2.2 Quelques propriétés des intégrales définies PDF

Théor`eme 1 Une intégrale absolument convergente est convergente. 3. Intégrales Impropres des fonctions `a signe constant. Si f est négative sur I alors ?f

Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

Probl`eme – Pas d'analogue pour les fonctions de plusieurs variables! Page 6. Exemple: aire d'un disque. Aire d'un disque –.

SUR LES GENRES MULTIPLICATIFS DEFINIS PAR DES

DES INTEGRALES ELLIPTIQUES. SERGE OCHANINE Les genres elliptiques se trouvent ainsi ttroitement lies a la thiorie des S'-varietes spinorielles le .

SUR LES INTEGRALES PREMIERES DANS LA CLASSE DE

Dec 7 1999 SUR LES INTEGRALES PREMIERES. DANS LA CLASSE DE NILSSON. D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES HOLOMORPHES. FRÉDÉRIC TOUZET. Abstract.

Sur les Equations Linéaires aux Différentielles Ordinaires et aux

coefficient de x'P dans le polynome Pi. Nous allons etudier la fagon dont se comportent les integrales de l'equation. (1) quand x croft indefiniment d'une

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

ex dx est forcément divergente puisque fait intervenir les deux extrémités. 2.2 Puissances. On veut intégrer une fonction du type P(x)/Q(x) o`u P et

sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un

logues aux germes de Shalika pour les groupes linéaires sous une hypothèse de ram- ification modérée. Ces formules se généralisent au cas où les intégrales

2.2 Quelques propriétés des intégrales définies

(Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a b] f(x)dx

CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)

Au milieu du XIXe siècle les sciences sociales reprennent le mot l'intégrale de la fonction sur l'intervalle [-2 ; 1] et se note ? " + 1.

SUR LES INTEGRALES PREMIERES DE CERTAINS

SUR LES INTEGRALES PREMIERES DE CERTAINS. FEUILLETAGES ANALYTIQUES COMPLEXES par. Masakazu SUZUKI. INTRODUCTION. Soit Jt un feuillatage analytique complexe

Définition2.4.(Intégrabili téausensdeR iemann)Unefonc tionréellef:[a,b]Restdite intégrablesur[a,b],si ??>0,?f 1 ,f 2 :[a,b]Rfonctionsenescalierstell esque : 1.f 1 ?f?f 2 (i.e.?x?[a,b],f 1 (x)?f(x)?f 2 (x)) 2. a b f 2 (x)dx- a b f 1 (x)dx

Théorème2.5.(Intégrale définie)Onsu pposequelafonctionré ellef:[a,b]Restinté grablesur

0 Alorslasuite réelle determegénérale I n convergedansRets alimit e,notée a b f(x)dxestappel éeintégraledéfiniede fsur[a,b]. Danscecour snousn ousintéressero nsessentiell ementauxfonctionscontinueset auxfonctionsconti- nuesparmo rceaux,dé finiessurunintervallefermébo rné[a,b]deR. Définition2.6.Ondi tquelafon ctionf:[a,b]Restcont inueparmorceauxsifestborn éeet l'ensembledespointsdedisco ntinuité defestdeca rdinal fini. Nousadmettr onsetutiliseronssouventle théorè mesuivant: Théorème2.7.Soit[a,b]unin tervallefermébornédeR.Alorstoutefonctioncontinuef:[a,b]R estinté grablesur[a,b].

Note2.8.Dansl'exp ression

a b f(x)dx,aetbsontlesbo rnesd'intég ration,xestlav ariabl ed'inté-

gration;c'estunevariab lemuette.Ellepe utdoncêt reremplacéepartoute autrevaria ble,àl'exception

dece llesdesbornesd'int égratione tbiensûrdelavaria bleutiliséepournomméelafonc tion.Ainsi,si f:

[a,b]Restinté grablesur[a,b],onaleségalitéssuivantes: a b f(x)dx= a b f(t)dt= a b f(u)du= a b f(v)dv= a b f(y)dy.

2.2Que lquespropriétésdesintégral esdéfinies

Onsu pposedanslalistedespr opriétésci- dessou sque[a,b]estunin terval lefermébornédeR,fetg

sontdesfon ctions intégrablessur[a,b].

1.Qu andlesbornesd 'intégratio nsontconfondues:

a a f(x)dx=0

2.La relat iondeChasles:

?c?[a,b], a c f(x)dx+ c b f(x)dx= a b f(x)dx

3.Qu andonpermutele sbor nesd'intégration:

b a f(x)dx=- a b f(x)dx

4.La linéa rité:

i. a b (f+g)(x)dx= a b f(x)dx+ a b g(x)dx ii. ?λ?R, a b (λf)(x)dx=λ a b f(x)dx

5.Qu andlegraphed'u nedesf onctionsesttou joursaudessusdel' autre:

Sif?gsur[a,b],alors

a b f(x)dx? a b g(x)dx

2.2Quel quespropriétésdesintég ralesdéfinies11

6.Com paraisondelavaleurabsoluedel'i ntégra leetde l'intégraledelavaleura bsolue :

a b f(x)dx a b |f(x)|dx

2.3Pri mitives:calculd'intégralesdéfinies

Souvent,danslapratique,cal culerun eintég raledéfinieseramènerapournous,àch ercheruneprim itive

pourlafon ctionà intégrer. Définition2.9.Soitf:[a,b]Runefonc tionréelle.Onappellepri mitivedef,toutefonctiondéri- vableFdéfiniesur[a,b]etvér ifiantF =f.

