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Les opérations arithmétiques en binaire et les nombres binaires
Lycée AGORA Classe de BTS SN 1ere année. Les opérations arithmétiques en binaire et les nombres binaires signés. Addition en binaire. Règles d'addition :.
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Représentation binaire de nombres entiers et opérations arithmétiques de base Sujets de ce thème • Nombres binaires non signés et signés en complément à
Qu'est-ce que l'arithmétique binaire ?
De manière générale, un nombre entier naturel N exprimé dans une base b est un ensemble ordonné de n chiffres chacun d'eux prenant une valeur comprise entre 0 et b-1. Les nombres exprimés dans la base 10 sont appelés nombres décimaux. Les nombres exprimés dans la base 2 sont appelés nombres binaires.Comment calculer les opérations binaires ?
La multiplication binaire s'effectue selon le principe des multiplications décimal, on multiplie donc le multiplicande par chacun des bits du multiplicateur. On décale les résultats intermédiaires obtenus et on effectue ensuite l'addition de ses résultats partiels.Quelles sont les opérations arithmétiques ?
Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.Pour additionner 2 nombres en binaire, on proc? comme en base 10.
11 + 1 = 0 plus 1 de retenue, soit 10. puis on pose l'addition comme en base 10, avec le système de retenue.20 + 1 = 1.31 + 0 = 1.40 + 0 = 0.
Lycée AGORA, Classe de BTS SN 1ere année
Les opérations arithmétiques en binaire et les nombres binaires signésAddition en binaire
Règles d'addition :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 avec retenue de 1
exemple :11Retenues
10001101
+1001________________________
10010110
Applications :
faire en binaire l'addition des nombres suivants :101001 + 101 ; 11101010 + 10101 ; 1101011 + 10111 + 101
les nombres binaires signés (cas d'un nombre de 8bits)On représente un nombre un nombre binaire signé sur un format de 8 bits de la manière suivante :
SN6N5N4N3N2N1N0
•N0 à N6 : Bits significatifs •S : Bit de signe ◦Si S=0 le nombre est positif ◦Si S=1 le nombre est négatifPour déterminer l'opposé d'un nombre positif on utilise la notation dite 'complément à 2',
Exemple : Cherchons l'opposé de 9 codé sur 8 bits : 9 = 0 0001001(2) le complément de 9 est : 11110110Ajoutons lui 1 : 11110110 + 1 = 11110111
Donc, en notation 'complément à 2' -9 = 1 1110111(2) 1/5Lycée AGORA, Classe de BTS SN 1ere année
En notation 'Complément à 2' sur 8 bits il est possible de coder 256 valeur de -128 à +127. Remarque : 0 est considéré comme un nombre positifNombres codés sur 8 bits
Lu en hexadécimal Lu en binaire Lu en décimal signéLu en décimal non signé7F 0111 1111 +127 127
7E 0111 1110 +126 126
10 0001 0000 +16 16
0F 0000 1111 +15 15
0E 0000 1110+14 14
0D 0000 1101 +13 13
0C 0000 1100+12 12
0B 0000 1011 +11 11
0A 0000 1010+10 10
020000 0010+22
010000 0001 +11
000000 0000 +00
FF 1111 1111 -1 255
FE1111 1110 -2 254
FD1111 1101 -3 253
FC 1111 1100 -4 252
FB 1111 1011 -5 251
FA 1111 1010 -6 250
85 1000 0101 -123 133
84 1000 0100 -124 132
83 1000 0011 -125 131
82 1000 0010 -126 130
81 1000 0001 -127 129
80 1000 0000 -128 128
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Soustraction en binaire
1ere méthode : complément à 1 et addition
Exemple : soustrayons les nombres 1101011101 et 1011100111 le complément a 1 de 101110011 est 0100011000111Retenues
1101011101Diminuande
+0100011000Diminueur______________________________
1Retenues
10001110101
+1Report ______________________________0001110110
Remarque : Si le Diminueur est plus grand que le diminuande, intervertir les termes et affecter le résultat du signe moins.2eme méthode : complément à 2 et addition
Exemple : soustrayons 17 à 25
25 -17 = 25 + (- 17) = ?
25 = 00011001(2)
17 = 00010001(2)
On en déduit : - 17 = 11101111(2)
Donc : 25 - 17 = 00011001(2) + 11101111(2) =
11111111
00011001
+11101111________________________
100001000
On remarque que le résultat est écrit sur 9 bits, ce qui dépasse le format d'écriture de 8 bits.
Dans ce cas on ignore le bit le plus a gauche (appelé dépassement) et dont le résultat est bien :
00001000(2).
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Multiplication en binaires
On multiplie des nombres en binaire de la même manière qu'on multiplie des nombres décimaux.
Exemple : Multiplions 9 = 1001(2) par 11 = 1011(2)Ecrivons la multiplication :
1001← Multiplicande
x1011← Multiplicateur _______________ 11001110010
000000
1001000
_____________________1100011= 64 + 32 + 2 + 1 = 99
Division en binaires
Le principe est le même que pour une division en décimal.Exemple divisons 81 par 3 :
4/5101 - 11 = 010
Quand on applique la première
règle de soustraction100 - 11 = 001
Quand on applique la première
règle de soustractionLycée AGORA, Classe de BTS SN 1ere année
Exercices :
Effectuer les additions binaires suivantes et donner le résultat en décimal:1101111 + 1110000 ; 101111101 + 111111011 ; 110111,01 + 11011,11 ; 1011,1101 + 110,1011
Effectuer les soustractions binaires suivantes en utilisant t le complément à 1 et donner le résultat
en décimal:111111011 - 101111101 ; 110111,01 - 110011,11 ; 1011,1101 - 110,1011
Effectuer les soustractions binaires suivantes en utilisant t le complément à 2 et donner le résultat
en décimal:1110000 - 1101111 ; 1101111 - 1011101 ; 10001 - 11001
Soient les 2 nombres codés suivant la norme IEEE 754 et représentés en hexadécimal :3EE00000 et 3D800000. Calculez en la somme et donnez le résultat sous forme IEEE 754 et sous
forme décimale. Même question avec les nombres : C8 80 00 00 et C8 00 00 00. Effectuer les multiplications binaires suivantes et donner le résultat en décimal:110111 x 10001 ; 10111,11 x 110
Effectuer les divisions binaires suivantes et donner le résultat en décimal:11011 /11 ; 1101111 / 1010
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