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Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 1

Quelques rappels sur les intervalles de confiance

I/ Généralités

Soient X une variable aléatoire de loi paramétrée par Ž et X ,...,Xn1 n variables i.i.d selon la loi de X.

1) Principe d'un intervalle de confiance

Plutôt que d'estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre Ž, on recherche un intervalle

recouvrant "très vraisemblablement » cette vraie valeur.

Définition

: On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1J~ du paramètre Ž tout intervalle

IC tel que : EFPICDZJŽ~1 pour

xz ~ë01, fixé.

Remarques :

¼=Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont donc aléatoires.

¼=Par abus de langage, on note souvent

EF

PICŽ~ëZJ1.

¼=Si

~augmente, l'amplitude de l'intervalle de confiance diminue.

2) Vocabulaire

La probabilité~ pour que l'intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur peut être répartie

différemment de part et d'autre des bornes de l'intervalle de confiance. Ecrivons donc =~ = ~ 1 +~2 où ~ 1 et ~ 2

mesurent respectivement les risques à gauche et à droite de dépasser un seuil plancher ou plafond.

¼=L'intervalle de confiance est dit bilatéral quand

¼=En particulier, si

12

2=Z, l'intervalle est symétrique. Il est dissymétrique sinon.

¼=L'intervalle de confiance est dit unilatéral si ~~120Z : - quand on veut assurer une valeur minimale au paramètre à estimer, on considère ~~~120= et Z, l'intervalle de confiance est alors de la forme : xx

IC aZHÂ,.

- quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend ~~~120= et Z et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : zz

IC bZJÂ,.

3) Construction

Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution

de probabilité.

Définition : une fonction pivotale pour le paramètre Ž est une fonction des observations ),...,(1nXXet du

paramètre Ž dont la loi ne dépend pas du paramètre Ž.

On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés.

Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 2

II/ Intervalles de confiance pour l'espérance

On peut envisager deux cas :

¼=la variable aléatoire mesurée est normale et le nombre de réalisations est quelconque,

¼=la variable aléatoire mesurée n'est pas normale et le nombre de réalisations est important. Dans

ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central

limite. On parlera d'intervalle de confiance asymptotique.

Dans la suite, on considère

X ~ N(m, ) X ,...,Xn

21
et n variables i.i.d selon la loi de X. On définit respectivement la moyenne empirique et la variance empirique modifiée par : XnX ni in Z Z 1 1

EFSnXXnin

in ' 2ZJJ Z 1 1 2 1

1) Cas où la variance est connue

Après centrage et réduction de la moyenne empirique, on obtient : nXm nJ ' EFN01,

On a :

Pu nXmu

n

JÀJÀă

ĕĔZJ~1 où u est le fractile d'ordre 12J de la loi EFN01,.

Ce qui revient à :

PX unmX un

nn

JÀÀHă

ĕĔZJ~1.

Quand la variance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi

normale s'écrit donc au niveau

1J~ sous la forme suivante :

x n est la réalisation de Xn sur l'échantillon.

2) Cas où la variance est inconnue

On a : nXm

SSt n n nJ'J

1 (loi de Student à n-1 degrés de libertés).

d'où

Pt nXm

St n n

JÀJÀă

ĕĔZJ

1~ où t est le fractile d'ordre 12J

de la loi St n()J1 et donc PX tS nmX tS nnnnnJÀÀHă

ĕĔZJ

1~.

Quand la variance est inconnue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi

normale s'écrit donc au niveau

1J~ sous la forme suivante :

x n et sn'sont les réalisations respectives de Xn et Sn' sur l'échantillon. IC ( m) = xunxunnnJHĆ

IC (m) = xts

nxts nnn nnJHĆ Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 3

3) Cas particulier : intervalle de confiance pour une proportion

Soient X ,...,Xn1 i.i.d. selon EFpB et EFpnBXX

n i i 1 Z

Z. Notons FX

nnZ estimateur sans biais de p.

