e)PR6 (a,γ,b)‰(0,0,0)

C C ĕ P ā

C ĕR= (O,⃗i,⃗j)

R1= (O1,⃗i1,⃗j1 ĕ P 

O1R

P=

a1,1a1,2 a (⃗i,⃗j)(⃗i1,⃗j1)

MPP

x

R

x1 y R1 x a1,1a1,2 a x1 y a(α+a1,1x1+a1,2y1)2+2γ(α+a1,1x1+a1,2y1)(β+a2,1x1+a2,2y1) +b(β+a2,1x1+a2,2y1)2 + 2c(α+a1,1x1+a1,2y1) + 2d(β+a2,1x1+a2,2y1) +e= 0 ax+by+c= 0

C R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P

2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,γ,b)‰(0,0,0)

R (Ω,⃗I,⃗J) (O,⃗I,⃗J)

a1,1a1,2 a 1 0 (O,⃗J,⃗I) (⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J) ā

ĕ(O,⃗I,⃗J)

(⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J)

M(x,y)RM(X,Y)R1 $

%x= (θ)X´(θ)Y y= (θ)X+ (θ)Y a(Xθ´Yθ)2+ 2γ(Xθ´Yθ)(Xθ+Yθ) +b(Xθ+Yθ)2+¨¨¨= 0 XY ´2aθθ+ 2bθθ+ 2γ(2θ´2θ)

2γ(2θ) + (b´a)(2θ) = 0

a=b θ=π 4 a‰b θ (2θ) =2γ a´b θ=1 2 (2γ a´b) by

2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)

C ax

2+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)

ab‰0 a )2+b(y+d b )2+k= 0 kPR xy ĕ(Ω,⃗i,⃗j) ɍÝÑOΩ =´c a ⃗i´d b ⃗jC ax

2+by2+k= 0

abą0 ´1 aą0,bą0 ką0 C=H k= 0 C=tΩu 2+y2 abă0 ´1 aą0,bă0 k‰0

2´y2

2= 1 2+y2 2= 1

C ĕ

(Ω,⃗j,⃗i) @(x,y)PR2,by2+ 2cx+ 2dy+e=b[(y+d b )2+ 2c b x+k] kPR xy b )2+ 2c b x+k= 0 c= 0 ką0 C=H b y=´d b ´k b (x´x0) b x C

H ĕ

C=tMPP,MF=eˆMH=d(M,D)uɍH M

D D F F D O D K i j? ??? O F H M cPRkPR RF(c,0)K(k,0)ɍK FD

M(x,y)ÝÝÑHM

x´k

ÝÝÑFM

x´c

MF=eMHðñ(x´c)2+y2=e2(x´k)2

ðñx2(1´e2) + 2x(ke2´c) +y2=e2k2´c2

e‰1 O ke2´c= 0 O (K,e2)(F,´1) k2e2´c2=c2 e

2´c2=c2

e

2(1´e2)c‰0 k=c= 0 FPD

MF=eMHðñx2(1´e2) +y2=e2k2´c2

x2 a 2+y2 a

2(1´e2)= 1a2=c2

e 2 a 2+y2 b 2= 1 Ox a 2=c2 e

2,b2=a2(1´e2) =a2´c2k=c

e 2=a2 c a

2´y2

b 2= 1 Ox a 2=c2 e

2,b2=a2(e2´1) =c2´a2k=c

e 2=a2 c e= 1 MF=MHðñ2x(k´c) +y2=k2´c2

O FK k=´c

MF=MHðñy2= 4cx

R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P

a 2+y2 b

2= 1aąb

D F E=tMPP,MF=eˆMHu

O B A?? F F 1 K K 1 D D 1 c

2=a2´b2,e=c

a ( BF=a) F c

D:x=a2

c F

1

´c

D1:x=´a2

c F a

2´y2

b 2= 1 eP]1,+8[ (F,D)

H=tMPP,MF=eˆMHu

O A B Q F F 1 D D 1 c

2=a2+b2,e=c

a ( OB=bOQ=c)

F

c

D:x=a2

c F

1

´c

D1:x=´a2

c (F,D) C=tMPP,MF=MHu O? F K D F p 2

D:x=´p

2 F D a 2+y2 b

2= 1aąb ĕR= (O,⃗i,⃗j)

D

F (c,0) D x=k

E b

2=a2´c2,e2=c2

a 2k=a2 c c e k c

FF1 a 2aąFF1

C=tMPP,MF+MF1= 2au FF1 Ǘ a

FF1 a 0ă2aăFF1

C=tMPP,|MF´MF1|= 2au FF1 Ǘ

a

FF1 a 2c=FF1

MF+MF1=e(MH+MH1) =eKK1=e2a2

c = 2a O H 1 H 1 M K K 1

MPH MF´MF1=e(MH´MH1) =e(˘KK1) =˘2a

O D D 1 K K 1 H 1 H M

EĂCHĂC

ĕR= (O,⃗i,⃗j) O [F1F]ÝÝÑF1F= 2c⃗i MF

2´MF12=ÝÝÑMF2´ÝÝÝÑMF12= (ÝÝÑMF´ÝÝÝÑMF1)¨(ÝÝÑMF+ÝÝÝÑMF1) =ÝÝÑF1F¨2ÝÝÑMO=´4cx

MF

2´MF12= (εMF)2´(ε1MF12) =(εMF´ε1MF1)(εMF+ε1MF1)

εMF+ε1MF1= 2aùñ$

%εMF +ε1MF1= 2a

εMF´ε1MF1=´4cx

2a

ùñεMF=a´c

a x

ùñ(x´c)2+y2= (a´c

a x)2

εMF+ε1MF1= 2aùñx2

a 2+y2 a

2´c2= 1

aąc ε=ε1= 1 MF+MF1= 2aùñMPE aăc ε= 1,ε1=´1ε=´1,ε1= 1 |MF´MF1|=

2aùñMPH

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