Exemple2.10.

•Surl' intervalle[-2,3],lafonctionFdéfinieparF(x)=-cos(x)estunep rimitive delafonction fdéfiniesur[-2,3]parf(x)=sin(x). •SurR,lafonctionx- 1 2 x 2 estune primitive def:x-x;lafonctionx- 1 2 x 2 +7enes t uneaut re. Théorème2.11.Sil afoncti onf:[a,b]Radmetunepri mitiveF,alorslesprimitivesdefsont touteslesfoncti onsGdela formeG=F+λpourλparcourantR. Corollaire2.12.Soientf:[a,b]Runefonc tionréellesupposéeadmett reuneprimitiveF,x 0 ?[a,b] ety 0 0 enx 0 Exemple2.13.Soitf:[-2,2]Rdéfinieparf(x)=-x.fadmetuneuniqu eprimitiv eF,prenant lava leur3en1.PourdéterminerF,onécritquetouteprimitivedefestdel aforme F(x)=- 1 2 x 2

oùλestunec onstanter éelle.LaconditionF(1)=3fixelava leurde laconstanteλ.F(1)=3siet seule-

mentsiλ= 7 2 .Conclusion:F(x)= 1 2 (-x 2 +7). Note2.14. Uneprim itive(quellequ'ellesoit)de f:[a,b]Restauss iappeléeintégral eindéfiniedef etest notée f(x)dx(noterl'absence debornes). Remarque2.15.(conséque ncedelalinéari tédeladérivation)

1.Po urdeuxfoncti onsf,g:[a,b]R,siFetGsontdesprimi tivesr espectivesdefetg,alorsla

somme(F+G)estunep rimitived e(f+g).

2.Si festunep rimitived ef,alorspourtoutréelλ,(λF)estunep rimitive de(λf).

Théorème2.16.(théorème delamoyenne)Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur [a,b].Ilexisteunpointc?[a,b]telquef(c)= 1 b-a a b f(x)dx. (Lenom breréel 1 b-a a b f(x)dxestlamoy enne delafonctionfsurl'in tervalle[a,b]). Enut ilisantlethéorèmedelamoyen neonpe utprouverlethéorèmefonda mentalsuivant: Théorème2.17.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].Etantdonnéunpointx 0 x 0 x f(t)dtestunep rimitivede f.Cetteprimitive s'annuleenx 0 Danslaprat ique,c 'estlecorollairesuivantque l'onappliquep ourcalculer l'intégraledéfinied'une fonctiondontonconna îtuneprimitiv e. Théorème2.18.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].SiFestunep rimitived ef, alorsona a b f(x)dx=F(b)-F(a).

12Intégration:fonctionréelled'unevari ableréelle.

2.4Tech niquesd'intégration

Danscepara graphe ,ondécritlestechniquesdebaseàmaî triserpou rmeneràbienl ecalculd'unein té-

graledéfinie.

2.4.1Primiti vesdefonctionsusuelles

Lali stedeprimitives defonc tionsusuellesàconnaître: Primitivesdequelquesfonctionsusu ell es(λestunec onstanterée lle)

1)pou rα?R,α-1,ona

x dx= x

α+1

2) 1 x dx=ln|x|+λ

3)p ourα?R,α0,ona

e αx dx= 1 e αx

4)p ourunréelastrictementpositifetdifférentde1,

a x dx= a x ln(a) 5) sin(x)dx=-cos(x)+λ 6) cos(x)dx=sin(x)+λ

2.4.2Techni qued'intégrationparparties

Late chniqued'intégrationparpar tiesestfondéesurlaformulededér ivatio nd'unproduitdefonctions

dérivables: (u×v) =u

×v+u×v

Théorème2.19.Soientuetvdeuxfoncti onsréellescontinûmentdériv ables(i.e.desfonctionsdériva-

blesetdo ntlesd érivéessontc ontinues)s urunintervalleI.

Alorslafoncti onréel leproduitu

×vadmetuneprimi tivesurIeton a:

1. (u

×v)(x)dx=(u×v)(x)-

(u×v )(x)dx

2.si aetbsontdeuxpo intsdeI,

a b (u

×v)(x)dx=[(u×v)(x)]

a b a b (u×v )(x)dx (danscetteformu le,[(u×v)(x)] a b désigne(u(b)×v(b)-u(a)×v(a))

Exemple2.20.

1.Cal culeruneprimitivedel afonctionf:RRdéfinieparf(x)=xe

αx oùαestunno mbrer éel nonnul .

Solution:

a)O nposeu (x)=e αx etv(x)=x,cequidonneparexempleu(x)= 1 e αx enu tilisantlesfor- mulesdesprimi tivesdesf onctionsusuelles.Onav (x)=1. b)En utilis antlea)etlatechniqued'intég ratio nparpar ties,onob tient: xe αx dx= 1 xe αx 1× 1 e αx dx.

Onen dédui t

xe αx dx= 1 xe αx 1 2 e αx +λ,oùλestuneco nstanterée llequelconque. 2. Calculeruneprimitived elafoncti onf:]0,+∞[R,f(x)=ln(x).

Solution:onposeu

(x)=1,v(x)=ln(x),d'oùu(x)=x,v (x)= 1 x etal ors ln(x)dx=xln(x)- x× 1 x dx=xln(x)- dx,cequidonne ln(x)dx=xln(x)-x+λoùλestune constanter éellequelconque.

2.4Techn iquesd'intégration13

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