¼=Dans le cas de grands échantillons :

En approchant une loi binomiale vers une loi normale (valable si npÐ5 et n(1-p)Ð 5) , on a : EFnFp ppN nJ

JÛËÛ

ËÂ(),101

loi n

On en déduit :

~JZĔĔ

ÀJJÀJ1)1(upppFnuP

n où u est le fractile d'ordre 12J de la loi EFN01,. Et donc l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion p au niveau

1J~ s'obtient en

résolvant l'inéquation : upppFn n

ÀJJ

)1(

Ce qui donne en notant

f n la réalisation de Fn sur l'échantillon: EF HJHHH HJHJH Z nuffnu nu nuf n uffnu nu nuf IC(p) nnnnnn

²11

4² 2²

²11

4² 2² Pour une taille d'échantillon très importante, on considère l'approximation suivante : Cette approximation est parfaitement justifiée sur le plan théorique. En effet, d'après le théorème de Slutsky, on a :

EFEFF ppnnp11JÛËÛJ.

On en déduit donc que :

EFnFp FFN n nnJ

JÛËÛ

ËÂ(),101

loi n

D'où :

Pu nFp

FFu n nn

JÀJ

JÀă

ĕĔĔZJ

()11 ~ où u est le fractile d'ordre 1 2 J de la loi EFN01,.

Quand n est grand, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion s'écrit donc au

niveau

1J~ sous la forme indiquée.

¼=Sinon, construction d'intervalles de confiance " exacts » :

On construit ces intervalles en considérant la fonction de répartition de la loi binomiale. Si la

probabilité de recouvrement de l'intervalle ne vaut pas exactement

1J~ , on prend l'intervalle ayant la

plus petite probabilité de recouvrement parmi ceux ayant une probabilité de recouvrement supérieure à

1J~. IC

(p) = EF fuff nfuff nnnn nnnJJHJĆ

Ęėėė11

Statistique B8 - Quelques rappels sur les intervalles de confiance (S.Rousseau) 4 III/ Intervalles de confiance pour la variance d'une loi normale

On envisage ici le cadre où

X ~ N(m, ) X ,...,Xn

21
et n variables i.i.d selon la loi de X.

1) Cas où l'espérance est connue

Soit EFSnXmni

in * 2 ZJ Z 1 2 1 . On a nS n * 2 2 ' EF€ 2 n

D'où

PnS n ~~12 22
2 2 122

1ÀÀă

ĕĔĔZJ

J* où € ~1 2 est le fractile d'ordre ~ 1 de la loi EF€ 2 n, et ~122J est le fractile d'ordre 12J~de la loi EF€ 2 n.

Quand l'espérance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral pour la variance d'une loi normale s'écrit

donc au niveau

1J~ sous la forme suivante :

sn est la réalisation de Sn sur l'échantillon.

Remarque

: cet intervalle n'est pas centré car la loi du khi-deux n'est pas symétrique.

2) Cas où l'espérance est inconnue

On considère la variance empirique modifiée EFSnXXnin in ' 2 ZJJ Z 1 1 2 1 comme fonction pivotale pour ².

On sait que

nSnnJ'J11 2 2 '

On a donc

EF PnS n ~~12 22
2 2 122

11ÀJ Àă

ĕĔĔĔZJ

J' où € ~1 2 est le fractile d'ordre ~ 1 de la loi E€ 2 1nJ, et ~122J le fractile d'ordre 12J~de la loi E€ 2 1nJ.

Quand l'espérance est inconnue, l'intervalle de confiance bilatéral pour la variance d'une loi normale

s'écrit donc au niveau

1J~ sous la forme suivante :

sn est la réalisation de Sn sur l'échantillon. IC ( 2 ) = nsns nn** 2 1 222
2 2 21
~~J

IC (

2 EF nsnsJJĆ J 11 2 1 222
2 2 21
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